Расчёт основных характеристик системы цифровой связи с использованием квадратурной модуляции

Федеральное государственное образовательное

бюджетное учреждение высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный университет

телекоммуникаций имени профессора М. А. Бонч-Бруевича»

Факультет вечернего и заочного обучения

Кафедра теории электрических цепей и связи

КОНТРОЛЬНАЯ (КУРСОВАЯ) РАБОТА

учебная дисциплина «Общая теория связи»

Тема: «Расчёт основных характеристик системы цифровой связи с использованием квадратурной модуляции»

Выполнил:

студент II курса группы

ОБ-46С

Королёва М.И.

зачетная книжка № 1404133

номер выполненного варианта m=33

Проверил:

Руководитель КР, профессор кафедры ТЭЦиС,

канд. техн.наук, проф. Гурский С.М.

Оценка    ___________   (подпись)

Санкт-Петербург 2016

Содержание

1.      Структурная схема системы цифровой связи………………………………………….2

2.      Исходные данные для расчета системы цифровой связи………………………………..5

3.      Расчет системы цифровой связи………………………………………………………….. 6

3.1 Источник сообщения……………………………………………………..………..6

3.2  Аналогово-цифровой преобразователь……………………………………….….9

3.3. Кодер……………………………………………………………………………….12

3.4 Формирователь модулирующих сигналов ………………………………………14

3.5 Модулятор……………………………………………………………………….....18

3.6 Непрерывный канал………………………………………………………..……23

3.7 Демодулятор……………………………………………………………….………25

3.8 Декодер………………………………………………………………………….….27

3.9 Фильтр нижних частот…………………………………………………………….34

Литература………………………………………………………………….……..………..35

Приложение 1. Таблицы результатов расчетов…………………………………………..36

1.      СТРУКТУРНАЯ СХЕМА СИСТЕМЫ ЦИФРОВОЙ СВЯЗИ

Система связи предназначена для передачи аналоговых сообщений по цифровому каналу связи. Структурная схема для КФМ-4 представлена на рис. 1.1.

Рисунок 1.1 – Структурная схема системы цифровой связи

Входящие в систему цифровой связи функциональные узлы имеют следующие назначения:

1. Источник сообщений (ИС) создаёт реализации a(t) случайного процесса A(t);

2. Аналого-цифровой преобразователь (АЦП) преобразует аналоговый сигнал от источника сообщения в последовательность его двоичных цифровых отсчётов;

3. Кодер (К) включает в цифровой поток от АЦП дополнительные символы, предназначенные для повышения помехоустойчивости системы связи;

4. Формирователь модулирующих сигналов (ФМС) служит для получения модулирующих сигналов I(t) и Q(t), соответствующих заданному виду модуляции;

5. Перемножители (ПМ1, ПМ2) модулятора – для получения БМ сигналов: синфазного I(t)cosω_Сt и квадратурного Q(t)sinω_Сt.

6. Фазовращатель на угол φ= – модулятора – для получения второго несущего колебания, ортогонального по отношению к первому; 

7. Генератор гармонических cos ω_Ct колебаний – для получения несущего колебания;

9. Сумматор модулятора – для объединения синфазного и квадратурного сигналов в единый сигнал с квадратурной модуляцией S_КАМ(t) = I(t)cosω_Сt + Q(t)sinω_Сt;

10.Непрерывный канал – среда распространения сигнала S_КАМ(t);

11. Демодулятор – для анализа приходящего сигнала, искажённого помехами, и принятия решения о переданном сообщении;

12.Преобразователь параллельного кода в последовательный код – для преобразования сигнала с выхода демодулятора в последовательный формат кодовых комбинаций;

13. Декодер (ДК) – для исправления части ошибок, возникших при приёме сообщений вследствие влияния помех;

14.цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП) – для восстановления аналоговой формы сигнала по принятым его цифровым отсчетам;

15.получатель сообщений (ПС).

2.      ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА СИСТЕМЫ

ЦИФРОВОЙ СВЯЗИ

Исходные данные варианта 28  указаны в таблице 2.1.

Таблица 2.1

Предельные уровни аналогового сигнала амин, амакс, В	Внести свои данные	амин =  -1,6
		амакс = +1,6
Верхняя частота спектра аналогового сигнала fВ	fВ, Гц	fВ = 290 кГц
Заданный уровень квантования	j = 500-3·m	j = 401
Спектральная плотность мощности флуктуационной помехи	номер варианта m	NO  (В2/Гц)
	33	0,25·10-7 В2/Гц
q – номер тактового интервала ошибки	q = (m mod3)+1	2
№ вида модуляции l=m(mod2) l=0	КФМ-4

3.     РАСЧЕТ СИСТЕМЫ ЦИФРОВОЙ СВЯЗИ

3.1. Источник сообщения

Источник сообщения (ИС) вырабатывает реализации a(t) стационарного случайного процесса A(t) типа квазибелого шума с параметрами a_мин, a_макс  и f_В. Мгновенные значения сообщения равновероятны в интервале от значения a_min до значения a_max.

Требуется:

1.Написать аналитические выражения для плотности вероятности w(a) мгновенных значений сообщения, функции распределения F(a) и построить их графики.  

