МИНОБРНАУКИ РОССИИ

федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего образования
«Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого»

—

Инженерно-экономический институт

Кафедра «Мировая экономика и промышленная политика регионов»

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ       

по дисциплине «_____Экономические теории нобелевских лауреатов_____________»

Направление 38.04.01 «Экономика»

Магистерская программа 38.04.01.06 «Внешнеэкономическая деятельность предприятия»

Выполнил студент		з53708/74				Сперанская М.А.
		(группа)		<подпись>		<ФИО>
Руководитель		д.э.н., профессор				Диденко Н.И.
		(Учёная степень, должность)		<подпись>		<ФИО>
Оценка/зачёт
				<подпись>		<дата>

Санкт–Петербург

2016

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ. 3

Глава 1. Сущность теории Р. Мертона о стоимости производных ценных бумаг. 5

1.1. Сущность производных ценных бумаг. 5

1.2. Классификация деривативов и стоимость опциона. 6

1.3. Теория Р. Мертона о стоимости производных ценных бумаг. 11

Глава 2. Описание применимости модели Блэка-Шоулза. 14

2.1. Общая характеристика рынка деривативов. 14

2.2. Основные принципы опционного ценообразования. 16

2.3. Применение модели Блэка-Шоулза. 23

Глава 3. Эмпирическая проверка модели Блэка-Шоулза. 27

3.1.     Информация и методика расчета модели Блэка-Шоулза. 27

3.2.     Базы данных по ценам опционов. 27

3.3.     Расчет стоимости опциона с помощью модели Блэка-Шоулза. 28

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 30

Список литературы: 31

Приложения. 34

Приложение 1.  Таблица накопленной вероятности N(d) 34

ВВЕДЕНИЕ

В современном мире научный и технический прогресс, экономику и прочие аспекты человеческой жизни развивают и двигают вперед деньги. Финансовые ресурсы перемещаются из одной области в другую и тем самым создают мировую финансовую систему. Ее основой является мировой финансовый рынок, который позволяет деньгам быстро перемещаться от тех, кто имеет их излишек, туда, где возникает их необходимость и возможность роста.

На сегодняшний день международный финансовый рынок занимает ключевую позицию во всей мировой экономике, поскольку обеспечивает свободу перемещения капиталов в глобальном масштабе. Однако, его функционирование сопровождается огромным количеством различных рисков, умелое и правильное управление которыми во многом определяет успешность компаний и инвесторов на международной арене.   

Вся практика международного бизнеса свидетельствует, что рынок обладает все более высокой волатильностью, поэтому, для компаний крайне значимым является процесс оптимизации своих финансовых потоков путем эффективного использования инструментов международного финансового рынка. В этих условиях использование производных финансовых инструментов является одним из важнейших факторов успешной деятельности компаний на международной арене.

Поскольку, опцион на сегодняшний день является самым распространенным деривативом, расчет его стоимости является актуальным. Именно Мертон предложил ключевую идею выведения формулы, благодаря чему она получила более универсальный характер и практическую значимость. Формула применяется для вычисления стоимости опционов и других производных инструментов.

Объектом анализа является модель Р. Мертона о стоимости производных ценных бумаг.

Предмет анализа – применимость модели Блэка-Шоулза для расчета цены опциона.

Таким образом, целью нижеприведенной работы является доказательство применимости модели Блэка-Шоулза на международном финансовом рынке.

Задачи данной работы состоят в следующем:

·        рассмотреть понятия международного финансового рынка и производных финансовых инструментов;

·        изучить формирование цены опциона;

·        исследовать  теорию Р. Мертона о стоимости производных ценных бумаг;

·        проанализировать модель Блэка-Шоулза;

·        провести  эмпирический расчет стоимости опциона.

Тема исследования производных финансовых инструментов уже давно является предметом глубокого изучения многими финансистами и экономистами,  поэтому мы располагаем огромной литературной базой, включающей большое количество статей, монографий, учебников, диссертаций.

При написании данной работы, в основном использовались работы по международным финансам, современным международным финансовым рынкам и ценообразованию опционов. Помимо этого, были использованы различные электронные ресурсы, включая публикации.

Глава 1. Сущность теории Р. Мертона о стоимости производных ценных бумаг.

1.1. Сущность производных ценных бумаг

Для того, чтобы дать определение понятию производного финансово инструмента, стоит обратиться к этимологии данного понятия. Слово «деривация» с латинского означает – производное, произошедшее от чего-либо ранее существующего. Таким образом, деривативы представляют собой производные финансовые инструменты, основой которых являются базисные активы. Деривативы доказывают, что все сегменты международного финансового рынка связаны между собой и влияют друг на друга, поскольку производные финансовые инструменты создаются и в валютном, и в кредитном, и в фондовом, и в инвестиционном секторах международного финансового рынка.

Основная функция деривативов – это хеджирование, т.е. страхование от ценовых рисков. Стоит отметить, что деривативы не уменьшают объем рисков в экономике, они их перераспределяют от хеджеров к спекулянтам, и тем самым позволяют хеджеру устранить риск, «сбросив» его на другого участника рынка - спекулянта, который в свою очередь желает получить максимальный выигрыш.

За последние десятилетия международный финансовый рынок потерпел множество изменений. Эти изменения стали связаны, в первую очередь, с возможностями таких новых финансовых инструментов, как деривативы. С одной стороны деривативы способствуют развитию мировой экономики, поскольку они открыли возможности для перераспределения различных рисков между хеджером и спекулянтом и для создания более эффективных механизмов страхования. Но стоит обратить внимание, что производные финансовые инструменты также открыли возможность для широкомасштабных финансовых спекуляций, которые стали максимально выгодными рыночными операциями. Такие спекуляции приводят к искусственному нагнетанию в международный оборот все большего числа спекулятивных ресурсов, что уже неоднократно приводило к международным финансовым кризисам. Таким образом стоит подчеркнуть, что производные финансовые инструменты играют очень важную роль на международном финансовом рынке, и столь важно изучать механизмы их использования.

