Узагальнена функція Гріна

Найпоширенішою задачею в теорії звичайних рівнянь є задача Коші. Додаткові умови цієї задачі за своєю суттю є початковими: в них фігурують значення невідомої функції та її похідних( якщо порядок рівняння перевищує одиницю) при фіксованому значенні незалежної змінної. Зрозуміло, що це не єдиний спосіб виділення того, чи іншого частинного розв^язку з множини всіх функцій, які задовольняють диференціальне рівняння. Часто виникає потреба у знаходженні такого розв^язку, для якого виконувалися б так звані крайові умови: значення шуканої функції та її похідних мають задовольняти певні співвідношення в кількох фіксованих точках проміжку, який пробігає незалежна змінна. Причому, задачу відшукання такого розв^язку називають крайовою задачею. Такі крайові задачі мають прикладне значення і частіше виникають у практиці. Наприклад,задача про форму провислого каната із закріпленими кінцями зводиться до відшукання такого розв^язку диференціального рівняння другого порядку, графік якого проходив би через дві наперед задані точки, або, щоб знайти Т-періодичний розв"язок лінійного Т-періодичного рівняння , потрібно з усіх розв^язків вибрати той, який задовольняє умову . Для розв^язання крайових задач використовують так звану функцію Гріна, спробуємо зрозуміти, як вона будується у загальному випадку.

Розглянемо випадок,коли однорідна крайова задача

 (1)

 (2),

має хоча б один нетривіальний розв^язок. При цьому, нехай функція  неперервно диференційована на , а дійсні функції  - неперервні на ,та - задані числа, причому,

Позначимо цей розв^язок через .

Твердження 1.

Однорідна крайова задача (1),(2) має нетривіальний розв"язок тоді і лише тоді, коли розв^язки  та лінійно залежні.

Доведення.

Нехай неоднорідна крайова задача має нетривіальний розв"язок . Оскільки як , так і  задовольняють першу крайову умову (2), а , то вронскіан цих розв^язків дорівнює нулю, а отже, вони лінійно залежні. Так само можна довести лінійну залежність розв^язків  та . Звідси випливає, що  та також лінійно залежні.

Навпаки,нехай зазначені розв^язки лінійно залежні. Тоді для деякої сталої  маємо . Тепер зрозуміло,що, наприклад, функція := є розв^язком однорідної крайової задачі. Твердження доведено.

Звідси можна зробити висновок, що множина всіх розв^язків задачі – це сім^я функцій вигляду, , де - довільна стала. Тому, не обмежуючи загальності викладу, вважатимемо, що  вибрано так, щоб справджувалась умова нормування

Необхідну умову існування розв^язку неоднорідної крайової задачі встановлює таке твердження.

Твердження 2.

Якщо задача

 (3)

 (2)

Має розв^язок , то функція ортогональна до нетривіального розв^язку  відповідної крайової задачі (1),(2), тобто

 (4)

Доведення.

Застосуємо формулу Гріна до пари функцій  та  . Оскільки вони задовольняють крайові умови то згідно з властивістю симетричності оператора  маємо:

Урахувавши, що  і , дістанемо (4). Зауважимо, що при довільному  функція теж є розв^язком задачі (3),(2). Аби уникнути такої неоднозначності, умови (2) слід доповнити ще однією. Найприроднішою додатковою умовою є вимога ортогональності

 (5)

Твердження 3.

Якщо задача (3),(2),(5) має розв^язок ,то він єдиний.

Доведення.

Справді, різниця двох розв^язків задачі (3),(2),(5) є розв^язком вигляду  відповідної однорідної задачі. З умови (5) та нормованості функції  одразу випливає, що

Розв^яжемо вироджену крайову задачу за допомогою методу варіації довільних сталих, вважаючи, що умова ортогональності (4) справджується. Виберемо лінійно незалежний з  розв^язок  однорідного рівняння (1) так, щоб виконувалася рівність

Цим ми дещо спростимо формули, які буде одержано нижче. Шукаємо розв^язок (3) методом варіації сталих у вигляді

 (6)

отримаємо таку систему:

Розв^яжемо її відносно  та  за правилом Крамера.

Маємо рівняння

, (7)

При цьому

Тому, аби розв^язок задовольняв крайову умову в точці ,необхідно вимагати виконання рівності . Звідси  і з урахуванням (4) . Остання рівність забезпечить справдження крайової умови в правому кінці проміжку .

Загальний розв^язок першого з рівнянь (7) візьмемо у вигляді , де - довільна стала. Підставивши знайдені функції , в (6), дістанемо одно параметричну сім^ю функцій

, (8)

Кожна з яких є розв^язком крайової задачі (3),(2). Умову ортогональності (5) завжди можна задовольнити, відповідним чином обравши довільну сталу с₁.