Исходим из условия равновероятности мгновенных значений сообщения в интервале Δ = a_max - a_min. Внутри этого интервала w(a) определяется из условий нормировки, вне интервала принимает значение, равное 0 [4, стр.13].

   , 1/В                                                   (1)

где Δ = a_max – a_min ,   Δ = 1,6 – (-1,6) = 3,2

 

Плотность вероятности мгновенных значений сообщения имеет вид:

График w(a) приведен на рис.3.1.1.

Рисунок 3.1.1 – График w(a) плотности вероятности  А(t)

Функция распределения имеет вид [4, стр.13]:

                                                        (2)

График функции распределения  F(a) приведен на рис.3.1.2.

                                          

Рисунок 3.1.2 – График функций распределения F(а)

2. Рассчитываем математическое ожидание M[A(t)] и дисперсию D[A(t)] сообщения A(t) [4, стр.6]:

                                                       (3)

                     (4)

3. Аналитическое выражение  спектральной плотности мощности G_A(f) сообщения A(t) [4, стр.6]:

                                                              (5)

График спектральной мощности  G_А(f) сообщения показан на рис. 3.1.3.

              

Рисунок 3.1.3 – График спектральной мощности  G_А(f) сообщения

4.Корреляционную  функцию  сообщения определим через его энергетический спектр по теореме Винера-Хинчина:

       (6)

График корреляционной функции приведен на рис.3.1.4.

Рисунок 3.1.4. График корреляционной функции

Эргодичность для стационарного процесса  A_(t) – это убывание корреляционной функции, т.е.

Условие эргодичности выполняется.

Так как рассматриваемый случайный процесс является эргодическим– усреднение какой-либо одной его реализации процесса A(t) по времени равно усреднению ансамбля реализаций, т.е. математическое ожидание равно постоянной составляющей, а дисперсия – мощности переменной составляющей. Спектральная плотность средней мощности имеет равномерное распределение в интервале частот от 0 до Fв.

Находим дифференциальную энтропию h(A)  сообщения [6]:

                  (7) 

 = 1,68 бит

3.2  Аналогово-цифровой преобразователь

Аналогово-цифровой преобразователь  (АЦП) предназначен для преобразования аналоговой величины в цифровой код, т.е. в поток двоичных символов, где «1» представлена прямоугольным импульсом положительной полярности, а «0» - отсутствием напряжения. Преобразование аналогового сигнала в цифровой  выполняется в три этапа: дискретизация, квантование и кодирование.

Требуется:

1.      Определить интервал дискретизации реализации  сообщения  по времени и частоту дискретизации f_Д .

В моменты времени  берутся непрерывные по уровню отсчеты  мгновенных значений реализации . Расстояние между отсчетами равно интервалу , величина которого определяется в соответствии с теоремой Котельникова.

Рассчитаем частоту дискретизации [4, c.8]:

f_Д= 2f_В                                                                                 
                           (8)

f_Д = 2·290·10³ = 580·10³ Гц = 580 кГц

Рассчитаем интервал дискретизации Δt для получения отсчетов a(t_i) реализации a(t), t_i=i·Δt, i=0,±1,±2,…

                                                                        (9)

2.      Определить число уровней квантования L_С,  разрядность АЦП составляет  k=9.

Для этого интервал  равный разности - разбиваем на уровни квантования с постоянным шагом Δа.  Уровни квантования нумеруются целыми числами . Нумерация уровней начинается с уровня, которому соответствует значение , и заканчивается на уровне, которому соответствует значение . Величина шага квантования Δа выбирается так, чтобы число уровней квантования  можно представить в виде , где  ­ целое число.

Каждый аналоговый отсчет  заменяется значением ближайшего к нему уровня квантования  в виде целого числа, удовлетворяющего неравенству . Получаем квантованный отсчет  в виде целого числа в десятичной форме счисления.

Число уровней квантования определяем по формуле [4, c.14]:

L = 2^k,

где k – разрядность АЦП, k = 9.

L = 2⁹ = 512

3.      Определим мощность шумов квантования Р_шк:

Закон распределения шума квантования w(ε) определим из условия нормировки:

;

В интервале  

Получаем w(ε) =1/Δa=1/(3,2/512)=1/0,00625=160

Мощность шумов квантования определим по формуле:

                                                         (10)

В²

4.Относительная мощность шума квантования:

                                             (11)

3. Записать реакцию АЦП в виде 9-разрядного двоичного числа J2, соответствующее заданному уровню квантования J10=.

Записываем реакцию АЦП  в виде 9-ти разрядного двоичного числа J₂, соответствующему заданному уровню квантования J₁₀ = 416.

Переводим число 416₁₀ в двоичную систему.

416/2=208(0)  208/2=104(0) 104/2=52(0) 52/2=26(0)  26/2=13(0) 13/2=6(1) 6/2=3(0) 3/2=(1) (1)

Получим двоичную последовательность J₂= 110100000, соответствующую числу 416.