1.2. Классификация деривативов и стоимость опциона

В наши дни на международном финансовом рынке используется огромное множество и разнообразие производных финансовых инструментов. Все это разнообразие основывается на использовании или сочетании следующих деривативов:  форварды, фьючерсы, опционы и свопы. На их основе формируется  множество других экзотических инструментов: опционы на свопы, опционы «с оглядкой», индексы страховых случаев и др.

Проанализировав несколько источников, я выделила основные признаки, по которым классифицируются деривативы. Так, по срокам существования выделяются краткосрочные (до года) и долгосрочные деривативы, по системам торговли -  биржевые и внебиржевые, по условиям сделки - твердые (фьючерсы, форварды и свопы) и условные (опционы), по разновидностям котируемой цены базисного актива -  процентные, валютные, фондовые и индексные.

Итак, начнем рассмотрение производных финансовых инструментов с форвардного контракта. Это самый первый инструмент срочного рынка. Форвардом является такая срочная сделка, при которой покупатель и продавец заключают соглашение на поставку какого-либо базисного актива на определенный момент в будущем. Форвардные сделки заключаются в межбанковской торговле, контракт не является стандартизированным и заключается вне биржи между двумя контрагентами. Этот вид контракта обладает низкой ликвидностью, и не несет никаких гарантий его исполнения, кроме репутации участников. Условия контракта определяются при его заключении, а исполняются через определенный промежуток времени. Плюсом такого вида дериватива является тот факт, что заключение контракта не требует от контрагентов расходов. 

Далее перейдем к рассмотрению фьючерсного контракта, именно этот дериватив является основой для новичков на финансовом рынке. Фьючерсный контракт –  это договорное обязательство купли/продажи определенного количества финансовых инструментов по заранее установленной цене в свободном биржевом торге в дату исполнения контракта. Такие контракты являются стандартным биржевым договором и обеспечивают высокую ликвидность, надежность и гарантию. 

В данном случае, мы видим, что биржа выступает посредником между контрагентами фьючерсной сделки, а основой механизма фьючерсной торговли является принцип внесения залога, размер которого определяется волатильностью рынка и рассчитывается биржей. Залог называют вариационной маржой.

Фьючерсы также используют для хеджирования и спекулятивных операций. Финансовые фьючерсы позволяют инвесторам страховаться от неблагоприятного изменения цен на рынке «спот». А для спекулятивных операций создаются специальные расчетные контракты, по которым поставка товара не осуществляется. Спекулянты покупают и продают фьючерсные контракты с целью получения прибыли.

Следующим производным инструментом, который мы рассмотрим, является опционный контракт. Стоит отметить, что этот дериватив очень популярен, в первую очередь благодаря своей универсальности и гибкости, это позволяет обладателю приспособить их под свои личные прогнозы и использовать огромное количество стратегий. Давая определение, мы можем сказать, что опционный контракт представляет собой право, но не обязательство, купить или продать (отказаться от сделки) определенный базисный актив или производный инструмент, на протяжении предусмотренного срока (американский опцион) или в определенный момент времени (европейский опцион) по цене контракта (цена страйк).

Иными словами, продавец берет на себя обязательство по продаже или покупке актива, но только если покупатель опциона захочет воспользоваться своим правом. Целесообразно сделать вывод, что основной особенностью этого вида дериватива является возможность выбора, что позволяет инвесторам ограничить свой риск определенной суммой, при этом выигрыш будет не ограничен. Для инвестора это перенос всех рисков на продавца опциона, за что он и получает свою премию.

Далее перейдем к понятию премии опциона. Премия – это цена опциона. На нее влияют время до истечения срока, цена базисного актива и ее волатильность, дивиденды, соотношения спроса и предложения. В свою очередь, цена включает две составляющие - действительную и временную стоимость (внутреннюю и внешнюю). Действительная стоимость представляет собой сумму, которая была бы получена при условии, что опцион завершился бы сегодня (выражаясь терминами, это соотношение между ценой страйк и ценой реального товара). Временная стоимость является значительно более важным фактором в формировании премии, но и рассчитывается гораздо сложнее. Эта величина зависит от множества показателей и отражает информацию о рынке с точки зрения продавца.

Следует отметить, что опцион является одним из самых распространенных инструментов для хеджирования разного рода рисков, поэтому постоянно появляются новые модификации уже известных опционов. Разделим инструменты данного рынка на четыре основных класса.

В первый включаются классические опционы «пут» и «колл». Колл-опцион – это классический опцион на покупку, дает нам право получить от продавца актив по установленной цене в определенный момент времени. Как правило, опционы такого типа приобретаются, если инвестор ожидает повышения базовой стоимости актива в будущем. В свою очередь, продавец придерживается противоположного мнения – цена на данный актив не будет выше цены, зафиксированной в опционном контракте к концу его действия. В данном случае, принято считать, что подписывая такой контракт продавец опциона идет на риск, в то время как покупатель страхуется. В самом деле, ведь в случае существенного увеличения цены базисного актива, продавец будет вынужден понести значительные потери, тогда как покупатель имеет возможность застраховать себя от непредвиденного роста цен на актив в будущем. Из вышесказанного следует, что опцион исполняется, в случае, если спотовая цена базисного актива выше цены исполнения, и не исполняется тогда, когда она эквивалентна цене исполнения или ниже ее. Прибыль покупателя складывается из того, что исполняя опцион, он имеет возможность продать базовый актив по большей цене на спотовом рынке. Максимальная прибыль продавца опциона ограничена величиной премии, уплаченной ему, в случае, если опцион не был исполнен. Между тем, дабы застраховать себя от значительных потерь, продавец опциона может купить базисный актив в момент заключения сделки, тем самым подстраховав свою позицию.

