Численное интегрирование. Метод Симпсона

Арзамаский филиал ННГУ

Курсовая работа по информатике

Тема: Численное интегрирование. Метод Симпсона

Выполнила Студентка 2 курса

                     Заочное отделение

Специальность "Информатика"

Панюнина Светлана Михайловна

            Научный руководитель:

Вострокнутов

Арзамас-2016

Оглавление

1.      Введение

2.      Численное интегрирование

3.      Метод прямоугольника

4.      Метод трапеции

5.      Метод парабол (метод Симпсона)

6.      Алгоритм программы. Краткое описание программы

7.      Вычислительные эксперименты

8.      Заключение

9.      Используемая литература

приложение

Введение

Численное интегрирование (историческое название: квадратура) - вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком интегрируемой функции и отрезками прямых, которые являются пределами интегрирования .

Необходимость применения численного интегрирования чаще всего может быть вызвана отсутствием у первообразной функции представления в элементарных функциях и, следовательно, невозможностью аналитического вычисления значения определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Также возможна ситуация , когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом. И конечно в таком случае ,когда аналитическое выражение подынтегральной функции неизвестно, а ее значения задаются таблицей или графиком. Сущность большинства методов вычисления определенных интегралов состоит в замене подынтегральной функции аппроксимирующей функцией, для которой можно легко записать первообразную в элементарных функциях.

Аппроксимация, или приближение - математический метод, состоящий в замене одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми. Также в задачах такого рода активно используются интерполяционные методы нахождения значений функции. Интерполяция - в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений. На практике чаще всего применяют интерполяцию полиномами. Это связано прежде всего с тем, что полиномы легко вычислять, легко аналитически находить их производные и множество полиномов плотно в пространстве непрерывных функций.

Цель: Дать понятие численному интегрированию и рассмотреть метод Симпсона

Объект исследования: методы решения численного интегрирования

Предмет исследования: метод Симпсона

Задачи исследования :

1.   Изучить научную и методическую литературу по теме исследования

2.  Описать методы решения численного интегрирования

3.  Привести примеры численных интегрирований и метода Симпсона

Вывели гипотезу: Предположим, что использование сетевых социальных сервисов в образовании позволит более эффективно организовать учебный процесс.

1.Численное интегрирование.

Численное интегрирование-(историческое название:(численная)квадратура)-вычисление значения определенного интеграла (как правило, приближенное). Под численным интегралом понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла.

Численные методы- методы решения математических задач в численном виде. Многие численные методы являются частью математических программ. В системе подготовки инженеров технических специальностей являются важной составляющей.

Численное интегрирование применяется, когда:

1.      Сама подынтегральная функция не задана аналитически. Например, она представлена в виде таблицы (массива) значений в узлах некоторой расчетной сетки.

2.      Аналитическое представление подынтегральной функции известно, но ее первообразованная не выражается через аналитические функции. Например, f(x)=exp(-x^2).

В этих двух случаях не возможно вычисление интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла числены методом.

Методы численного интегрирования:

1.      Метод прямоугольника.

2.      Метод трапеций.

3.      Метод парабол(метод Симпсона).

2.Метод прямоугольника.

Теперь рассмотрим первый вид приближённого вычисления:
требуется вычислить определённый интеграл: .

Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функция y=f(x). Разделим отрезок [a,b], аналогично как в формуле трапеций: точками a=x₀,x_1,x₂,…,x_n=b на n равных частей длины Δх, где Δх=(b-a)/n.

Обозначим через y₀,y₁,y₂,…,y_n-1,y_n значение функции f(x) в точках x₀, x₁, x₂…,x_n, то есть, если записать в наглядной формуле:

Y₀=f(x₀), y₁=f(x₁), y₂=f(x₂)…y_n,=f(x_n).

В данном способе подынтегральную функцию заменяем функцией, которая имеет ступенчатый вид (на рис. выделена).

Составим суммы: y₀Δx+ y₁Δx₁+ y₂Δx₂…+y_n-1Δx;  Y₁Δx+ y₂Δx+…+y_nΔx

Каждое слагаемое этих сумм выражает площадь, полученных прямоугольников с основанием Δх, которое является шириной  прямоугольника, и длиной выраженной через y_i: S_пр=a*b=y_iΔx.

Каждая из этих сумм является интегральной суммой для f(x) на отрезке [a,b], и равна площади ступенчатых фигур, а значит приближённо выражает интеграл. Вынесем Δx=(b-a)/n из каждой суммы, получим:

f(x)dx≈Δx(y₀+y₁+…+y_n-1);

f(x)dx≈Δx(y₁+y₂+…+y_n).