4.         Начертить временную диаграмму отклика АЦП bАЦП (t ) на заданный уровень квантования J2 в виде последовательности биполярных импульсов, сопоставляя нулевым символам прямоугольные импульсы положительной полярности, а единичным – отрицательной [5, стр. 114; 6, стр. 158]. Амплитуда импульсов равна единице. Над импульсами надписать значения соответствующих двоичных информационных символов (0 – «ноль» или 1 – «единичка»). Длительность отклика АЦП на каждый отсчёт соответствует рассчитанному  интервалу дискретизации (рис. 3.2.1).

 

Рисунок 3.2.1 – Временная диаграмма отклика АЦП b_АЦП (t) на заданный

уровень квантования

3.3. Кодер

Кодер включает в цифровой поток от АЦП дополнительные символы, предназначенные для повышения помехоустойчивости СЦС. Кодер канала формирует помехоустойчивый свёрточный код (СК) со степенью кодирования k/n=1/2, длиной кодового ограничения K=3.

Требуется:

1.Для кодирования используем помехоустойчивый сверточный кодер СК с параметрами: степень кодирования k/n = 1/2, длина кодового ограничения К=3, векторы связи g₁ = 111 и g₂ = 101.

2.Структурная схема свёрточного кодера, соответствующая заданным параметрам представлена на рис.3.3.1

 

Рисунок 3.3.1 – Структурная схема сверточного кодера

Импульсная характеристика кодера для информационной последовательности j₁₀=416, j₂=110100000

h(416) = 1+x+x³+x⁵+x⁸+x¹⁰+x¹¹.

3.Решетчатая диаграмма свёрточного кодера от момента времени t₁ до момента времениt₁₀ представлена на рис 3.3.2.

4. На решетчатой диаграмме свёрточного кодера построим путь, соответствующий последовательности информационных символов b(iT) от АЦП для заданного уровня квантования , и определить по нему последовательность кодовых символов c(iTb) отсчета j  на выходе кодера (рис.3.3.2). Кодовые ребра, соответствующие входному символу 0 изображены сплошными линиями, кодовые ребра, соответствующие символу 1 – пунктирными линиями.

=	1	1	0	1	0	0	0	0	0
a=00
b=10
c=01
d=11
=	11	01	01	00	10	11	00	00	00

Рисунок 3.3.2 – Решетчатая диаграмма кодера с полученными кодовыми символами

Заданному уровню квантования  j₁₀ = 416 соответствует j₂=110100000 двоичная информационная последовательность, поступающая на вход сверточного кодера. На выходе получаем кодовые символы КС.  В первой строке табл. 3.3 указаны информационные символы ИС по заданному  уровню. Во второй строке табл. 3.3 записаны полученные кодовые символы КС на выходе сверточного кодера по решетчатой диаграмме.

Таблица 3.3.1 Информационные и кодовые символы

Информационные символы (ИС)	1	1	0	1	0	0	0	0	0
Кодовые символы (КС)	11	01	01	00	10	11	00	00	00

5. Определяем длительность двоичного символа Т_В на выходе кодера (в последовательном формате):

                                                               (12)

6.Определяем техническую скорость передачи V_В:

                                                                               (13)

3.4 Формирователь модулирующих сигналов

Формирователь модулирующих сигналов (ФМС) предназначен для преобразования двоичного цифрового потока от кодера C(t) в модулирующие сигналы I(t) и Q(t), которые необходимо подавать на синфазный и квадратурный входы модулятора для получения заданного сигнального созвездия на его выходе. ФМС КФМ-4 (QРSK) содержит:

регистр сдвига для деления входного потока бит от кодера на группы (дибиты при QPSK), передаваемые одним сигналом S _КАМ(t);

преобразователи уровней битовых сигналов (униполярной кодировки в биполярную: при QPSK «0» → h, «1» → –h.

Требуется:

1.Изобразить сигнальное созвездие для модуляции КФМ-4

На созвездии КФМ-4 число точек 4 представляем в виде 2^k, где k=2 . Определяем величину М – число дискретных значений, которые могут принимать координаты I и Q точек на сигнальном созвездии:

M= 2^k/2 = 2^2/2 = 2

Используя формулу[3, с. 30]:

(2m-1-M)h, m =1, 2, …, M,                                                  (14)

 находим значения координат точек созвездия КФМ-4 на осях I и Q:

-h, h.

Расстояние между соседними дискретными значениями равно 2h, где h– заданная величина. Каждой точке сигнального созвездия соответствует блок из k двоичных символов, который может появиться на входе блока ФМС.

На рисунке 3.4.1 показаны представления сигналов КАМ-4. Созвездие содержит четыре сигнальных точки, каждая из которых соответствует передаче двух двоичных символов.    

Рисунок 3.4.1 – Сигнальное созвездие квадратурной фазовой модуляции КФМ-4

2.  Определяем длительность модулирующих сигналов T_S  для QPSK:

T_S = 2T_B,                                                                       (15)

где T_B – бинарный интервал.

T_S = 2·0,096 = 0,192 мкс

3.Изобразить графики реализации:

  – c_(t) случайного процесса C_(t)  на входе блока ФМС (на выходе свёрточного кодера) для первых 16 бинарных интервалов,;

  – график реализации модулирующего сигнала I(iTs) синфазного (in-phase– I) канала;

  – график реализации модулирующего сигнала квадратурного (quadrature– Q) канала (рис.3.4.2).