Классический опцион на продажу – это пут-опцион, он дает право покупателю продать продавцу актив по установленной цене в определенный момент времени. Опцион пут будет исполнен, если базисная цена актива упадет ниже суммы цены актива, указанной в контракте и премии, уплаченной продавцу опциона. Прибыль покупателя, как впрочем и убыток продавца в данном случае ограничены. Поскольку цена базисного актива не может упасть ниже нуля. Как и в случае с опционом колл, если опцион пут не будет исполнен, максимальный проигрыш для покупателя и максимальная прибыль для продавца ограничены величиной уплаченной премии.

Таким образом, мы выяснили, что опционы колл и пут имеют схожую интерпретацию, правда поведение продавца и покупателя при изменении цены актива является противоположным. Именно такие классические опционы могут содержать еще и встроенные опционы – дополнительные условия для реализации договора.

Помимо классификаций, представленных выше, существует также классификация опционов по погашаемым рискам. Так, выделяют процентные, индексные и валютные опционы. Процентные опционы являются способом защиты от неблагоприятных колебаний процентных ставок на рынке. Валютные же связаны с хеджированием валютных рисков, которые возникают при колебании курса валют. Индексные опционы основаны на фондовых индексах.

Стоит отметить, что более углубленное рассмотрение такого инструмент, как опцион, обусловлено бурным ростом торговли опционами в практике международного бизнеса. Это во многом связано со стремительным развитием фондового рынка и появлением все большего числа инвесторов, благодаря Интернету. Поскольку в США существует запрет на торговлю фьючерсами на акции, практически во всем мире на акции торгуются опционы.

Последним производным инструментом, который мы разберем, является своп. В последнее время свопы получили широкое распространение, хотя и появились позднее фьючерсов и опционов, поскольку представляют компаниям универсальный способ управления рисками. Своп представляет собой соглашение между двумя определенными контрагентами о периодическом обмене в будущем платежами на основе определенных условий. Своп-соглашение также можно рассматривать как серию разновременных форвардных контрактов, он также является внебиржевым инструментом и имеет схожие с форвардами характеристики. Наибольшее распространение получили валютный, процентный и кредитно-дефолтный свопы. Такой вид дериватива не имеет ограничения объемов соглашений и сроков обязательств, и именно эта универсальность дает свопам преимущество перед фьючерсами и опционами. Еще одним значимым преимуществом является тот факт, что если своп заключается вне биржи, то только две стороны знают и существующем соглашении, что означает конфиденциальность сделки. Помимо того, свопы не проходят по балансу международных компаний. Что касается основных функций свопов, то помимо страхования рисков, свопы исполняют и другие важные экономические функции. С помощью свопов фирмы могут удешевить стоимость заемных средств за счет использования сравнительных преимуществ при заимствовании средств в различных валютах и под разные виды ставок. Также свопы позволяют выровнять несовершенства рынка, что дает основания считать, что потенциал роста рынка свопов очень высок.

Исходя из всего вышесказанного целесообразно сделать вывод, что не существует универсального производного финансового инструмента. Инвестор выбирает оптимальный дериватив для осуществления поставленных целей и для определенной рыночной конъюнктуры в целом. Более того, недостаточное знание механизмов использования деривативов приводит к крупным потерям и даже к банкротству нескольких участников, а недостаточное регулирование процессов рынка производных финансовых инструментов может привести к мировому финансовому кризису. Соответственно, изучение технологий использования деривативов является крайне актуальным на сегодняшний день.

1.3. Теория Р. Мертона о стоимости производных ценных бумаг

Роберт Мертон специализировал свои работы в области финансов, экономики неопределенности и информации, инвестиций, математической экономики и моделирования. Наиболее значимым вкладом его деятельности в экономику финансов является разработка и совершенствование формулы «Блэка-Шоулза». Данная формула применяется при оценке стоимости опциона или прочих деривативов, что сделало ее широко применимой.

Нобелевская премия по экономике (1997 г.)  была присвоена Роберту Мертону за разработку нового метода оценки производных ценных бумаг.

Еще Фишер Блэк начал выводить данную формулу. Модель, предложенная Блэком и Шоулзом изначально, была более теоретической, нежели практической. Позже, Роберт Мертон пересмотрел ее и вывел новую идею выведения модели, которая была универсальной и могла применяться на практике. Данную формулу используют для расчета стоимости опциона и других деривативов. 

Согласно формуле Блэка-Шоулза, важнейшим фактором оценки опциона считается ожидаемая изменчивость цены базового актива. В зависимости от волатильности, цена растет или снижается, что в прямой зависимости влияет на цену опциона. И наоборот, при известной стоимости опциона можно рассчитать волатильность на рынке.

Открытие модели Блэка-Шоулза способствовало росту интереса к опционной торговле. Для начала 70-х использование математического подхода для определения стоимости опционов была революционна и воспринималась скептически. Однако, чуть позже математические методы стали широко применяться для расчета стоимости опционов.

Глава 2. Описание применимости модели Блэка-Шоулза

2.1. Общая характеристика рынка деривативов

Для дальнейшего изучения механизмов использования деривативов, рассмотрим структуру рынка производных финансовых инструментов.  Деривативы торгуются как на организованном биржевом, так и на внебиржевом рынке. На биржевом рынке преобладает  торговля фьючерсы, торговля происходит регламентировано и централизованно с использованием посредников. На внебиржевом используются такие инструменты, как свопы, форварды и опционы, контракты на этом рынке заключаются напрямую. Естественно, внебиржевой рынок, как менее профессиональный и более общедоступный, намного крупнее биржевого.

Круг участников рынка очень широк, поскольку рынок предоставляет неограниченные возможности в хеджирующих и спекулятивных операциях в условиях неустойчивости мировой экономики. Иными словами, есть хеджеры, которые желает застраховаться от риска, и спекулянты, которые  готовы принять риск на себя и превратить его в выигрыш.