Выразив x, получим окончательно:

f(x)dx≈((b-a)/n)(y₀+y₁+…+y_n-1);(3)

f(x)dx≈((b-a)/n)(y₁+y₂+…+y_n);(3*)

Это и есть формулы прямоугольников. Их две, так как можно использовать два способа замены подынтегральной функции. Если f(x)- положительная и возрастающая функция, то формула (3) выражает S фигуры, расположенной под графиком, составленной из входящих прямоугольников, а формула (3*)- площадь ступенчатой фигуры, расположенной под графиком функции составленной из выходящих треугольников.

Ошибка, совершаемая при вычислении интегралов по формуле прямоугольников, будет тем меньше, чем больше число n (то есть чем меньше шаг деления). Для вычисления погрешности этого метода используется формула:           P_np=, где  Результат полученный по формуле (3) заведомо даёт большую площадь прямоугольника, так же по формуле (3*) даёт заведомо меньшую площадь, для получения среднего результата используется формула средних прямоугольников:         (3**)

3.Метод трапеции.

Возьмём определённый интеграл ∫f(x)dx, где f(x)- непрерывная подынтегральная функция, которую мы для наглядности будем предполагать положительной. При вычислении интеграла с помощью формулы трапеций подынтегральная функция f заменяется функцией, график которой представляет собой ломанную линию (на рисунке 2 красным цветом), звенья которой соединяют концы ординат y_i-1 и y_i (i=1,2,…,n).Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями x=a, x=b, y=0, y=f(x), а значит (следуя из геометрического смысла), и значение нужного нам интеграла, приблизительно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями y_i-1 и y_i и высотой h=(b-a)/n, так как (если более привычно выражать для нас) h это Δx,a Δx=(b-a)/n при делении отрезка на n равных отрезков при помощи точек x₀=a1<…n=b. Прямые x=x_k разбивают криволинейную трапецию на n полосок. Принимая каждую из этих полосок за обыкновенную трапецию, получаем, что площадь криволинейной трапеции приблизительно равна сумме обыкновенных трапеций.

Площадь крайней полоски слева, как помниться из школьного курса геометрии, равна произведению полусуммы основания на высоту.

S=

Итак, запишем сказанное выше в математическом виде:

          (4)

Формула (4) и есть формула трапеций

Для определения погрешности интеграла вычисленного с помощью формулы трапеций используется формула:        где

4. Метод парабол (метод Симпсона)

Рассмотрим метод Симпсона - один из наиболее широко известных и применяемых методов численного интегрирования, он дает точные значения интеграла при интегрировании многочленов до третьего порядка включительно. Геометрический смысл метода состоит в следующем: на отрезке [x₀; x₂] кривая y = f (x) заменяется квадратной параболой – графиком интерполяционного многочлена. При вычислении по формуле Симпсона значение интеграла будет численно равно значению площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху параболой, проходящей через точки:

(x₀, f(x₀)), (x₁, f(x₁)), (x₂, f(x₂)).

Для вычисления интеграла  разобьём отрезок интегрирования на два равных отрезка [x₀; x₁] и [x₁; x₂] (x₀ = a, x₂=b) и заменим подынтегральную функцию по формуле квадратичного интерполирования

 

где  .

Тогда:

Перейдём к новой переменной интегрирования, учитывая, что x = x₀ + ht,

dx = hdt, t = 0 при x = x₀ и t = 2 при x = x₂

 

Эта формула называется формулой Симпсона или формулой парабол.

Приближение функции одним полиномом на всем отрезке интегрирования, как правило, приводит к большой ошибке в оценке значения интеграла.

Для получения более точного результата достаточно разбить отрезок интегрирования [a;b] на чётное число (2n) частей и применить формулу Симпсона для каждой пары смежных отрезков разбиения:

 

 

 

Суммируя эти равенства, получим обобщённую формулу Симпсона (парабол):

 

При стремлении количества разбиений к бесконечности, оценка интеграла стремится к его истинному значению.

Погрешность r метода Симпсона можно оценить по следующей формуле:

,

.

Второй способ оценки погрешности вычислений называется методом двойного пересчёта:

1)                 вычисление интеграла выполнить два раза с шагами h и 2h и обозначить полученные интегралы соответственно S_h и S_2h;

2)                 если на отрезке [a, b] величина f ⁽⁴⁾(x) изменяется медленно, то для метода Симпсона погрешность можно оценить по формуле

.