	1	1	0	1	0	1	0	0	1	0	1	1	0	0	0	0
I
Q

 

Рисунок 3.4.2 – Реализации случайных процессов КФМ-4:

а) график реализации c_(t) случайного процесса C_(t)  на входе блока ФМС; б) прямоугольный импульс, длительностью T_S ; в) график реализации модулирующего сигнала I(iT s)  синфазного (in-phase– I) канала; г) график реализации модулирующего сигнала Q квадратурного (iTs) quadrature– Q) канала.

4. Написать аналитические выражения для случайных процессов  и [4, c.41]:  

;                                   (16)

где  ­ прямоугольный импульс длительностью T_S.

                                                                

 ­ прямоугольный импульс такой же формы, как импульс , но сдвинутый вправо относительно импульса  на величину , если , или влево, если ;  и  ­ независимые случайные величины, заданные на символьном интервале с номером , которые согласно сигнальному созвездию (рис. 3.4.1) принимают для QPSK два дискретных значения –h, +h, с вероятностями

  каждое.

5.Написать аналитические  выражения и построить графики корреляционных функций B_I (iT s), B_Q (iT s) и энергетических спектров G_I (iT s), G_Q (iT s).

Процессы  и являются случайными синхронными телеграфными сигналами. Аналитическое выражение для случайного процесса [4, c.29]:

                                                       (17)

где  ­ прямоугольный импульс длительностью  

    при    

где  ­ прямоугольный импульс такой же формы, как , но сдвинутый вправо относительно импульса  на величину , если , или влево, если ;  - случайная величина 0, +h (значение бита  на  - интервале ).

Корреляционные функции B_I (iTs), и B_Q (iТs) случайных процессов и на выходе блока ФМС определяем  по методике определения корреляционной функции случайного процессаX(t), поступающего на вход блока ФМС.

Аналитическое выражение для корреляционной функции случайного синхронного телеграфного сигнала, справедливое, как для значений >0, так и для значений <0, имеет вид [4, c.29]:

 при                                               (18)

В КФМ-4 процессы I(t) и Q(t) отличаются от процесса C(t) длительностями тактовых интервалов (T_S = 2T_B для QPSK ).

Корреляционная функция B_I (iTs), имеет вид [3, с.24]:

а энергетический спектр

,

Случайный процесс Q(t) имеет такие же вероятностные характеристики, какие имеет процесс I(t) , поэтому имеют место равенства:

B_I(τ) =  B_Q(τ )                 

Графики B_I(τ)  и B_Q(τ),  G_I(f) и  G_Q(f) приведены на рис. 3.4.5. и 3.4.6

 

Рисунок 3.4.5 – График корреляционных функций B_I (iTs),  B_Q (iТs).

Рисунок 3.4.6 – График энергетических спектров G_I (iTs), G_Q (iTs).

3.5 Модулятор

В состав модулятора входят блоки:

- генератор несущего колебания Ucosω_Сt,

- фазовращатель на –  для получения квадратурного несущего колебания Usinω_Сt,

- перемножители ПМ 1 и ПМ 2, для получения БМ сигналов S_I(t) = I(t)cosω_Сt и S_Q(t) = Q(t)sinω_Сt, модулированных сигналами I(t) и Q(t), соответственно;

- сумматор для получения сигнала с квадратурной модуляцией

S_КАМ(t) = S_I(t) + S_Q(t) = I(t)cosω_Сt + Q(t)sinω_Сt.

Структурная схема модулятора КФМ-4 показана на рис. 3.5.1.

 

Рисунок 3.5.1 – Структурная схема модулятора  КФМ-4.

Бинарный сигнал от кодера C(t)  поступает на преобразователь кода, где разбивается на двухполярные последовательности I(t) и Q(t) с удвоенной продолжительностью импульса. Полученные таким образом сигналы поступают на синфазный и квадратурный входы модулятора. Сигнал  на выходе получается путем сложения модулированных сигналов I(t) и Q(t).

Требуется:

1.      На четырех символьных интервалах T_S изобразить осциллограммы модулированных сигналов S_I(t) (синфазного), S_Q(t) (квадратурного) и S(t) (суммарного выходного) с указанием  фаз, определенных по сигнальному созвездию заданного вида модуляции:

синфазного БМ сигнала ;

квадратурного БМ сигнала ;

сигнала заданной квадратурной модуляции ;

кодовой последовательности с выхода кодера (без учета их временных сдвигов для удобства сопоставления) (рис.3.5.2).

																	SI(t)
-1	180°		0°		0°		0°		180°		180°		0°		0°
																	SQ(t)
-1	-90°		-90°		-90°		90°		90°		-90°		90°		90°
	1	1	0	1	0	1	0	0	1	0	1	1	0	0	0	0	QPSK
-1	-135°		-45°		-45°		45°		135°		-135°		45°		45°		S(t)

Рисунок 3.5.2 – Графики модулированных сигналов sI(t), sQ(t) и sКФМ-4(t)

2. Написать аналитические выражения для корреляционных функций B_SI(τ), B_SQ(τ) и для спектральных плотностей мощности G_SI(f) и G_SQ(f)  сигналов S_I(t) и S_Q(t) на выходах перемножителей модулятора [4,c.42].