В 2014 году Банк международных расчетов подсчитал, что мировой рынок производных финансовых инструментов в 2013 г. достиг новой рекордной отметки после 2008 года ($600 трлн) и составил $710 трлн, что в 44 раза больше размера ВВП США.

Трудно не согласиться с тем, что в наши дни рынок производных финансовых инструментов является наиболее привлекательным. Современной экономике свойственны значительные колебания цен, а деривативные сделки позволяют застраховаться от изменения цен финансовых активов, валютных курсов, процентных ставок. Привлекательность рынка и деривативных инструментов состоит также в том, что при относительно небольшом вложении собственного капитала, можно получить более высокий доход. Но существует и обратная сторона, она проявляется в вероятности незначительных и крупных потерь: крупнейшие участники рынка могут потерпеть огромные финансовые потери и увлечь за собой других участников рынка. Кроме того, в настоящее время еще не доказано, привносят ли деривативы в экономику дополнительные риски, вызывая повышение волатильности на рынках базисного актива. Но о деривативах существует много упоминаний в связи с экономическим кризисом 2007-2009 гг.

Помимо этого, постоянно происходят банкротства отдельных участников рынка в результате недостаточно просчитанных сделок с деривативами. В связи с этим, государства многих стран мира пересмотрели вопрос о ужесточении законодательных рамок деривативных финансовых инструментов: теперь деятельность отдельных сегментов рынка деривативов регулируется соответствующими организациями. Например, регулированием рынка опционов занимается Орган ценовой отчетности по опционам (OPRA).

Среди всех деривативов центральное место на международном финансовом рынке занимают опционы, популярность которых объясняется их гибкостью и сравнительной дешевизной. Поскольку опционы могут быть выписаны на разные активы, на разные сроки и давать разную вероятность прибыли, а также риска, они привлекают широкий круг пользователей, которым необходимо приспособить существующий финансовый инструмент под собственные прогнозы и предпочтения к риску. Опционами широко пользуются как производители, так и потребители для хеджирования, например от колебаний цен на товарных и финансовых рынках, а также для инвестиционных и спекулятивных операций. 

2.2. Основные принципы опционного ценообразования

До настоящего момента мы исследовали опцион как актив, сохраняемый его держателем до момента исполнения или истечения его срока, не уделяя при этом внимания факторам, влияющим на цену опциона в течение срока его жизни. В действительности, опцион в любой момент может быть перепродан, как и любой другой актив по соответствующей ему рыночной цене.

Для ответа на вопрос, сколько требуется заплатить, например, за опцион-колл, необходимо разобраться с факторами, влияющими на цену опциона. Для начала, рассмотрим цену опциона в день его истечения. Это достаточно простая ситуация, учитывая предопределенность всех возможных здесь вариантов. В частности, нет вопроса о возможных в будущем колебаниях цены базового актива. В таком случае, опцион должен быть исполнен сейчас же, или от него необходимо отказаться.

Если к моменту истечения опцион колл будет «без денег»[1], исполнен он не будет и стоимость его будет нулевой. Если же в день закрытия он «при деньгах»[2], то опцион будет исполнен. Базовый актив при этом может быть немедленно выкуплен по цене исполнения и перепродан по курсу рыночному (курс будет выше). Цена опциона в данных условиях будет рассматриваться как разница данных двух цен. В день закрытия цена опциона колл (V_c) либо нулевая, либо положительная, равная разнице между ценой исполнения опциона колл (Е) и рыночным курсом соответствующего базового актива (S)[3]:

Таким образом, если речь идет о вычислении стоимости опциона на момент его истечения, то эта задача не представляется сложной.

Определить же цену опциона до даты его истечения – более сложная проблема. Важнейшим фактором здесь служит текущий рыночный курс базового актива, поэтому логично представить цену опциона в качестве функции рыночного курса, оценив сначала границу, в которой изменяется цена на опционы. Затем внутри полученного интервала нужно исследовать поведение цены опциона как функции от случайных величин – будущих цен на базовый актив и других факторов. Внутренняя стоимость опциона – доход, который можно получить при немедленном исполнении опциона. [4] Например, при покупке опциона колл «при деньгах» и немедленном предъявлении его к исполнению владелец опциона получает разницу между текущей ценой актива и ценой исполнения опциона. Эта разница и является внутренней стоимостью опциона.  И если рыночная стоимость базового актива выше, чем цена исполнения, будет иметь место доход, рассчитываемый как разность между ценой актива на рынке и ценой исполнения соответствующего опциона колл. Если рыночная цена акции окажется ниже цены исполнения опциона, то доход владельца опциона колл будет равен нулю, а исполнение опциона неразумно.

На рынке ситуация складывается таким образом, что цена опциона всегда такова, что немедленное получение прибыли невозможно. Кроме того, абсолютный максимум стоимости опциона колл в любой момент – это рыночная стоимость базового актива в этот момент.

На рис.1 изображен график, где соотнесены цена опциона колл и рыночный курс базового актива. Линия ACD показывает прибыль владельца опциона при немедленном его исполнении. Линия AB соответствует максимальным значениям стоимости опциона колл, а линия CD – минимальным. Рыночная цена опциона должна находиться в следующем диапазоне:

График функции рыночной стоимости опциона будет расположен между изображенными на рис. 1 границами, превышая уровень его внутренней стоимости.

Величина, на которую фактическая стоимости опциона превышает его внутреннюю стоимость, называется временной стоимостью, или срочной премией опциона. [5] Она представляет собой часть стоимости опциона, обусловленную имеющимся у владельца временем до даты истечения опциона. Даже если в настоящее время опцион колл «без денег» (отрезок АС на рис.1), его все еще можно продать за определенную цену, поскольку он содержит в себе потенциальную возможность для получения дохода при росте цены базовой акции к моменту истечения опциона.

