Расчет поляризованности и плотности связанного заряда

Описание:
Тип работы: статья
Такие задачи могут быть решены как с привлечением теоремы Гаусса, так и посредством интегрирования уравнения Пуассона. Уравнение Пуассона более удобно, если где-либо требуется обеспечить наперед заданные величины потенциала.
Доступные действия
Введите защитный код для скачивания файла и нажмите "Скачать файл"
Защитный код
Введите защитный код
Нажмите на изображение для генерации защитного кода

Текст:

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Такие задачи могут быть решены как с привлечением теоремы Гаусса, так и посредством интегрирования уравнения Пуассона. Уравнение Пуассона более удобно, если где-либо (т.е. на каких-либо поверхностях) требуется обеспечить наперед заданные величины потенциала. Теорема Гаусса дает преимущество, если в задаче заданы только заряды. Если потенциал уже задан формулой, то vec{E}=- ablavarphi, а далее просто используется уравнение Максвелла для нахождения заряда.

Задача. φ(r) = ar3+b внутри шара радиуса R проницаемости ε. Найти ρ, ρ ", σ ".

Решение: Поле направлено радиально от центра шара; внутри оно равно

E_r(r) = -frac{{ m d}varphi}{{ m d}r} = -3ar^2, r<R

а вне шара не потребуется для решения. (Но, в принципе, его можно найти как Er = Q/(4πε0r2) после нахождения ρ и полного заряда Q = 4piintlimits_0^R ho( ilde{r}) ilde{r}^2 { m d} ilde{r}). Плотность заряда ρ получаем из уравнения Максвелла:

ρ(r) =

divvec{D} = frac{1}{r^2}frac{{ m d}} {{ m d}r}left(r^2varepsilon_0varepsilon(r)E_r(r) ight) =
=

frac{1}{r^2}frac{{ m d}}{{ m d}r}left(varepsilon_0varepsilon r^2(-3ar^2) ight)= -12avarepsilon_0varepsiloncdot r

Для нахождения ρ " и σ " потребуется поляризованность внутри шара:

Pr = ε0(ε–1)Er = –3aε0(ε–1)r2

Связанные заряды равны:

ho

σ "|r = R = Pr|r = R– = –3aε0(ε–1)r2

Задача. Пластина толщины 2a проницаемости ε заряжена как ρ = α x2. Положив φ|x = 0 = 0, написать φ(x), найти ρ " и σ ".

Решение: Хотя использование уравнения Пуассона при решении данной задачи вполне возможно, более удобным представляется применение теоремы Гаусса к цилиндрической поверхности, занимающей область (–∞... x) вдоль оси x. Таким способом аналогичная задача рассматривалась ранее для случая ε = 1. Изменения требуются в момент перехода от Dx к Ex в области –a

E_x = -frac{alpha a^3}{3varepsilon_0}, x<-a; E_x = frac{alpha x^3}{3varepsilon_0varepsilon} , -a<x<a; E_x=frac{alpha a^3}{3varepsilon_0}, x>a

Теперь можно найти φ c учетом условия φ|x = 0 = 0, применяя формулу

varphi(x) = -intlimits_0^xE_x( ilde{x}) { m d} ilde{x}

верную для любого x (и больше, и меньше нуля). Соответственно, для каждого из трех участков, на которых найдено Ex, получаем:

φ(x) =

-intlimits_0^xfrac{alpha ilde{x}^3} {3varepsilon_0varepsilon} { m d} ilde{x} = -frac{alpha x^4} {12varepsilon_0varepsilon}, -a<x<a
=

-intlimits_0^afrac{alpha ilde{x}^3}{3varepsilon_0varepsilon} { m d}x -intlimits_a^xfrac{alpha a^3}{3varepsilon_0} { m d} ilde{x} = -frac{alpha a^3x}{3varepsilon_0varepsilon}+frac{alpha a^4}{4varepsilon_0}, x>a
=

-intlimits_0^{-a}frac{alpha ilde{x}^3}{3varepsilon_0varepsilon} { m d}x -intlimits_{-a}^xleft(-frac{alpha a^3}{3varepsilon_0} ight) { m d} ilde{x} = frac{alpha a^3x}{3varepsilon_0varepsilon}- frac{alpha a^4}{4varepsilon_0}, x<-a

Для вычисления плотностей связанного заряда нам не нужен потенциал, но требуется поляризованность внутри пластины (вне она, естественно, равна нулю):

P_x = varepsilon_0(varepsilon-1)E_x = varepsilon_0(varepsilon-1)cdotfrac{alpha x^3}{3varepsilon_0varepsilon} = frac{(varepsilon-1)cdotalpha x^3}{3varepsilon}

Величины ρ " и σ " равны:

ho

σ "|x = –a =

-P_x|_{x=-a+} = frac{(varepsilon-1)cdotalpha a^3}{3varepsilon}
σ "|x = a =

P_x|_{x=a-} = frac{(varepsilon-1)cdotalpha a^3} {3varepsilon}

Получилось что σ "|x = –a = σ "|x = a, что вполне естественно, ввиду симметрии системы относительно плоскости x = 0.

