Расчет свободной энергии ферромагнетика методом Гиббса

Московский государственный университет

имени М. В. Ломоносова

Физический факультет

Кафедра квантовой статистики и теории поля

КУРСОВАЯ РАБОТА

Расчет свободной энергии ферромагнетика

методом Гиббса

                                        Выполнила:

студентка физического факультета

                                       группы 205

                                           Улькина Н.С.

                                                                Научный руководитель:

                                               Дергачёв М. А.

Москва 2016

В данной работе необходимо вычислить свободную энергию ферромагнитной пластинки толщиной .

Воспользуемся определением свободной энергии

                                                    ,                                                          (1)

где статистическая сумма

                                                             ,                                                        (2)

 собственная энергия го квантового состояния;

 температура.

Постоянную Больцмана мы полагаем равной единице ().

Для ферромагнетика характерны собственные малые колебания намагниченности относительно равновесного значения , которые порождают специфический тип частиц (в твердом кристаллическом теле их принято называть квазичастицами или магнонами). Энергия магнонов в ферромагнетике дается следующим законом дисперсии:

                                                                                                     (3)

 обменная энергия взаимодействия спинов магнитных атомов (иначе она еще называется обменной энергией Дирака), Находящихся в соседних узлах кристаллической решетки;

 межатомное расстояние;

 волновой вектор;

магнитное поле, включающее в себя две составляющие: поле анизотропии  и внешнее постоянное магнитное поле ;

 элементарный магнитный момент.

Поскольку магноны так же, как фотоны, подчиняются статистике Бозе, то при данном значении волнового вектора  их может быть сколько угодно в этом состоянии. Поэтому собственная энергия

                                                            (4)

где .

В результате из выражения (1) получаем для свободной энергии

                        .                         (5)

Чтобы вычислить выражение (5), нам следует от суммирования по перейти к интегрированию по . Подобная процедура осуществляется с помощью следующего искусственного приема. Если через обозначить объем системы, то имеем

                                                                                       (6)

В нашей конкретной задаче речь идет о двумерном случае, и поэтому вместо объема  следует писать площадь пластины . Это означает, что выражение (6) должно быть переписано в виде

                                                                                        (7)

Итак, благодаря (7), формула (5) может быть представлена следующим образом:

                                                                                    (8)

где волновой вектор  имеет только две компоненты, а именно:

поэтому

В связи с этим для вычисления интеграла в (8) очень удобно перейти к полярной системе координат, т.е. положить

   

Это значит, что

                                                                                             (9)

Следовательно, выражение (8) может быть переписано таким образом:

                                                                                           (10)

Полученный в итоге одномерный интеграл мы преобразуем с помощью интегрирования по частям. Имеем для него:

                                                    (11)

Первое слагаемое при использовании формулы Ньютона-Лейбница обращается в ноль, а во втором имеем для производной

Производная  представляет собой (без множителя ) групповую скорость магнона . Если воспользоваться определение (3) для закона дисперсии магнона, то имеем

Значит

Подставляя теперь это выражение в (11), находим

                                                                                           (12)

Обезразмерим полученный интеграл. Для этого введем подстановку

.

отсюда

или

                                                                                               (13)

Далее, поскольку в интеграле (12) присутствует произведение , то его удобно преобразовать так:

И с помощью (13) находим

Значит выражение (12), опустив некоторые совсем простые выкладки, становиться таким :

                                 (14)

где для краткости введено обозначение

Первый интеграл в (14) может быть вычислен аналитически. В самом деле, введем подстановку . Отсюда  и, значит,

                                                          (15)

Таким образом, выражение (14) приобретает вид

                                                            (16)

Поскольку второй интеграл в (16) не вычисляется аналитически, то его мы просто оценим в двух предельных случаях. Запишем его отдельно:

Поскольку , то возможны два варианта:

1)    температура  мала по сравнению с , т.е. параметр

 велик . Это означает, что экспонента, стоящая в знаменателе, значительно превышает единицу и единицей можно пренебречь, т.е.

  если ;

2)    температура  велика по сравнению с , т.е. параметр  

мал . Это означает, что мы имеем право нижней предел интегрировать, считая равным нулю, т.е.

  если .

Собирая теперь все воедино и пользуясь формулой (10), находим

                    .            (17)

Выражение (17) отвечает на вопрос о свободной энергии ферромагнитной пластины. С помощью выражения (17) можно найти и другие термодинамические функции, например, энтропию , где нижний индекс означает, что частная производная должна браться при постоянном объеме. В рассматриваемом нами случае речь идет только о площади пластины, а поэтому под   следует понимать . Кроме энтропии можно ещё найти теплоемкость по формуле .

Список литературы:

1.     Гладков С.О. – Сборник задач по теоретической и математической физике.