Расчет поля между эквипотенциальными поверхностями в неоднородной среде в отсутствие объемного заряда

Описание:
Тип работы: статья
Это типичная ситуация в конденсаторе. Для ее рассмотрения используется уравнение Пуассона с ρ = 0, которое интегрируется с учетом условий φ(x1) = φ1, φ(x2) = φ2 (для плоскостного случая) или φ(r1) = φ1, φ(r2) = &
Доступные действия
Введите защитный код для скачивания файла и нажмите "Скачать файл"
Защитный код
Введите защитный код

Нажмите на изображение для генерации защитного кода

Текст:

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Это типичная ситуация в конденсаторе. Для ее рассмотрения используется уравнение Пуассона с ρ = 0, которое интегрируется с учетом условий φ(x1) = φ1, φ(x2) = φ2 (для плоскостного случая) или φ(r1) = φ1, φ(r2) = φ2 (сфера, цилиндр). Рассмотрим далее случай плоскости.

divleft(varepsilon_0varepsilon(x) grad varphi
ight) = 0

frac{{
m d}varphi(x)}{{
m d}x} = frac {A}{varepsilon(x)}

varphi(x) = varphi_1+ {A} cdot int limits_{x_1}^x varepsilon^{-1}(	ilde{x}){
m d}	ilde{x}, A = frac{varphi_2-varphi_1}{intlimits_{x_1}^{x_2} varepsilon^{-1}(	ilde{x}) {
m d} 	ilde{x}}

Далее можно дифференцированием по x найти поле Ex и Dx:

E_x = -frac{{
m d}varphi}{{
m d}x} = -{A}varepsilon^{-1}(x), D_x = varepsilon_0varepsilon(x)E_x = -varepsilon_0cdot A

Следующий шаг - нахождение поляризованности и ее дивергенции, то есть связанного заряда ρ":

P_x = varepsilon_0(varepsilon(x)-1)E_x = -Avarepsilon_0frac{varepsilon(x)-1}{varepsilon(x)}, 
ho

В точках разрыва ε(x) (на стыке двух диэлектриков) производная ε"(x) обращается в бесконечность, формула для ρ" cтановится неприменимой и надо искать поверхностный связанный заряд:

sigma

Обязательно проверяются условия на границах (в данном случае x1, x2) на наличие поверхностного связанного заряда:

sigma

В сферическом и цилиндрическом случаях надо правильно писать div в соответствующей системе координат. Выражения для φ(r) принимают вид:

φ(r) =

varphi(R_1) +frac{varphi_2- varphi_1}{intlimits_{R_1}^{R_2}	ilde{r}^{-1}varepsilon^ {-1}(	ilde{r}){
m d}	ilde{r}}cdot intlimits_{R_1}^r varepsilon^{-1}(	ilde{r})	ilde{r}^{-1}{
m d}	ilde{r} - {
m цилиндрический}

φ(r) =

varphi(R_1) +frac{varphi_2- varphi_1}{intlimits_{R_1}^{R_2}	ilde{r}^{-2}varepsilon^ {-1}(	ilde{r}){
m d}	ilde{r}}cdot intlimits_{R_1}^r varepsilon^{-1}(	ilde{r})	ilde{r}^{-2}{
m d}	ilde{r} - {
m сферический случай}

после чего Er(r) и связанные заряды находятся аналогично тому, как это было сделано выше для плоскостного (декартового) случая.

Задача. Получить выражения для φ(r), Er(r), ρ ", σ " в случае цилиндрической и сферической симметрии, если заданы зависимость ε(r), а также потенциалы граничных поверхностей φ(R1(2)) = φ1(2). ρ = 0.

Указание: Для промежуточной проверки использовать вышеприведенные выражения для потенциала.

Задача. Пространство между обкладками плоского конденсатора шириной d заполнено неоднородным диэлектриком c проницаемостью ε(x) = 1+α x. Найти φ(x), Ex(x), ρ ", σ " на обкладках.

Решение: Будем считать, что конденсатор занимает область координат x = 0... d, причем потенциал одной обкладки (x = 0) равен φ1 = 0, а другой φ2 = U. Тогда зависимость потенциала от координаты находится как

varphi(x) =Ucdotleft(intlimits_0^dfrac{1} {1+alpha 	ilde{x}} {
m d}	ilde{x}
ight)^{-1}cdot int limits_0^xfrac{1}{1+alpha 	ilde{x}} {
m d}	ilde{x} = frac{U}{ln(1+alpha d)}cdot ln(1+alpha x)

после чего находим поле Ex(x) дифференцированием:

E_x(x) = -frac{{
m d}varphi}{{
m d}x} = -frac{U} {ln(1+alpha d)}cdot frac{alpha}{1+alpha x}

и далее получаем поляризованность Px:

P_x(x) = varepsilon_0(alpha x)E_x = -frac{varepsilon_0alpha^2U x}{ln(1+alpha d)(1+alpha x)}

Взяв дивергенцию, получаем объемный связанный заряд:


ho

и еще проверяем условия на обкладках на наличие поверхностного заряда σ ":

σ "|x = 0 = –Px|x = 0+ = 0
σ "|x = d =

P_x|_{x=d-} = -frac{varepsilon_0alpha^2Ud} {ln(1+alpha d)(1+alpha d)}

Как и следовало ожидать, σ "|x = 0 = 0, поскольку у обкладки x = 0 диэлектрическая проницаемость равнa единице. Если U>0, то σ "|x = d<0, что тоже естественно: у обкладки x = d должен концентрироваться отрицательный связанный заряд. Для проверки найдем суммарный связанный заряд на единицу площали обкладки конденсатора - этот заряд должен оказаться равным нулю. Действительно,

frac{q

=

intlimits_0^d
ho

=

intlimits_0^dfrac{varepsilon_0 alpha^2U}{ln(1+alpha d)}cdot frac{1}{(1+alpha x)^2} {
m d}x +0 - frac{varepsilon_0alpha^2Ud}{ln(1+alpha d)(1+alpha d)} =

=

frac{varepsilon_0alpha^2U}{ln(1+alpha d)}cdot left.frac{-1}{alpha(1+alpha x)}
ight|_0^d - frac{varepsilon_0 alpha^2Ud}{ln(1+alpha d)(1+alpha d)} = 0

Список литературы

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://edu.ioffe.ru/r

Информация о файле
Название файла Расчет поля между эквипотенциальными поверхностями в неоднородной среде в отсутствие объемного заряда от пользователя z3rg
Дата добавления 8.1.2012, 23:47
Дата обновления 8.1.2012, 23:47
Тип файла Тип файла (zip - application/zip)
Скриншот Не доступно
Статистика
Размер файла 39.88 килобайт (Примерное время скачивания)
Просмотров 556
Скачиваний 150
Оценить файл