,                                                 (19)

аналогично

Написать аналитические выражения для корреляционной функции сигнала B_S(τ) и для спектральной плотности мощности G_S(f) сигнала S_КАМ(t)   заданного вида квадратурной модуляции на выходе сумматора модулятора. Построить графики этих функций.

Учитывая, что процесс S_КАМ(t) является суммой двух случайных независимых процессов S_I(t) и S_Q(t)

S_КАМ(t) = S_I(t) + S_Q(t) = I(t)cosω_Сt + Q(t)sinω_Сt,

его корреляционная функция будет равна сумме корреляционных функций слагаемых процессов [4,c.43].

B_S(τ) = B_SI(τ) + B_SQ(τ) =          (20)

По этой же причине спектральная плотность мощности G_S(f) сигнала S_КАМ(t) есть сумма энергетических спектров G_SI(f) и G_SQ(f) сигналов S_I(t) и S_Q(t), соответственно,

Графики B_S(τ) и G_S(f) приведены на рис. 3.5.3 и 3.5.4.

Рис. 3.5.3 – График корреляционной функции BS(τ) на выходе модулятора

Рис. 3.5.4 – График энергетического спектра GS(f) на выходе модулятора

Определить F_B – ширину спектра модулирующего сигнала C(t) по второму нулю его огибающей

                                 (21)

Определить F_S – ширину спектра модулированного сигнала S_КАМ(t) по второму нулю его огибающей

                                   (22)

3.6 Непрерывный канал

Передача сигнала s_КАМ(t) происходит по непрерывному неискажающему каналу с постоянными параметрами в присутствии аддитивной помехи  типа гауссовского белого шума (АБГШ). Сигнал на выходе такого канала имеет вид

z(t) = μs_КАМ(t) + n(t),

где μ – коэффициент передачи канала. Для всех вариантов принять μ = 1. Односторонняя спектральная плотность мощности помехи равна N₀ = 0,25·10^-7 В²/Гц (исходные данные).

Требуется:

1. Определить минимально необходимую ширину полосы частот непрерывного канала F_К.

Минимально необходимая ширина полосы частот непрерывного канала F_К должна бать равна ширине спектра передаваемого сигнала[4, с.46]:

                                                                   (23)

            

2.      Определить мощность помехи  на выходе канала.

Для определения мощности помехи используем график спектральной плотности мощности помехи G_п

                                                                                
                           

 

Рисунок3.6.1 – Спектральная плотность мощности помехи

на положительной полуоси частот

Мощность помехи в полосе частот непрерывного канала равна заштрихованной площади[4, с.47]:

Р_П = N_O·F_k                                                                 (24)

Р_П = N_O·F_k = 0,25·10^-7·20833·10³ = 0,5208 = 0,52 В² 

3. Определить  ­ среднюю мощность сигнала  s(t) и найти отношение /.

 ,                                                         (25)

Средняя величина энергии Е_ср определяется[4, с.48]:

                                                    (26)

                                                      (27)

3.      Рассчитать пропускную способность  (за секунду) непрерывного канала.

Пропускная способность  непрерывного канала С (за секунду) определяется [4, с.48]:

                                                      (28)

Переходя к натуральным логарифмам, получим[4, с.48]:

4.      Оценить эффективность использования пропускной способности непрерывного канала k_эф.

Для оценки эффективности использования пропускной способности канала связи применяют коэффициент эффективности, равный отношению производительности источника  к пропускной способности канала[4, с.48]:

                                                         (29)

Производительность источника информации  равна количеству информации, создаваемую источником за единицу времени (за 1 секунду). АЦП за одну секунду вырабатывает  уровней квантования. Поэтому [4, с.49]:

                  (30)

3.7 Демодулятор

Когерентный демодулятор производит анализ принятого приёмником смеси переданного сигнала с помехой z(t) = μs_КАМ(t) + n(t), сопоставляя его с известными образцами сигналов, формируемых модулятором. Анализ завершается принятием решения по критерию максимального правдоподобия в пользу наиболее вероятного передаваемого сигнала (символа).

Требуется:

1. Изобразить структурную схему когерентного демодулятора, оптимального по критерию максимального правдоподобия для заданного сигнала квадратурной модуляции (рис. 3.7.1).

Рис. 3.7.1. Схема демодулятора для сигнала

квадратурной модуляции КФМ-4

Решающие устройства РУ1, РУ2 осуществляют оценки передаваемых модулирующих символов I_n и Q_n.Если демодулятор работает без ошибок, на выходе РУ1 и РУ2 формируются сигналы на выходе блока ФМС и далее поступают на вход преобразователя параллельного кода в последовательный.

2. Написать алгоритмы работы решающих устройств РУ1 и РУ2 в составе когерентного демодулятора.

.

В момент окончания каждого символьного интервала длительностью  решающее устройство РУ1 (и РУ2) определяет номер входа , на котором напряжение максимально, и формирует соответствующий дибит в параллельном формате: 

«00» при  = 1, «10» при  = 2, «01» при  = 3, «11» при  = 4.

3. Определить вероятности ошибок на выходах решающих устройств РУ1 и РУ2 при определении значений символов I_n и Q_n, равных h, –h.  

