Уравнения Максвелла для электростатики. Векторные операторы в различных системах координат

Описание:
Тип работы: статья
Векторные операторы (grad, div, rot), фигурирующие в уравнениях Максвелла, по-разному записываются в различных системах координат.
Доступные действия
Введите защитный код для скачивания файла и нажмите "Скачать файл"
Защитный код
Введите защитный код
Нажмите на изображение для генерации защитного кода

Текст:

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Уравнения Максвелла для электростатики имеют вид:

divvec{D}

 = ρ

rotvec{E}

 =

vec{0}

При этом

vec{D} = varepsilon_0varepsilon vec{E}, vec{E} = - ablavarphi

 (4)

В вакууме ε = 1, так что

divvec{D}=varepsilon_0 div vec{E} = -varepsilon_0 div grad varphi = -varepsilon_0 Delta varphi (Delta - { m оператор Лапласа})

 (5)

Потенциал φ считается равным нулю на бесконечности, если не оговорено иное.

Векторные операторы (grad, div, rot), фигурирующие в уравнениях Максвелла, по-разному записываются в различных системах координат:

grad varphi = ablavarphi

 =

frac{partial varphi} {partial x}vec{i} + frac{partial varphi}{partial y}vec{j} + frac{partial varphi}{partial z}vec{k} - { m декартова}

 (6)

frac{partialvarphi}{partial r}vec{e}_r - { m цилиндрическая}

 (7)

frac{partialvarphi}{partial r}vec{e}_r - { m сферическая система}

 (8)

div vec{A} = ablacdotvec{A}

 =

frac{partial A_x}{partial x} + frac{partial A_y}{partial y} +frac{partial A_z} {partial z} - { m декартова}

 (9)

frac{1}{r}frac{partial}{partial r}left(rA_r ight) - { m цилиндрическая}

 (10)

frac{1}{r^2}frac{partial}{partial r}left(r^2A_r ight) - { m сферическая система}

 (11)
Δ φ =

frac{partial^2 varphi}{partial x^2} + frac{partial^2 varphi}{partial y^2} +frac{partial^2 varphi} {partial z^2} - { m декартова}

 (12)

frac{1}{r}frac{partial}{partial r}left(r frac{partial varphi} {partial r} ight) - { m цилиндрическая}

 (13)

frac{1}{r^2}frac{partial}{partial r}left(r^2 frac{partial varphi}{partial r} ight) - { m сферическая система}

 (14)

Для цилиндрической и сферической систем выписана лишь радиальная часть соответствующих операторов. Этого достаточно для решения задач, в которых электрические величины зависят только от r.

rot vec{A}

 =

left(frac{partial A_z}{partial y} - frac{partial A_y}{partial z} ight) vec{i} + left( frac{partial A_x}{partial z} - frac{partial A_z} {partial x} ight)vec{j} + left(frac{partial A_y} {partial x} - frac{partial A_x}{partial y} ight) vec{k}

 (15)

Задача. Электрическое поле зависит только от координаты x согласно формуле vec{E} = alpha x exp(-eta x^2)vec{i}. Требуется вычислить распределение заряда ρ(x) и распределение потенциала φ(x). При нахождении φ(x) принять φ|x = 0 = 0.

Решение: Распределение заряда находится непосредственно из уравнения Максвелла:

ρ =

divvec{D} = varepsilon_0 divvec{E}
ρ =

varepsilon_0 frac{{ m d}E_x}{{ m d}x} = varepsilon_0 alpha exp(-eta x^2)(1-2eta x^2)

Для нахождения потенциала φ(x) необходимо интегрирование уравнения (4), причем с обоснованно взятыми пределами, а именно от точки x = x*, в которой φ(x*) = 0 до точки x, в которой ищется потенциал:

varphi(x) = -intlimits_{x^*, varphi(x^*)=0}^x E_x( ilde{x}){ m d} ilde{x}

В условии сказано, что φ(0) = 0 - это и диктует выбор нижнего предела:

varphi(x) = -intlimits_{0}^x E_x( ilde{x}){ m d} ilde{x}

В качестве переменной интегрирования мы используем ilde{x}, чтобы избежать путаницы с x. Теперь мы проводим вычисление и приходим к окончательному ответу:

φ(x) =

-intlimits_{0}^x alpha ilde{x} exp(-eta ilde{x}^2){ m d} ilde{x} =
=

left.frac{alpha}{2eta}cdot exp(-eta ilde{x}^2) ight|_0^x = -frac{alpha}{2eta}left(1- exp(-eta x^2) ight)

Задача. В некоторой области распределение потенциала является цилиндрически-симметричным и подчиняется закону φ = α r5, где r - расстояние от оси. Найти Er(r) и ρ(r) для этой области.

Ответ: Er(r) = –5α r4, ρ(r) = –25ε0α r3

Задача. Потенциал внутри шара зависит от координаты r как φ(r) = ar2+b (a, b - константы). Найти ρ(r).

Решение Мы имеем дело со сферической системой и должны работать в ней. Ввиду симметрии, электрическое поле направлено от центра шара (или, вообще говоря, к нему - это зависит от знака a). Поле находим как градиент потенциала:

vec{E} = E_rvec{e_r} = - abla varphi = -frac{{ m d}varphi}{{ m d}r} vec{e_r} = -2arvec{e_r}

После этого сразу записывается vec{D}(у нас ε = 1):

vec{D} (= D_rvec{e_r}) = varepsilon_0 cdot vec{E}

Далее используем уравнение Максвелла для нахождения заряда:

ho = divvec{D} = frac{1}{r^2}frac{{ m d}} {{ m d}r}left(r^2D_r ight) = frac{1}{r^2}frac{{ m d}} {{ m d}r}left(-varepsilon_0cdot 2ar^3 ight) = -6varepsilon_0a

Задача. В цилиндрической системе имеется электрическое поле vec{E} = Arexp(-alpha r)vec{e}_r, α>0. Выяснить, какому распределению заряда ρ(r) и какому потенциалу φ(r) такое поле соответствует.

Ответ: ρ(r) = Aε0exp(–α r)(2–α r), varphi(r) = frac{A}{alpha^2} exp(-alpha r)(1+alpha r)

Задача. Проверить, выполняется ли критерий потенциальности (rot vec{E}=vec{0}) для поля vec{E} = 2axyvec{i} + a(x^2+y^2) vec{j}и для поля vec{E} = 2axy^2vec{i} + a(x^2+y^2) vec{j}.

Ответ: Для первого поля - да, для второго - нет.

Список литературы

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://edu.ioffe.ru/r

Информация о файле
Название файла Уравнения Максвелла для электростатики. Векторные операторы в различных системах координат от пользователя z3rg
Дата добавления 8.1.2012, 23:49
Дата обновления 8.1.2012, 23:49
Тип файла Тип файла (zip - application/zip)
Скриншот Не доступно
Статистика
Размер файла 41.27 килобайт (Примерное время скачивания)
Просмотров 558
Скачиваний 60
Оценить файл