Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

им. Ф. Скорины"

Математический факультет

Курсовая работа

Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов

Исполнитель:

Студентка группы М-42

Ларченко А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент

Зверева Т.Е.

Гомель 2006

Содержание

Введение

Перечень условных обозначений

1. Общие определения и обозначения

2. Используемые результаты

3. Определения и основные примеры подгрупповых функторов

4. Решетки подгрупповых функторов

5. Классы групп с заданными решетками подгрупповых функторов

Заключение

Список использованных источников

Введение

Согласно теореме о соответствии между подгруппами основной группы, содержащие нормальную подгруппу  и подгруппами из факторуппы  существует взаимнооднозначное соответствие, при котором нормальным подгруппам соответствуют нормальные подгруппы, субнормальным подгруппам соответствуют субнормальные и т.д.

Этот факт лежит в основе следующего определения, введеного в монографии А.Н. Скибы "Алгебра формаций." (Мн.: Беларуская навука, 1997).

Пусть  некоторый класс групп. Составим с каждой группой  некоторую систему ее подгрупп . Будем говорить, что  - подгрупповой -функтор или подгрупповой функтор на , если выполняются следующие условия:

1)  для всех ;

2) для любого эпиморфизма , где А, и для любых групп  и  имеет место  и

Значение этого понятия связано прежде всего с тем, что подгрупповой функтор выделяет в группе те системы подгрупп, которые инвариантны относительно гомоморфизма и поэтому удобны при проведении индуктивных рассуждений.

Целью данной дипломной работы является элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функтороф, доступное для понимания в рамках специальных курсов математических факультетов.

Дипломная работа состоит из введения, общей части, включающей 5 параграфов, заключения и списка используемой литературы.

В первом параграфе приводятся общие определения и обозначения.

Во втором параграфе даются те известные результаты теории групп, которые используются в основном тексте дипломной работы.

Третий параграф посвящен изучению основных понятий подгрупповых функторов и рассмотрению примеров. Здесь из различных источников собраны и систематизированы основные определения и примеры подгрупповых функторов.

В параграфе четыре систематизирован теоретический материал по теме "Решетки подгрупповых функторов".

Параграф пять изучает свойства конечных групп в зависимости от свойств соответствующих решеток подгрупповых функторов.

Перечень условных обозначений

 - принадлежность элемента множеству;

 - знак включения множеств;

 - знак строгого включения;

 и  - соответственно знаки пересечения и объединения множеств;

 - пустое множество;

 - множество всех простых чисел;

 - некоторое множество простых чисел, т.е. ;

Пусть  - группа. Тогда:

 - порядок группы ;

 - порядок элемента  группы ;

 - коммутант группы , т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;

 -  является подгруппой группы ;

 -  является собственной подгруппой группы ;

 -  является максимальной подгруппой группы ;

 -  является нормальной подгруппой группы ;

 -  является субнормальной подгруппой группы ;

 -  является минимальной нормальной подгруппой группы ;

 - факторгруппа группы  по подгруппе ;

 - индекс подгруппы  в группе ;

 - нормализатор подгруппы  в группе ;

Если  и  - подгруппы группы , то:

 -  и  изоморфны.

Пусть  - группа,  и , тогда:

 - правый смежный класс,

 - левый смежный класс;

 - совокупность всех нормальных подгрупп группы ;

 - группа порядка ;

Скобки  применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

 - подгруппа, порожденная элементами  и .

 - подгрупповой  - функтор или подгрупповой функтор на , где  - некоторый класс групп;

 - совокупность всех  - подгрупп группы ;

 - тривиальный подгрупповой  - функтор;

 - единичный подгрупповой  - функтор;

 - ограничение подгруппового  - функтора  на класс групп ;

 - пересечение системы подгрупповых  - функторов ;

 - решётка всех подгрупповых  - функторов;

 - решётка всех замкнутых подгрупповых  - функторов;

Прописными готическими буквами обозначаются классы групп, т.е. всякое множество групп, содержащее вместе с каждой своей группой и все группы, ей изоморфные, в частности, формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений.