Рис. 1 График стоимости опциона колл

При значительном росте курса базового актива вероятность исполнения опциона колл, при прочих равных условиях, увеличивается, что приводит к уменьшению временной стоимости опциона, а когда курс базового актива становится очень высоким, график рыночной стоимости опциона колл практически сливается с линией его внутренней стоимости (нижней границей цены опциона).

Определив диапазон изменения стоимости опциона как функции от значения рыночного курса базового актива, рассмотрим основные закономерности взаимосвязи между этими параметрами, что позволит уточнить характер прохождения графика функции рыночной стоимости опциона (рис. 2).

Рис. 2. Стоимость опциона колл как функция курса базового актива

1.       Если рыночный курс базового актива равен нулю, то стоимость опциона также равна нулю. Этот крайний случай возможен, только для совсем «безнадежных» базовых активов. В этой ситуации опцион колл никогда не будет исполнен, а значит, он не имеет стоимости.

2.       С ростом курса базового актива, при прочих равных условиях, увеличивается и стоимость опциона. На рис. 2 это прямые AB и CD.

3.       Если курс базового актива выше цены исполнения опциона, то рост первого на 1 ден. ед. ведет почти к такому же росту стоимости опциона. Данное утверждение отражает наклон графика в точке F. Предположим, что рыночный курс базового актива настолько превосходит цену исполнения опциона колл, что нет вероятности, что к дате закрытия он опустился ниже уровня исполнения. В условиях очевидного исполнения опциона любое изменения курса базового актива вызовет равное по величине изменение ожидаемой от опциона прибыли, размер которой может быть рассчитан как разница между рыночным курсом акции и ценой исполнения опциона.

4.       По мере увеличения курса акции рост стоимости опциона колл ускоряется.

График функции стоимости опциона колл (рис.2) иллюстрирует взаимосвязь между стоимостью опциона и рыночным курсом акции     , когда все остальные факторы, влияющие на стоимость опциона, остаются постоянными. Рассмотрим основные из этих факторов, оценивая характер их воздействия на стоимость опциона колл:

1.     Цена исполнения опциона. Выбирая между двумя опционами колл на один и тот же базовый актив, покупатель выберет тот, у которого цена исполнения ниже, так как при любом благоприятном движении курса на актив опцион с меньшей ценой исполнения принесет большую прибыль. Следовательно, чем ниже цена исполнения, тем выше стоимость опциона колл.

2.     Безрисковая ставка процента. В случае исполнения опциона колл его владелец получает определенную выгоду от роста рыночного курса на базовый актив. Но эту выгоду он получит и в том случае, если не станет исполнять опцион немедленно. До момента исполнения опциона денежные средства могут быть вложены в государственные ценные бумаги, которые обеспечивают получение дохода без всякого риска. Такая возможность увеличивает стоимость опциона колл. Следовательно, чем выше безрисковая ставка процента, тем больше стоимость опциона колл. Более того, чем дальше во времени отстоит срок исполнения опциона, тем больше доход по безрисковой ставке. Иными словами, безрисковая ставка процента определяет стоимость опциона колл в зависимости от времени, оставшегося до момента закрытия.

3.     Волатильность курсов базового актива. Допустим, покупатель выбирает между двумя опционами колл с одинаковой ценой исполнения. Установлено, что хотя ожидаемый будущий курс обоих базовых активов одинаковый, ожидаемая доходность выше у менее стабильных акций. Это значит, что чем меньше стабильность базового актива, тем выше стоимость опциона колл на этот актив.

Подводя итог вышесказанному, подчеркнем, что стоимость опциона колл на базовый актив зависит от пяти основных переменных:

·        чем выше цена базового актива, тем дороже опцион на его покупку;

·        чем ниже цена исполнения опциона, тем выше его стоимость;

·        в условиях возможной отсрочки исполнения опциона с ростом процентной ставки возрастает и стоимость опциона;

·        если к истечению срока опциона цена на актив падает ниже цены исполнения, опцион утрачивает свою стоимость независимо от того, насколько снизилась цена; вместе с тем, на каждую денежную единицу роста цены актива сверх цены исполнения держатель опциона получает дополнительную прибыль;

·        долгосрочный опцион обладает большей ценностью, поскольку при длительном сроке действия опциона, момент, когда придется оплачивать цену исполнения, отодвигается во времени, а вероятность того, что к дате исполнения цена акции может значительно возрасти, увеличивается.

Квалифицированным участникам рынка опционной торговли требуются модели, позволяющие дать точную оценку опционов. Одна из таких моделей – биномиальная модель ценообразования, известная как модель Кокса-Росса-Рубинштейна. Разработанная американскими экономистами, модель отличается ясностью принципов построения, оставаясь при этом гибкой и хорошо адаптируемой к нестандартным условиям.

Биномиальная модель предполагает, что фактические события, связанные с изменением курсов  базовых активов, происходят не случайным образом, а регулярно, с определенным шагом во времени (дискретно). Кроме того, предполагается, что каждое изменение курса акций может осуществляться в двух режимах: курс может подняться по конкретной процентной ставке или понизиться.

Центральный момент расчета стоимости опциона в биномиальной модели – использование идеи эквивалентного инвестиционного портфеля, основанного на предложении, что на развитом и эффективном рынке любые два финансовых инструмента (или портфеля инструментов), полностью эквивалентные друг другу по уровню полезности, должны иметь одинаковую привлекательность для инвестора. Учитывая это, всегда можно подобрать дублирующий портфель из рыночных ценных бумаг, который дает такую же отдачу, как и конкретный опцион, и имеет такую же рыночную стоимость.

Так, покупку опциона колл на какой-либо базовый актив можно заменить (продублировать) эквивалентным инвестиционным портфелем – приобретением некоторого количества этого базового актива на заемные деньги. Когда покупатель приобретает опцион колл, он получает право через некоторое время (заплатив за актив) получить этот актив в собственность. Когда он приобретает актив на заемные средства, также получает право через некоторое время (выплатив долг) получить этот актив в собственность. Таким образом, эквивалентность рассматриваемого опциона и дублирующего портфеля очевидна.