Задача. В плоский конденсатор при а) поддерживаемом постоянным напряжении б) неизменном заряде обкладок - параллельно обкладкам ввели пластину с проницаемостью ε, которая заняла η-ю часть зазора. Найти σ " на гранях пластины. Изначально поле составляло E0.

Ответ: a) |sigma ; left. ight. б) |sigma Примечание: в процессе решения удобно временно ввести расстояние между обкладками d и разность потенциалов U (для "а") или заряд обкладки σ (для "б"). Естественно, введенные U (σ) должны быть согласованы с известным E0.

Задача. Внутри заземленного цилиндра радиуса R - равномерно заряженный (ρ0) диэлектрик ε = 1+α r. Найти φ(r), ρ", σ".

Решение: Применяем уравнение Пуассона, так как у нас есть требование на потенциал: φ|r = R = 0:

frac{1}{r}frac{{ m d}}{{ m d}r}left(varepsilon(r) rfrac{{ m d}varphi}{{ m d}r} ight)

 =

-frac{ ho(r)}{varepsilon_0} = -frac{ ho_0}{varepsilon_0}

frac{{ m d}}{{ m d}r}left(varepsilon(r) rfrac{{ m d}varphi}{{ m d}r} ight)

 =

-frac{ ho_0r} {varepsilon_0}

varepsilon(r)rfrac{{ m d}varphi} {{ m d}r}

 =

-frac{ ho_0r^2}{2varepsilon_0} + A

frac{{ m d}varphi}{{ m d}r}

 =

-frac{ ho_0r} {2varepsilon_0(1+alpha r)} + frac{A}{(1+alpha r)r} = -frac{ ho_0r}{2varepsilon_0(1+alpha r)}

Здесь A = 0, так как иначе поле, то есть –dφ/dr, оказывается неограниченным в точке r = 0. Потенциал находим интегрированием dφ/dr в пределах от R до r:

φ =

intlimits_R^rfrac{{ m d}varphi} {{ m d} ilde{r}} { m d} ilde{r}= -intlimits_r^Rfrac{{ m d}varphi}{{ m d} ilde{r}} { m d} ilde{r} =
=

frac{ ho_0}{2varepsilon_0} intlimits_r^Rfrac{ ilde{r}}{1+alpha ilde{r}} { m d} ilde{r} = frac{ ho_0}{2varepsilon_0} intlimits_r^Rleft(frac{1}{alpha}-frac{1}{alpha(1+alpha ilde{r})} ight) { m d} ilde{r} =
=

frac{ ho_0}{2varepsilon_0} left(frac{R-r}{alpha}-frac{1}{alpha^2} lnfrac{1+alpha R} {1+alpha r} ight)

Найдем еще поляризованность:

P_r=-varepsilon_0(varepsilon(r)-1)frac{{ m d}varphi} {{ m d}r} = frac{ ho_0alpha r^2}{2(1+alpha r)}

Теперь получаем связанный поверхностный заряд

sigma

и связанный объемный заряд:

ho

Задача. Внутри заземленного шара радиуса R - равномерно заряженный (ρ0) диэлектрик ε = 1+α r. Найти φ(r), ρ", σ".

Ответ: varphi(r) = frac{ ho_0(R-r)}{3varepsilon_0alpha} -frac{ ho_0}{3varepsilon_0alpha^2} lnfrac{1+alpha R}{1+alpha r},

left. ight. ho sigma .

Список литературы

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://edu.ioffe.ru/r

Информация о файле
Название файла Расчет поляризованности и плотности связанного заряда от пользователя z3rg
Дата добавления 8.1.2012, 23:46
Дата обновления 8.1.2012, 23:46
Тип файла Тип файла (zip - application/zip)
Скриншот Не доступно
Статистика
Размер файла 43.06 килобайт (Примерное время скачивания)
Просмотров 706
Скачиваний 84
Оценить файл