Стандартные обозначения, закрепленные за некоторыми классами групп:

 - класс всех групп;

 - класс всех абелевых групп;

1. Общие определения и обозначения

 

Бинарной алгебраической операцией на множестве  называют отображение декартова квадрата  во множество . Если  - бинарная операция на , то каждой упорядоченной паре  элементов из  соответствует однозначно определенный элемент . Бинарную операцию на  обозначают одним из символов:  и т.д. Если, например, вместо  условимся писать , то вместо  пишем .

Говорят, что на множестве X определена бинарная операция (умножение), если  для всех .

Если  для всех , то операция называется ассоциативной.

Если  для всех , то операция называется коммутативной.

Элемент  называется единичным, если  для всех .

Обратным к элементу  называется такой элемент , что .

Полугруппой называется непустое множество  с бинарной алгебраической операцией (умножение), удовлетворяющей следующим требованиям:

(1) операция определена на , т.е.  для всех  и ;

(2) операция ассоциативна, т.е.  для любых .

Группой называется непустое множество  с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:

(1) операция определена на , т.е.  для всех  и ;

(2) операция ассоциативна, т.е.  для любых ;

(3) в  существует единичный элемент, т.е. такой элемент , что  для всех ;

(4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого  существует такой элемент , что .

Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой.

Если  - конечное множество, являющееся группой, то G называют конечной группой, а число  элементов в  - порядком группы .

Также группой называется непустое множество  с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:

(1) операция определена на ;

(2) операция ассоциативна;

(3) уравнения ,  имеют решения для любых элементов .

Подмножество  группы  называется подгруппой, если  - группа относительно той же операции, которая определена на группе . Для подгруппы используется следующее обозначение: . Запись  читается так:  - подгруппа группы .

Также можно дать следующее определение подгруппы конечной группы. Непустое подмножество  конечной группы  называется подгруппой, если  для всех  и

Собственной называется подгруппа, отличная от группы.

Пусть  - группа,  и . Правым смежным классом группы  по подгруппе  называется множество всех элементов группы  вида , где  пробегает все элементы подгруппы .

Аналогично определяется левый смежный класс

Если  - конечная группа, то число различных правых смежных классов по подгруппе  также будет конечно, оно называется индексом подгруппы  в группе  и обозначается через .

Подгруппа  называется нормальной подгруппой группы , если  для всех . Запись  читается так:  - нормальная подгруппа группы  Равенство  означает, что для любого элемента  существует элемент  такой, что .

Пусть  - нормальная подгруппа группы . Обозначим через  совокупность всех левых смежных классов группы  по подгруппе , т.е. . Группа  называется факторгруппой группы  по подгруппе  и обозначается через .

Условимся через S обозначать совокупность всех подгрупп группы , содержащих подгруппу . В частности, S= S - совокупность всех подгрупп группы , а S.

Каждая нормальная подгруппа  группы  определяет цепочку . Обобщая эту ситуацию, цепочку

вложенных друг в друга нормальных подгрупп группы  называют нормальным рядом в .

Ряд называется субнормальным, если выполняется более слабое условие: каждый предыдущий его член есть нормальная подгруппа следующего члена, т.е.  для

Члены субнормальных рядов называются субнормальными подгруппами (если подгруппа  субнормальна в , то пишут ().

Ясно, что каждый нормальный ряд является субнормальным.

Собственная подгруппа  неединичной группы  называется максимальной подгруппой, если  не содержится ни в какой другой подгруппе, отличной от всей группы , т.е. если из условия  следует, что  или . Для максимальной подгруппы  неединичной группы  используется запись

В абелевой группе любые два элемента перестановочны. Если группа неабелева, то в ней существуют неперестановочные элементы, т.е. такие элементы  и , что . Поэтому естественно рассмотреть элемент , для которого . Отсюда .

Коммутатором элементов  и  называют элемент , который обозначают через . Ясно, что .