Но данная модель, несмотря на свою гибкость и универсальность, при осуществлении реальных торговых операций с опционами требует достаточно трудоемких расчетов.

2.3. Применение модели Блэка-Шоулза

Модель, положенная американскими учеными Фишером Блэком, Майроном Шоулзом и Робертом Мертоном в основу расчета, и биномиальная модель имеют много общего. В низ динамика курса акций определяется с помощью средней стоимости и стандартного отклонения «процентов». Также в обеих моделях используется сопоставление с эквивалентным, дублирующим инвестиционным портфелем. Главное различие между моделями состоит в описании «движения во времени»: в биномиальной модели время, разделённое на периоды определенной продолжительности, движется дискретно.  Курс акций может меняться только в начале или конце каждого периода, соответственно, только тогда изменяется и стоимость опциона. В модели Блэка-Шоулза, напротив, время движется непрерывно, так как длительность каждого единичного периода стремится к нулю.

Таким образом, основное различие между моделями состоит в том, что одна является дискретной и предполагает наличие заранее известного конечного числа интервалов (периодов, звеньев) бинарного дерева, а другая – непрерывной и базируется на том, что число звеньев дерева бесконечно велико, а длина каждого интервала соответственно бесконечно мала.

Модель Блэка-Шоулза, представляя собой частный случай биномиальной одели, строится на следующих предпосылках:

1.     Цена актива меняется постоянно, и временные интервалы в модели очень короткие.

2.     Изменение цены актива рассматривается как случайный процесс. Теоретически при очень коротких временных интервалах цены актива во времени изменяются слабо, и варьирование цен может быть описано в таком случае непрерывным нормальным распределением. Однако последнее допускает, как известно, отрицательное значение переменной величины, что не соответствует случаю актива, цена которого не может опуститься ниже нуля. Более того, нормальное распределение предполагает равную вероятность подъема и снижения цены, хотя в реальной действительности инфляция приводит к большему изменению цены в сторону повышения. С учетом этого в рассматриваемой модели используется распределение натурального логарифма относительных цен на акции.

3.     Р. Мертон обобщил данную модель, добавив к ней возможность получения постоянного дивидендного дохода.

4.      Опцион может быть исполнен только в фиксированный момент времени (европейский опцион).

5.     Нейтральность инвестора по отношению к риску.

6.     отсутствуют транзакционные издержки и несовершенства рынка.

7.     Факторы, определяющие стоимость опциона:

·        текущая цена базового актива (S₀);

·        цена исполнения опциона (Е);

·        срок действия опциона (Т);

·        безрисковая доходность, соответствующая сроку действия опциона (;

·        дисперсия натурального логарифма цены акции (σ²); в качестве случайной величины (переменной) для расчета дисперсии берется значение ln (S_t+1/S_t).

Для понимания модели Блэка-Шоулза рассмотрим функционал S₀ – Ee^-rT. В этом выражении S₀ представляет курсовую стоимость базового актива на момент оценки стоимости опциона колл, выписанного на этот актив. Соответственно, Ee^-rT – приведенная величина будущих затрат по покупке базового актива. Таким образом, величина S₀ – Ee^-rT может быть рассмотрена как аналог приведенной величины будущих платежей по исполнению опциона, т.е. это и есть цена на начало периода.

Поскольку уверенность в исполнении опциона отсутствует, вводятся некоторые уточняющие весовые коэффициенты N(d₁) и N(d₂), связанные с вероятностью исполнения опциона и прогнозом темпа роста цены на базовый актив. Таким образом, формула Блэка Шоулза для расчета стоимости покупки опциона колл (V_c) будет иметь следующий вид:

 ;

где S₀ – текущий курс базовой акции; E – цена исполнения опциона; e – основание натурального логарифма; , начисляемая по формуле сложных процентов; Т – время, остающееся до срока истечения опциона, рассчитываемое как доля года;  – приведенная (текущая) оценка цены исполнения при непрерывном дисконтировании; (Nd₁) и N(d₂) – значения накопленной вероятности соответственно по d₁ и d₂ для стандартизированного нормального распределения.

Стандартизированная переменная величина рассчитывается по формуле:

 ,

где µ - математическое ожидание переменной x.

Если случайная переменная x нормально распределена, то стандартизированная переменная d будет распределена также нормально с математическим ожиданием, равным нулю и средним квадратным отклонением,равным единице. В данной работе мы будем использовать таблицу накопленной вероятности N(d)[6].

В свою очередь, параметры d₁ и d₂ в модели Блэка-Шоулза могут быть рассчитаны по формулам:

и

где σ – годовое стандартное отклонение цены базового актива (историческая волатильность), которая может быть рассчитана умножением стандартного отклонения цены за несколько дней на квадратный корень из 260 (число торговых дней в году).

Модель Блэка-Шоулза, как и биномиальная, строится на идее создания дублирующего портфеля. Исходя из этого, формулу можно рассматривать следующим образом. Первая ее часть –  отражает ожидаемую прибыль инвестора от покупки собственно базового актива. Вторая часть –  моделирует величину ожидаемой приведенной оценки результата исполнения опциона на дату его истечения.

Модель Блэка-Шоулза соотносит стоимость опциона колл со всеми ранее рассматриваемыми факторами, определяющими ее уровень. При прочих равных условиях, эти взаимоотношения таковы:

1)    чем выше текущий рыночный курс базового актива, тем выше цена опциона колл;

2)    чем выше безрисковая ставка процента, темп выше цена опциона;

3)    чем больше срок до даты исполнения опциона, тем выше его стоимость;

4)    чем выше цена исполнения, тем ниже стоимость опциона;

5)    чем менее стабилен курс базового актива, тем выше стоимость опциона.