,

где P_In=x(ош) и P_Qn=x(ош)­ – вероятности ошибочного приема при I_n = x и Q_n = x, соответственно,

Передаваемые величины In и Qn	Вероятность ошибки в работе РУ1 и РУ2
In = ±h, Qn = ±h	, где Q (x)– дополнительная функция ошибок, Е1 - энергия сигнала 1·cosωct, Е1 = 0,5·12·TS NO – спектральная плотность мощности БГШ

=

==56·10^-4

Вероятности ошибок в работе РУ1 и РУ2 при различных значениях In и Qn передаваемых ИС  представлены в табл. 3.7.1 и 3.7.2.

Таблица 3.7.1

Передаваемая величина ИС  I n	Вероятность ошибки в работе РУ1
In=h	56·10-4
In=-h	56·10-4

Таблица 3.7.2

Передаваемая величина ИС  Qn	Вероятность ошибки в работе РУ2
Qn=h	56·10-4
Qn=-h	56·10-4

4. Определить вероятности ошибок на выходе преобразователя параллельного кода в последовательный код (ФМС) для заданных параметров сигналов  и : 

для точек сигнального созвездия с координатами I_n = ±h, Q_n = ±h (4 точки у QРSK)

P_In=h,Qn=h(ош) = P_In=h(ош) + P_Qn=h(ош) – P_In=h(ош)·P_Qn=h(ош)=

=56·10^-4+56·10^-4–56·10^-4·56·10^-4=111,68·10^-4

5. Определить среднюю вероятность ошибки  на выходе преобразователя:

для QРSK:

P_ср(ош) =4·PIn=h,Qn=h(ош)/4= PIn=h,Qn=h(ош)= 111,68·10^-4

3.8 Декодер

Декодер формирует из непрерывной последовательности кодовых символов, поступающих с выхода демодулятора (возможно, с ошибками), выходную непрерывную последовательность декодированных кодовых символов, в которых ошибки частично либо полностью исправлены.

Требуется:

1. Переписать последовательность кодовых символов, полученных на выходе кодера из п. 4 раздела 3.3

= 1101010010110000.

2. Получить входную для декодера последовательность кодовых символов путём внесения в последовательность   однократной ошибки в позиции q (по варианту).

 =1001010010110000    (при q = 2)

3. Построить решетчатые диаграммы выживших путей декодера для моментов: t₁ – t₄, t₁ – t₅, t₁ – t₆, t₁ – t₇, t₁ – t₈, t₁ – t₉, t₁ – t₁₀, t₁ – t₁₁ (рис. 3.8.1). На построенных диаграммах, вычислить метрики путей, входящих в каждый узел диаграммы, выделить фрагменты единственно выживших путей и прочитать по ним декодированную кодовую последовательность â_ВЫХ(k). Убедиться в том, что â_ВЫХ(k) = b_ВЫХ(k), т.е. в исправлении ошибки в позиции q.  

Решетчатая диаграмма декодера отличается от решетчатой диаграммы кодера тем, что ребрам этих решеток соответствуют разные обозначения. Числа над ребрами решетки декодера определяются, как расстояние Хемминга между двумя символами  принятой последовательности , расположенными над данным ребром и двумя символами, которыми отмечено данное ребро на решетке кодера.

Алгоритм сверточного декодирования по методу Витерби сводится к определению максимального правдоподобия по минимальному расстоянию. Вычисляется расстояние Хэмминга между принятыми, может быть с ошибками, сигналами и принимается решение в пользу того информационного вектора, который оказывается ближайшим к принятому. Целью алгоритма является то, что из двух путей, приходящих в каждый из узлов, выжившим считается только один путь – тот которому соответствует меньшая метрика. С учетом этого, из двух путей, приходящих в узел, выживает один. Полученная диаграмма достраивается соответствующими ребрами до следующего  момента t (из каждого узла проводим два новых ребра). Если при сравнении сходящихся путей расстояния (метрики) совпадают, выжившим считается любой из них, выбранный произвольно.