Существует два подхода к формуле Симпсона. В одном используется парабола в другом нет.

А) с использованием параболы.

Разделим отрезок [a;b] на чётное число равных частей n=2m. Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x₀,x₁], [x₁,x₂] и ограниченной заданной кривой y=f(x), заменим площадью криволинейной трапеции, которая ограничена параболой второй степени, проходящей через три точки M₀[x₀,y₀], M₁[x₁,y₁], M₂[x₂,y₂] и имеющей ось, параллельную оси Oy (рис). Такую криволинейную трапецию будем называть параболической трапецией.

Уравнение параболы с осью, параллельной оси Oy, имеет вид: .Коэффициенты A, B и C однозначно определяются из условия, что парабола проходит через три заданные точки. Аналогичные параболы строятся и для других пар отрезков. Сумма параболических трапеций и даст приближённое значение интеграла. Сначала вычислим площадь одной параболической трапеции. Для этого докажем лемму.

Лемма: если криволинейная трапеция ограничена параболой , осью O_x  и двумя ординатами, расстояние между которыми равно 2h, то её площадь равна:  (5), где y₀ и y₂- крайние ординаты, а y₁- ордината кривой в середине отрезка.

Доказательство:

Расположим вспомогательную систему координат так, как показано на рис. Коэффициент в уравнение параболы  определяются из следующих уравнений:

Если x₀=-h, то

Если x₁=0, то                           (6)

Если x₂=-h, то

 Считая коэффициенты A. B, C известными определим площадь параболической трапеции с помощью определённого интеграла:

  

из равенства (6) следует, что

следовательно:   ч.т.д. пользуясь формулой (5), можно написать приближённые равенства, учитывая, что                    

 

складывая левые и правые части, получим слева искомый интеграл, справа его приближённое значение:

или

     (7)

Это и есть формула Симпсона. Здесь число точек деления произвольно, но чем это число больше, тем точнее сумма в правой части равенства (6) даёт значение интеграла. Формула Симпсона даёт самое точное значение интеграла (из классических формул приближённого интегрирования), погрешность для этого метода находится по формуле:  где

Б) Без использования парабол

В тех случаях, когда линия y=f(x) между x=a и x=b мало изогнута, интеграл  приближенно выражается достаточно простой формулой. Будем считать f(x) положительной и искать площадь криволинейной трапеции aABb. Для этого разделим отрезок [a;b] точкой  пополам и в точке c(c,f(c))проведём касательную к линии y=f(x). После этого разделим [a,b] точками p и g на 3 равные части и проведём через них прямые x=p и x=q. P и Q – точки пересечения прямых с касательной. Соединив AP и BQ, получим 3 прямолинейные трапеции aAPp, pPQq, qQBb. Сумма площадей этих трапеций равна будет примерно равна площади криволинейной трапеции aABb:

Обозначим: Aa, Pp, qQ, bB – основания трапеций;

- высота трапеций, в данном случае число n строго задано n=3

Получаем:

(8)

Обозначим, что: aA=f(a)=y_a, bB=f(b)=y_b. Отрезки pP и qQ не являются ординатами точек линии y=f(x), так как P и Q лежат на касательной. Но нам нужна сумма этих отрезков, которая выражается через среднюю линию трапеции и равна полусумме её оснований, откуда . Значит . Формула (8) принимает вид:

(9). Эта формула называется малой формулой Симпсона.

Малая формула Симпсона пригодна, когда график подынтегральной функции мало изогнут, например для случая, изображённого на рисунке, применять малую формулу уже нельзя, так как она даёт значение 0 на [a,b]. Но если отрезок [a,b] разбить на части [a,c] и [c,b] и к каждому из них применить формулу (9), то получится приемлемый результат.

Эта идея лежит в основе вывода «большой» формулы Симпсона.

Для вычисления интеграла  выберем какое-либо чётное число и разложим [a,b] на n равных частей точками . Интеграл представим в виде суммы . К каждому слагаемому справа применим малую формулу Симпсона. Учитывая, что в каждом интеграле длина промежутка интегрирования , и положить , то получим:

 

Раскроем скобки:

Это и есть «большая формула Симпсона». Её точность, также как и у всех формул рассмотренных выше, тем выше, чем больше n. Эта формула совпадает с формулой (7), выведенной с помощью парабол. Для оценки погрешности формулы Симпсона используется формула:

Качество этой формулы лучше, чем формулы трапеции и прямоугольников, так как при одном и том же n она даёт большую точность.