Глава 3. Эмпирическая проверка модели Блэка-Шоулза

3.1.         Информация и методика расчета модели Блэка-Шоулза

 

Для расчета цены опциона по формуле Блэка-Шоулза нам необходимо располагать информацией о текущей цене базового актива, цене исполнения опциона, сроке его действия, текущей безрисковой ставке. Все эти сведения доступны каждому участнику торгов.

Поскольку в качестве базового актива могут выступать товары, ценные бумаги, валюта, процентные ставки, индексы, то рыночную стоимость можно узнать из различных источников: на биржах, у эмитента ценной бумаги и пр. Цена исполнения и срок действия контракта указаны в самом опционе и определяются контрагентами.   

Алгоритм расчета стоимости опциона колл п модели Блэка-Шоулза будет следующим:

1.     Определить ln(S/E).

2.     Рассчитать параметры d₁ и d₂.

3.     Используя табулированные данные кумулятивной функции нормального распределения, найти N(d₁) и N(d₂).

4.     Вычислить выражение .

5.     Подставить все вычисленные выражения в модель Блэка-Шоулза и вычислить стоимость опциона.

3.2.         Базы данных по ценам опционов

В настоящее время, торговля опционами все больше приобретает популярность. Используются они как в целях получения прибыли, так и в целях страхования от валютных рисков.

Опционы стали популярны и в России в связи с развитием биржевой торговли. На Московской бирже эти деривативы активно используются. Данная биржа объединяет в себе ММВБ и РТС.

Существует также множество инвестиционных компаний. Например, «Ай Ти Инвест». Эта инвестиционная компания  позиционируется как брокер для профессиональных участников рынка. Компания разработала и создала собственную программу - SmartХ™, предназначенную для российских и международных финансовых рынков. Главным преимущетсвом программы стала  функциональная и удобная в использовании  доска опционов.

Одним из наиболее надежных брокеров мира считается европейский банк - Saxo Bank, позволяющий вести торговлю валютными опционами по абсолютному большинству валютных пар, обеспечивет узкие спреды и доступную ликвидность.

3.3.         Расчет стоимости опциона с помощью модели Блэка-Шоулза

 

Предположим, что текущий курс акции международной компании составляет 90$США. На эту акцию был выписан опцион колл на 6 месяцев с ценой исполнения 100 $ США. Текущая безрисковая ставка 8%.

Поскольку, все эти сведения доступны каждому участнику рынка, проблематичной остается оценка вариации «процентов» изменения цены акции за это время. Будем считать, что среднее квадратическое отклонение по «процентам» изменения цены акции σ=0,6.

Следуя алгоритму расчета, получим:

1.     ln(S/E)=ln(0,9)= - 0.1054

2.     Рассчитаем параметры d₁ и d₂:

3.     Используя табулированные данные кумулятивной функции нормального распределения, найдем вероятность того, что значение нормально распределенной случайной переменной меньше 0,06:N(0.06)=0.5239, а вероятность того, что значение нормально распределенной случайной переменной меньше -0,37, равна          N(-0.37)=0.3557.

4.     Вычислим выражение = e^-(0.08)(0.5)=0.9608/

5.     Подставим значения всех вычисленный выражений в уравнение модели Блэка-Шоулза и получим:

Таким образом, в соответствии с моделью Блэка-Шоулза стоимость опциона колл должна быть равна 12,98 $.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На сегодняшний день, умение управлять рисками в таких областях, как  страхование, торговля на фондовом рынке и инвестирование возможно благодаря использованию математических методов в экономике для прогноза будущих ситуаций. Естественно, вероятность таких прогнозов не является абсолютной, но ее достаточно для принятия взвешенных инвестиционных решений.

Базовый и наиболее важный принцип торговли на финансовых рынках состоит в том, что чем выше риски, принимаемые покупателем, тем выше возможная прибыль от операции. Применение математических методов не может целиком аннулировать риск, но поможет более точно оценить его степень и решить вопрос о возможной прибыли. 

Наибольшее внимание было уделено опционам и процессу ценообразования опциона. Определить цену опциона до даты его истечения –  сложная проблема. Важнейшим фактором здесь служит текущий рыночный курс базового актива. Внутренней стоимостью опциона считается доход, который можно получить при немедленном исполнении опциона.

В данной работе были рассмотрены понятия международного финансового рынка и производных финансовых инструментов. Деривативы доказывают, что все сегменты международного финансового рынка связаны между собой и влияют друг на друга, поскольку производные финансовые инструменты создаются и в валютном, и в кредитном, и в фондовом, и в инвестиционном секторах международного финансового рынка.

Роберт Мертон внес огромный вклад в развитие современной теории финансовых рынков, именно им была создана модель определения цены опциона.  За это он был высоко признан в научной общественности. Мертон и Шоулз создали такой способ оценки деривативов, который повысил выгоду от их использования. Главное различие между более ранней биномиальной моделью и моделью Блэка-Шоулза состоит в описании «движения во времени»: в биномиальной модели время, разделённое на периоды определенной продолжительности, движется дискретно.  Курс акций может меняться только в начале или конце каждого периода, соответственно, только тогда изменяется и стоимость опциона. В модели Блэка-Шоулза, напротив, время движется непрерывно, так как длительность каждого единичного периода стремится к нулю. В свою очередь, это поспособствовало развитию рынка деривативов и мирового финансового рынка в целом.

В завершении данной работы, была произведена эмпирическая проверка модели Блэка-Шоулза: с ее помощью была рассчитана стоимость опциона-колл.

Таким образом, все поставленные цели и задачи были достигнуты.

 
Список литературы:

1.     Бердникова, Т.Б. Рынок ценных бумаг: прошлое, настоящее, будущее [Текст]: Монография / Т.Б. Бердникова. - М.: ИНФРА-М, 2013. - 397 c.