=	10	01	01	00	10	11	00	00	00
a=00
b=10
c=01
d=11

Рис. 3.8.1, а – Диаграмма декодера на интервале t1–t4

1.a(t₄) = 1+1+1=3          2.a(t₄)=1+2+1=4

1.b(t₄) = 1+1+1=3          2.b(t₄)=1+2+1=4

1.c(t₄) = 1+1+2=4          2.c(t₄)=1+0+0=1

1.d(t₄) = 1+1+0=2          2.d(t₄)=1+0+2=3

=	10	01	01	00	10	11	00	00	00
a=00
b=10
c=01
d=11

Рис. 3.8.1, б – Диаграмма декодера на интервале t1–t5

1.a(t₅) = 3+0=3          2.a(t₅)=1+2=3

1.b(t₅) = 3+2=5          2.b(t₅)=1+0=1

1.c(t₅) = 3+1=4          2.c(t₅)=2+1=3

1.d(t₅) = 3+1=4          2.d(t₅)=2+1=3

=	10	01	01	00	10	11	00	00	00
a=00
b=10
c=01
d=11

Рис. 3.8.1, в – Диаграмма декодера на интервале t1–t6

1.a(t₆) = 3+1=4          2.a(t₆)=3+1=4

1.b(t₆) = 3+1=4          2.b(t₆)=3+1=4

1.c(t₆) = 1+0=1          2.c(t₆)=3+2=5

1.d(t₆) = 1+2=3          2.d(t₆)=3+0=3

=	10	01	01	00	10	11	00	00	00
a=00
b=10
c=01
d=11

Рис. 3.8.1, г – Диаграмма декодера на интервале t1–t7

1.a(t₇) = 4+2=6          2.a(t₇)=1+0=1

1.b(t₇) = 4+0=4          2.b(t₇)=1+2=3

1.c(t₇) = 4+1=5          2.c(t₇)=3+1=4

1.d(t₇) = 4+1=5          2.d(t₇)=3+1=4

=	10	01	01	00	10	11	00	00	00
a=00
b=10
c=01
d=11

Рис. 3.8.1, д – Диаграмма декодера на интервале t1–t8

1.a(t₈) = 1+0=1          2.a(t₈)=4+2=6

1.b(t₈) = 1+2=3          2.b(t₈)=4+1=5

1.c(t₈) = 3+1=4          2.c(t₈)=4+1=5

1.d(t₈) = 3+1=4          2.d(t₈)=4+1=5

=	10	01	01	00	10	11	00	00	00
a=00
b=10
c=01
d=11

Рис. 3.8.1, е – Диаграмма декодера на интервале t1–t9

1.a(t₉) = 1+0=1          2.a(t₉)=4+2=6

1.b(t₉) = 1+2=3          2.b(t₉)=4+0=4

1.c(t₉) = 3+1=4          2.c(t₉)=4+1=5

1.d(t₉) = 3+1=4          2.d(t₉)=4+1=5

=	10	01	01	00	10	11	00	00	00
a=00
b=10
c=01
d=11

Рис. 3.8.1, ж – Диаграмма декодера на интервале t1–t10

1.a(t₁₀) = 1+0=1          2.a(t₁₀)=4+2=6

1.b(t₁₀) = 1+2=3          2.b(t₁₀)=4+0=4

1.c(t₁₀) = 3+1=4          2.c(t₁₀)=4+1=5

1.d(t₁₀) = 3+1=4          2.d(t₁₀)=4+1=5

=	10	01	01	00	10	11	00	00	00	01
a=00
b=10
c=01
d=11

Рис. 3.8.1, з – Диаграмма декодера на интервале t1–t11

1.a(t₁₁) = 1+1=2          2.a(t₁₁)=3+1=4

1.b(t₁₁) = 1+1=2          2.b(t₁₁)=4+2=6

1.c(t₁₁) = 3+2=5          2.c(t₁₁)=4+0=4

1.d(t₁₁) = 3+0=3          2.d(t₁₁)=4+2=6

=	10	01	01	00	10	11	00	00	00	01	11
a=00
b=10
c=01
d=11

Рис. 3.8.1, и – Диаграмма декодера на интервале t1–t12

1.a(t₁₂) = 2+2=4         

1.b(t₁₂) = 2+0=2         

1.c(t₁₂) = 2+1=3          2.c(t₁₂)=3+1=4

1.d(t₁₂) = 2+1=3          2.d(t₁₂)=3+1=4

=	10	01	01	00	10	11	00	00	00	01	11
a=00
b=10
c=01
d=11

Удаляем не выжившие пути. Из построенной на  рис 3.8.1.к.  диаграммы видно ,что от момента t₁ до момента t₁₀  выжил только один путь. Переносим его на решетчатую диаграмму кодера.

=	10	01	01	00	10	11	00	00	00	01
a=00
b=10
c=01
d=11
=	11	01	01	00	10	11	00	00	00

Рис.3.8.2 –  Выживший путь к моменту t₁₂  на диаграмме кодера.

Этому пути на диаграмме кодера соответствуют обозначения ребер 11,01,01,00,01,0100,10,00. Декодируемая последовательность соответствует переданной – 110101000101001000, исправление ошибки на позиции q=1 осуществлено.

3.9 Фильтр нижних частот

Требуется:

1.      Определить частоту верхнего среза:

Для восстановления сигнала по его отсчетам применяется фильтр низких частот. Функция фильтра заключается в максимально точном восстановлении формы первичного сигнала. Ширина полосы пропускания фильтра должна соответствовать ширине спектра первичного сигнала.

f_ср=f_в = 290·10³ Гц

2.      Изобразить идеальные амплитудно-частотную – АЧХ и фазачастотную – ФЧХ характеристики фильтра восстановителя – ФНЧ – фильтра нижних частот:

Фильтр характеризуется передаточной функцией:

     

ФЧХ идеального ФНЧ:

Θ(ω)=-ωt, где t- постоянная(время задержки), параметр, равный по модулю коэффициенту наклона ФЧХ

Графики АЧХ и ФЧХ идеального фильтра нижних частот имеют вид (рис.3.9.1):

 

             а)                                                                     

 

б)

 

Рисунок 3.9.1 – Графики АЧХ (а) и ФЧХ (б) идеального фильтра нижних частот

3.      Привести соотношение, устанавливающее связь между полученными отсчетами a(iΔt) и восстановленным сообщением a(t):

Приведем соотношение, устанавливающее связь между полученными отсчетами  и восстановленным сообщением .