Підсумком наведених міркувань є така теорема:

Теорема1

Розв^язок крайової задачі (3) (2) існує тоді і лише тоді, коли функція ортогональна до кожного розв"язку відповідної однорідної крайової задачі.

Тепер покажемо, що розв^язок(8) можна подати у вигляді інтегрального перетворення

,

Де функція  задовольняє крайові умови й при кожному

є ортогональною до .

Насамперед, запровадивши функцію

за аналогією з не виродженим випадком, перепишемо (8) у вигляді

 (9)

Оскільки ,,

, ,

То задовольняє умову лише в лівому кінці проміжку  , адже розв^язок  не задовольняє жодної умови (2). Отже, функцію доведеться відповідним чином виправити. Для цього звернемо увагу на такий факт:якщо у формулі(9) зробити заміну -, де  довільні функції, то вона й надалі визначатиме розв^язок рівняння (3):адже ортогональна до . Неважко зрозуміти, що перетворена функція задовольнятиме обидві крайові умови, якщо функцію  вибрати так, щоб при деякому виконувалися рівності

,,, (10)

Найзручнішим буде такий вибір:

Легко перевірити, що ця функція не лише задовольняє умови (10), а й є розв^язком неоднорідного рівняння = . При цьому, якщо додатково вимагати, аби розв"язок  був ортогональним до  на ,то .

Тепер залишилось покласти

І вибрати функцію  так, щоб  була ортогональною до . Для цього домножимо праву частину останньої нерівності на , одержаний добуток зінтегруємо за змінною  і результат прирівняємо до нуля. З одержаного рівняння легко знайдемо

.

Остаточно маємо

 (11)

З урахуванням властивостей цієї функції дамо таке означення.

Означення.

Функцію називатимемо узагальненою функцією Гріна крайової задачі (2)-(3), якщо вона задовольняє такі умови:

1.  Функція  неперервна в квадраті К=,має неперервні частинні похідні , у кожному з трикутників ,;

2.  Для кожного фіксованого  функція задовольняє рівняння Lx(t)= - при всіх ,, а також крайовій умові (2).

3.  На діагоналі квадрата К похідна має розрив першого роду зі стрибком 1/p(s): -.

4.  Для кожного фіксованого  функція ортогональна до функції : .

5. 

Сформулюємо алгоритм відшукання узагальненої функції Гріна.

·  Знаходимо таку фундаментальну систему , лінійного однорідного рівняння (1), щоб розв"язок задовольняв умови(2).

·  Знаходимо будь-який розв"язок g(t,s) неоднорідного рівняння Lx(t)= -.

·  Узагальнену функцію Гріна шукаємо у вигляді

Функції  обираємо так, щоб останній доданок задовольняв пунктам 1 і 3 означення узагальненої функції Гріна;функцію - так, щоб  задовольняла крайові умови задачі;нарешті, вибором функції  забезпечуємо виконання умови ортогональності 4.

Проаналізувавши вигляд правої частини формули (11), можна зробити висновок, що  з потрібними властивостями існують.

Розглянемо приклад.

Розв^яжемо крайову задачу

, <<  ;

Розв"яжемо відповідне однорідне рівняння , застосувавши метод Ейлера. Тобто розв"язок  шукаємо у вигляді= . Знайшовши

 =,=, підставивши ці значення в рівняння та скоротивши на  маємо так зване характеристичне рівняння:,з якого знайдемо корені :

З цього маємо фундаментальну систему розв^язків рівняння:

За теоремою про загальний розв"язок однорідного рівняння, маємо:

де

Тому можемо сказати, що відповідна однорідна задача має однопараметричну сім^ю розв^язків  , де  – довільна стала, для якої умова теореми 1 виконано, бо  . Методом невизначених коефіцієнтів знайдемо частинний розв^язок диференціального рівняння задачі: . Загальний розв^язок цього рівняння має вигляд:

Для того, щоб задовольнити крайовій умові, достатньо покласти . Сталу  виберемо так, щоб справджувалась умова ортогональності шуканого розв^язку й функції :

Звідси =. Остаточно маємо:

Знайдемо функцію Гріна для цієї крайової задачі

За функцію  візьмемо (коефіцієнт  вибирається з умови нормованості ) Розв"язком однорідного рівняння, який не задовольняє крайові умови, є, наприклад .

Далі рівняння

Має частинний розв"язок вигляду , отже, узагальнену функцію Гріна шукаємо у вигляді

(коефіцієнт  вбирають у себе функції  і  ).

Оскільки в нашому випадку , то умови неперервності і стрибка похідної функції  при  мають вигляд

,.

Звідси ,;

Наслідком крайової умови в точці  є рівність . Тоді в точці  маємо: .Отже, функція

задовольняє пунктам 1-3 означення узагальненої функції Гріна.

Нарешті, функцію  визначимо з умови ортогональності

. Обчисливши відповідні інтеграли, знаходимо

Остаточно маємо