5. Алгоритм программы

Краткое описание программы.

Программа предназначена для вычисления значения определённого интеграла на отрезке[a, b] с количеством разбиений 2n. Значения a, b и n вводятся с клавиатуры. Исходя из значений a, b и n, определяется шаг разбиения h отрезка[a, b]. Далее вычисляются суммы значений функций в чётных и нечётных точках. Затем вычисляется приближённое значение интеграла. Для оценки погрешности используем метод двойного пересчёта. Значение интеграла и погрешность выводятся на экран.

6. Вычислительные эксперименты

Проведем вычисления для функции f(x)=1/(1+x) на отрезке [0,1].

Очевидно, что интеграл от нее на отрезке[0,1] равен ln2 .

геометрический симпсон интегрирование многочлен

Ln2 ≈0.6931471805599

На графике (рис.1, рис.2) видно, что с увеличением числа разбиений n значение интеграла стремится к его истинному значению.

Проведем вычисления интеграла от функции f(x)=sin(x)/x на отрезке[1,2].

Аналогично рассмотрим значения интеграла для различного числа разбиений.

На графике (рис.3) видно, что с увеличением числа разбиений значения вычисленного интеграла от функции sin(x)/x сходятся к какому-то определенному числу – истинному значению интеграла.

По аналогии приведем таблицу и график (рис.4) для функции f(x)=x^2/ln(x) на отрезке [2,4], где также прослеживается приближение значения интеграла к какому-то более точному значению.

Заключение

В данной курсовой работе решена задача приближённого интегрирования функций методом Симпсона. Каждый способ приближённого решения определённого интеграла имеет свои преимущества и недостатки, в зависимости от поставленной задачи следует использовать конкретные методы. Если необходимо быстро получить решение, но нет необходимости в большой точности ответа, следует воспользоваться одним из методов прямоугольника. Если же необходимо получить наиболее точный результат, идеально подходит метод Симпсона. Метод трапеций даёт ответ более точный, чем метод прямоугольников, но методу Симпсона он сильно уступает, этот метод можно назвать «золотой серединой» между двумя другими.

В процессе создания курсовой работы разработан алгоритм решения поставленной задачи. По этому алгоритму составлена и отлажена программа, в которой отдельным циклом методом двойного пересчета рассчитывается оценочная погрешность.

На примере трех функций: f(x)=x²/ln(x), f(x)=sin(x)/x и f(x)=1/(1+x) в ходе вычислительных экспериментов были получены результаты работы метода Симпсона, которые показывают достаточную точность при наиболее малом числе разбиений. Программа является полностью работоспособной, что подтверждается результатами её тестированием.

Используемая литература:

1.Жуликов С.Е. Вводные лекции по численным методам: Учебное пособие. Тамбов: Изд-во ТГУ им. Г.Р. Державина, 2010.

2.Калиткин Н.Н. Численные методы. [Электронный ресурс] / Н.Н.Калиткин. - М.: Питер, 2001.

3.Пулькин С.П., Никольская Л.Н., Дьячков А.С. Вычислительная математика. – М.: Просвещение,1980.

4. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Лапчик М.П. Численные методы. – М.: Просвещение,1990.

Приложение:

Листинг программы

program simpson ;

{$APPTYPE CONSOLE}

uses

SysUtils;

Function f (x : real) : real ;

begin

f := 1/(1+x);

end;

var x , h ,r , s1,s2, s,s2h, a, b:real;

i, n :integer;

begin

write("vvedite a=");

readln (a);

write( "vvedite b=");

readln (b);

write ("vvedite chislo razbienii n=") ;

readln (n);

h:=(b-a)/(2*n);

s1:=0;

s2:=0;

for i:= 1 to 2*n-1 do

begin

x:= a+i*h;

if i mod 2=0 then

s2:=s2+f(x)

else

s1:=s1+f(x)

end;

s:=h/3*(f(a)+f(b)+4*s1+2*s2);

h:=(b-a)/n;

s1:=0;

s2:=0;

for i:= 1 to n-1 do

begin

x:= a+i*h;

if i mod 2=0 then

s2:=s2+f(x)

else

s1:=s1+f(x)

end;

s2h:=h/3*(f(a)+f(b)+4*s1+2*s2);

r:=abs((s-s2h)/15);

writeln ("integral=",s :13 :12);

writeln ("ocenka pogreshnosti=",r:13:12);

readln;

end.

Размеще