 Сигнал с финитным спектром можно точно восстановить (интерполировать) по его отсчетам, взятыми через интервалы времени       Δt≤ 1/2F , где F – верхняя частота спектра сигнала. Это осуществляется с помощью ряда.

      

где Fгр = 1/2Δt ≥ F.

Литература

1.      Биккенин Р.Р Теория электрической связи: учебное пособие для студентов высших учебных заведений/ Р.Р. Биккенин, М.Н. Чесноков. – М. : Издательский центр «Академия», 2010. – 336 с.

2.      Витерби А.Д., Омура Дж.К. Принципы цифровой связи и кодирования: Пер. с англ./Под ред. К.Ш. Зигангирова. – М.: Радио и связь, 1982. – 536 с., ил.

3.      Зюко, А. Г. Теория передачи сигналов / А. Г. Зюко, Д. Д. Кловский, М. В. Назаров, Л. М. Финк. – Изд. 2-е, перераб. и дополнен. – М. : Радио и связь, 1986. – 304 с.

4.      Куликов, Л. Н. Общая теория связи: методические указания к выполнению курсовой работы / Л. Н. Куликов, М. Н. Москалец, М. Н. Чесноков. – СПб. : Издательство СПбГУТ, 2012. – 80 с.

5.      Першин В. Т.Основы современной радиоэлектроники: учебное пособие / В. Т. Першин. — Ростов н/Д : Феникс, 2009. — 541, [1] с. : ил. — (Высшее образование).

6.      http://sernam.ru/book_tec.php?id=63

Приложение 1. Таблицы результатов расчетов

Таблица 1  Результаты расчета реализации аналогового сигнала

№ пп	Наименование показателя	Обозначение показателя	Расчётное значение показателя	Размерность
1	Одномерная плотность вероятности мгновенных значений ССП А(t)	w(a)	0,625
2	Математическое ожидание ССП А(t)	M[A(t)]	0	В
3	Дисперсия ССП А(t)	D[A(t)]	0,8533	В2
4	Энергетический спектр А(t)	GА(f)	0,00047	мВ2/Гц
5	Дифференциальная энтропия источника сообщений	h(A)	1,68	бит

Таблица 2 Результаты расчета аналогово-цифрового преобразователя

№ пп	Наименование показателя	Обозначение показателя	Расчётное значение показателя	Размерность
1	Интервал дискретизации сигнала a(t)	Δt	1,7	мкс
2	Частота дискретизации сигнала a(t)	fД	580	кГц
3	Число уровней квантования	L	512
4	Мощность шума квантования	Pшк	3,8·10-6	мВ2
5	Относительную мощность шума квантования	Pшк относит	-54,8	дБ
6	Отклик АЦП на отсчёт J10=500-3m в виде 9-разрядного двоичного числа	J2	110100000

Таблица 3. Результаты расчета кодера

№ пп	Наименование показателя	Обозначение показателя	Расчётное значение показателя	Размерность
1	Длительность двоичного сигнала	TB	0,096	мкс
2	Техническая скорость передачи	VB	10440·103	КБод
3	Импульсная характеристика кодера	g(x)	1+х+х3+х5+х8+х10+х11
4	Кодовая комбинация на выходе кодера	c(iTb)	110101001011000000

Таблица 4. Результаты расчета длительности модулирующих сигналов

№ пп	Наименование показателя	Обозначение показателя	Расчётное значение показателя	Размерность
1	Длительность модулирующих сигналов	TS	0,192	мкс

№ пп	Наименование показателя	Обозначение показателя	Расчётное значение показателя	Размерность
1	Ширина спектра модулирующего сигнала по второму нулю огибающих их спектральной функции	Fb	20833	кГц
2	Ширина спектра модулированного сигнала по второму нулю огибающих их спектральной функции	FS	20833	кГц

Таблица 5. Результаты расчета ширины спектра

Таблица 6. Результаты расчета ширины спектра

№ пп	Наименование показателя	Обозначение показателя	Расчётное значение показателя	Размерность
1	Ширина полосы пропускания непрерывного канала	Fк	20833	[кГц]
2	Мощность помехи на выходе канала	Рп	0,52	[В2]
3	Средняя мощность сигнала s(t)	Рс	1	[В2]
4	Отношение сигнал/шум	Рс/Рп	1,92
5	Пропускная способность канала	С	32214	[кБод]
6	Эффективность использования пропускной способности	kэф	0,11

Таблица 7. Результаты расчета вероятности ошибок демодулятора

	Наименование показателя	Обозначение показателя	Расчётное значение показателя
1	Отношение сигнал/шум		2,77
2	Вероятность ошибок	P(In=1)=P(Qn=1)	56·10-4
6	Вероятность ошибок на выходе преобразователя	P(Smin=3,16)	111,68·10-4
7	Средняя вероятность ошибок	Pср(ош)	111,68·10-4

Таблица 8. Результаты расчета фильтра нижних частот

	Наименование показателя	Обозначение показателя	Расчётное значение показателя	Размерность
1	Частота верхнего среза	fср	290	[кГц]