2.     Буренин А.Н. Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов [Текст]: 3—е издание, дополненное/ А.Н. Буренин  – М.: Научно-техническое общество им. Академика С.И. Вавилова, 2009. – 426с.

3.     Вайн С. Опционы: Полный курс для профессионалов [Текст] / С. Вайн. - 2-е изд., испр. и доп. - М. : Альпина Бизнес Букс, 2007. - 466 с.

4.     Галанов В.А. Производные инструменты срочного рынка: фьючерсы, опционы, свопы [Текст]/ В.А. Галанов. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 464 с.

5.     Деривативы. Курс для начинающих (Серия Reuters для финансистов) [Текст]/ Пер. с англ. – М.: Альпина Паблишер, 2002. – 277 с.

6.     Килячков, А.А., Чалдаева, Л.А. Рынок ценных бумаг. Курс в схемах [Текст] / А.А. Килячков, Л.А. Чалдаева. – М.: «Экономистъ», 2007. - 389 с.

7.     Ковалев В.В. Введение в финансовый менеджмент [Текст] / В.В. Ковалев. – М. : Финансы и статистика, 2012. – 210 с.

8.     Кузнецов, Б.Т. Рынок ценных бумаг [Текст]: Учебное пособие для студентов вузов / Б.Т. Кузнецов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2013. - 288 c.

9.     Маренков, Н.Л. Ценные бумаги [Текст] / Н.Л. Маренков. - М.: изд. 2-е, «Феникс», 2005. – 602 с.

10.       Международный финансовый рынок [Текст]: учеб. пособие / под ред. д.э.н., проф. В.А. Слепова, д.э.н., проф. Е.А. Звоновой. – М.: Магистр, 2007. – 543 с.

11.        Мошенский С.З. Рынок ценных бумаг: трансформационные процессы [Текст]/ С.З. Мошенский. - М.: Экономика, 2010. – 239 с.

12.        Натенберг Ш. Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли [Текст]/Шелдон Натанберг; пер. с англ. – М.: Альпина Бизнес Букс, 2007. – 544с

13.       Рынок ценных бумаг [Текст]: учебник/ Басс А.Б. и др.; под ред. Е.Ф. Жукова. – М.: Волтерс Клувер, 2010. – 656 с.

14.        Рынок ценных бумаг (фундаментальный анализ) [Текст]: Учеб. пособие/ Карташов Б.А., Матвеева Е.Ф., Смелова Т.А., Гаврилов А.Е. / ВолгГТУ, Волгоград, 2006. - 180 с.

15.       Силантьев С. А. Логика опционной торговли [Текст]: учеб. пособие/С.А. Силантьев.- 2-е изд., стер. — М. : SmartBook : Изд-во «И-трейд», 2008. – 344 с.

16.       Современные финансовые рынки [Текст]: монография для магистров, обучающихся по программе направления «Финансы и кредит»/ В.В. Инванов и др.; под ред. В.В, Иванова. – М.:Проспект, 2014. - 576 с.

17.       Соколинская, Н.Э. Производные финансовые инструменты: фьючерсы, свопы и опционы [Текст] / Н.Э. Соколинская // Банковские услуги. - 2008. - №2.; С.38-44

18.       Томсетт М. Торговля опционами: спекулятивные стратегии, хеджирование, упрвление рисками [Текст] / Майкл Томсет; пер. с англ. – М.: Издательский дом «Альпина», 2001. – 360 с.

19.        Федякина Л.Н. Международные финансы [Текст]: учеб. пособие для вузов/ Л.Н. Федякина;  - 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Международные отношения, 2012. – 640 с.

20.       Фельдман А.Б. Производные финансовые и товарные инструменты [Текст]: учебник для студ., обуч. по спец. ”Финансы и кредит”, ”Мировая экономика”/ А.Б. Фельдман; - 2-е издание, доработанное и дополненное. – М.: Экономика, 2008. - 472 с.

21.       Финансовые инструменты [Текст]: финансовая энциклопедия; пер. с англ. / ред. Ф. Фабоцци. - М. : ЭКСМО, 2010. - 861 с.

22.       Халл Джон К. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты [Текст] / Джон К. Халл ; пер. c англ. Д. А. Клюшина. - 6-е изд. - М. ; СПб. : Вильямс, 2007. - 1051 с.

23.        Шимко П.Д. Международный финансовый менеджмент [Текст]: учебник и практикум для бакалавриата и магистратуры. / П.Д. Шимко. - 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2014. – 494 с.

24.        Иванов М. Деривативы и кризис: миф и реальность [Электронный ресурс]/ М. Иванов// Рынок ценных бумаг – 2008. - № 22. – режим доступа: http://www.rcb.ru/rcb/2008-22/16415/ ;

25.        Инструментарий фондового рынка: что такое опционы, и как они работают [Электронный ресурс]: блог компании ITinvest/ Хабрахабр. – режим доступа: http://habrahabr.ru/company/itinvest/blog/226829/;

26.       Мертон Роберт Кархарт – биография. [Электронный ресурс] //JewAge. – Режим доступа: http://www.jewage.org/wiki/ru/Article:%D0%9C%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%BD,_%D0%A0%D0%BE%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D1%85%D0%B0%D1%80%D1%82__%D0%91%D0%B8%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%8F  ;

27.       Сущность опциона [Электронный ресурс] // Evotrade . - режим доступа: http://evotrade.ru/options/opt/ ; 

28.       МосБиржа акции Газпром [Электронный ресурс]// Финам.- режим доступа: http://www.finam.ru/analysis/profile041CA/ ;

29.       Основные виды бинарных опционов [Электронный ресурс]// Бинарные опционы – торговля и заработок. - режим доступа: http://optionsbinar.ru/ ;

30.       Neutral Strategies [Электронный ресурс]// Online Option Trading Guide. - режим доступа: http://www.theoptionsguide.com/short-condor.aspx;

Приложения

Приложение 1.  Таблица накопленной вероятности N(d)

---