Подгруппа, порождённая коммутаторами всех элементов группы , называется коммутантом группы  и обозначается через . Таким образом, .

Для любой неединичной подгруппы  можно построить цепочку коммутантов

Если существует номер  такой, что , то группа  называется разрешимой.

Если  - непустое подмножество группы  и , то

Элемент  называется перестановочным с подмножеством , если . Равенство  означает, что для любого элемента  существует такой элемент , что . Если элемент  перестановочен с подмножеством , то

Совокупность всех элементов группы , перестановочных с подмножеством  называется нормализатором подмножества  в группе  и обозначается через . Итак,

Пусть  и  - мультипликативные группы. Отображение  называется гомоморфизмом группы  в группу , если  для любых  и .

Если  - подмножество группы , то  образ  при гомоморфизме , а  - образ гомоморфизма . Образ гомоморфизма  также обозначают через .

Ядром гомоморфизма  называется множество где  - единичный элемент группы . Другими словами, в ядре собраны все элементы группы , переходящие при отображении  в единичный элемент группы .

Гомоморфизм  называется мономорфизмом, если . Из леммы 1 следует, что гомоморфизм  является мономорфизмом тогда и только тогда, когда отображение  - инъекция.

Если , то гомоморфизм  называется эпиморфизмом. Ясно, что в этом случае  - сюръекция.

Гомоморфизм, который одновременно является мономорфизмом и эпиморфизмом, будет изоморфизмом.

2. Используемые результаты

 

Теорема 1.1 (Теорема о соответствии) Пусть  - нормальная подгруппа группы . Тогда:

(1) если  - подгруппа группы  и , то  - подгруппа факторгруппы ;

(2) каждая подгруппа факторгруппы  имеет вид , где  - подгруппа группы  и ;

(3) отображение  является биекцией множества S на множество S;

(4) если  S, то  - нормальная подгруппа группы  тогда и только тогда, когда  - нормальная подгруппа факторгруппы .

Лемма 1.2 Пусть  - гомоморфизм группы  в группу . Тогда:

(1) единичный элемент  группы  переходит в единичный элемент  группы , т.е. ;

(2) обратный элемент переходит в обратный, т.е.  для всех ;

(3) образ гомоморфизма является подгруппой группы , т.е. ;

(4) ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой группы , т.е. ;

(5) тогда и только тогда  где  когда .

Лемма 1.3 Пусть  - гомоморфизм группы  в группу . Тогда:

(1) если , то ;

(2) если , то ;

(3) если подмножества  и  сопряжены в , то  и  сопряжены в .

Теорема 1.4 (Основная теорема о гомоморфизме) При гомоморфизме групп факторгруппа по ядру изоморфна образу, т.е. если  - гомоморфизм, то .

Теорема 1.5 (первая о изоморфизме) Пусть  - нормальная подгруппа группы . Тогда для любой подгруппы  пересечение  является нормальной подгруппой в подгруппе , а отображение

является изоморфизмом групп  и .

Теорема 1.6 (вторая о изоморфизме) Если  и  - нормальные подгруппы группы , причем , то  изоморфна .

Лемма 3.1 Пусть  - формация, . Тогда

Лемма 20.6. Пусть  - подгрупповой функтор и  - группа. Если  и , тогда .

Лемма 20.7. Пусть ,  - элементарно абелевы -группы с . Тогда  имеет подгруппу  такую, что .

Теорема. Пусть  - такой набор конгруэнций -алгебры A, что . Пусть  прямое произведение факторалгебр  и

Тогда  - мономорфизм алгебры  в алгебру  и  входит подпрямо в .

Теорема 20.8. Пусть  - конечное многообразие локально конечных групп, причем каждая группа из  либо счетна, либо конечна. Тогда в том и только в том случае решетка  является цепью, когда существует такое простое число , что каждая группа в  является элементарно абелевой -группой.

Теорема 20.9. Пусть  - конечная группа и  - конечное многообразие, порожденное . Тогда в том и только в том случае  является элементарной абелевой -группой, когда решетка  является цепью.

Лемма 24.9 Пусть  - наследственный гомоморф конечных групп. Пусть  - замкнутый подгрупповой функтор на  Пусть  - нильпотентная группа в  и  Предположим, что , где  - простое число. Пусть  - нильпотентная группа в  такая, что  и  Тогда

Лемма 24.10 Пусть  - наследственный гомоморф конечных нильпотентных групп и  Пусть  Если  - идемпотент в , удовлетворяющий условию  и , где  тогда

Теорема 24.11 Пусть  - конечное многообразие групп. И пусть каждая группа в  конечная. Тогда ширина  решетки  всех идемпотентов в  конечна и  в том и только в том случае, когда  состоит из нильпотентных групп и

3. Определения и основные примеры подгрупповых функторов

Пусть  некоторый класс групп. Составим с каждой группой  некоторую систему ее подгрупп . Будем говорить, что  - подгрупповой -функтор или подгрупповой функтор на , если выполняются следующие условия: 1)  для всех ;

2) для любого эпиморфизма , где А, и для любых групп  и  имеет место  и

Подгрупповой -функтор  называется:

1) замкнутым, если для любых двух групп  и  имеет место ;

2) тривиальным, если для любой группы  имеет место

;

3) единичным, если для любой группы  система  состоит из всех подгрупп группы G.

Тривиальный подгрупповой -функтор обозначается символом , а единичный - символом .

Если  и  - подгрупповой -функтор, то  - такой подгрупповой -функтор, что  для всех . Такой функтор называется ограничением функтора  на классе .

Рассмотрим несколько примеров подгрупповых функторов. В случае, когда  - класс всех групп, подгрупповые -функторы мы будем называть просто подгрупповыми функторами.

Пример 1. Пусть для любой группы ,   

Понятно, что  - замкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого подгруппового функтора мы применяем запись .

Пример 2. Пусть  - совокупность всех нормальных подгрупп группы  для каждой группы . Такой функтор в общем случае замкнутым не является.

Пример 3. Пусть  - произвольное натуральное число. Для каждой группы  через  обозначим совокупность всех таких подгрупп , для которых . Понятно, что  - подгрупповой -функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .

Пример 4. Пусть  - произвольное кардинальное число. И пусть для любой группы       .

Понятно, что такой подгрупповой функтор в общем случае не является замкнутым. Для обозначения такого функтора мы применяем запись .

Если  - подгруппа группы , то символом  обозначается мощность множества .

Пример 5. Пусть  - простое число и пусть для любой группы  система  в  нет такой подгруппы , что ,  - натуральное число, взаимнопростое с .

Покажем, что  - подгрупповой функтор.

Действительно, пусть   и . Предположим, что

где  - натуральное число. Тогда  - натуральное число и

Следовательно, , и поэтому . Это означает, что . Аналогично, мы видим, что если

то . Таким образом,  - подгрупповой функтор. Для обозначения такого подгруппового функтора мы используем запись . Заметим, что если  - некоторый класс конечных групп и , то  - замкнутый подгрупповой функтор.

Пример 6. Пусть . И пусть для каждой группы  множество  совпадает с совокупностью всех тех подгрупп из , индексы которых не делятся на числа из . Понятно, что  - замкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .

Напомним, что подгруппа  группы  называется абнормальной в , если всегда из  следует, что .

Пример 7. Пусть для любой группы  множество  совпадает с совокупностью всех абнормальных подгрупп группы . Легко видеть, что  - незамкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .

Пример 8. Пусть  - произвольный класс групп. Подгруппа  группы  называется  - абнормальной в , если выполняется одно из следующих двух условий:

1) ;

2)  и для любых двух подгрупп  и  из , где  и  - максимальная подгруппа в  имеет место .

Легко видеть, если группа  разрешима, то ее подгруппа  абнормальна в  тогда и только тогда, когда она -абнормальна в .

Сопоставляя каждой группе  множество всех ее -абнормальных подгрупп , получаем подгрупповой функтор, для которого мы будем применять запись .

Пример 9. Подгруппа  группы  называется -субнормальной в , если выполняется одно из следующих двух условий:

1) ;

2)  и в  имеется такая цепь подгрупп  где  - максимальная в  подгруппа, содержащая , .

Пусть  - некоторая непустая формация и для каждой группы  система  состоит из всех -субнормальных в  подгрупп.

Покажем, что  - подгрупповой функтор. Пусть  -субнормальна в . И пусть  и  - такие члены цепи (1), что , где  - нормальная в  подгруппа.

Покажем, что  - максимальная подгруппа в . Допустим, что  для некоторой подгруппы . Тогда поскольку  максимальна в , то либо , либо .

Пусть имеет место первое. Тогда поскольку , то . Противоречие. Значит, , т.е. . Поэтому . Противоречие. Итак, ряд  таков, что в нём для любого  имеет место одно из двух условий:

1) ;

2)  - максимальная подгруппа в . He теряя общности, мы можем считать, что все члены ряда (2) различны. Заметим, что поскольку  то

Итак,  - -субнормальная подгруппа в . Понятно также, что если  - -субнормальная подгруппа в , то  - -субнормальная подгруппа в . Таким образом,  - подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .

Класс групп называется гомоморфом, если он содержит все гомоморфные образы всех своих групп. Гомоморф конечных групп  называется формацией, если каждая конечная группа  обладает наименьшей по включению нормальной подгруппой (обозначаемой символом ) со свойством .

Лемма 3.1 Пусть  - формация, . Тогда

Доказательство. Пусть . Тогда

Отсюда следует, что . С другой стороны, поскольку  - гомоморф, то

Откуда получаем . Из  и  следует равенство .

Лемма доказана.

Пример 10. Пусть  - некоторый класс конечных групп и  - формация. Пусть для любой группы  

Покажем, что  - подгрупповой  - функтор.

Действительно, пусть  и . Тогда , и поэтому, согласно лемме 3.1, мы имеем

Следовательно, . Аналогично, если , то . Следовательно,  - подгрупповой -функтор. Для обозначения такого функтора мы применяем запись .

Пример 11. Для каждой группы  через  обозначим совокупность всех абнормальных максимальных подгрупп из . Понятно, что  - подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .

4. Решетки подгрупповых функторов

Аспект применения подгупповых функторов состоит в сопоставлении группе некоторой решетки подгупповых функторов свойства которой тесно связаны со свойствами самой группы. Это позволяет использовать строение группы в зависимости от условий налогаемых на соответствующую решетку подгупповых функторов.

Следует отметить также, что используя понятие подгуппового функтора можно строить новые типы решеток, что указывает на полезность этого понятия и для теории решеток.

Пусть  - некоторый класс групп. Будем говорить, что  - ограниченный класс, если найдется такое кардинальное число , что для всех  имеет место . Везде в дальнейшем мы предполагаем, что  - некоторый ограниченный класс групп.

Обозначим через,  множество всех подгрупповых -функторов, а через  - множество всех замкнутых подгрупповых -функторов. На множестве  введем частичный порядок , полагая, что  имеет место тогда и только тогда, когда для любой группы  справедливо .

Для произвольной совокупности подгрупповых -функторов  определим их пересечение   для любой группы . Понятно, что  - нижняя грань для  в . Мы видим, что  - полная решетка с нулем  и единицей . Понятно, что функтор , где  для всех , является верхней гранью для  в .

Заметим, что если  - произвольный набор замкнутых подгрупповых -функторов, то, очевидно,  - замкнутый подгрупповой -функтор. А поскольку замкнутым является и функтор , мы видим, что  также является полной решеткой.

Оказывается, что свойства таких решеток тесно связаны со свойствами групп, входящих в . Отметим, например, что если  содержится в классе конечных групп, то решетка  является цепью тогда и только тогда, когда для некоторого простого числа  класс  состоит из элементарно-абелевых -групп. С другой стороны, решетка  является цепью тогда и только тогда, когда все группы из  являются -группами. Покажем, что в общем случае  не является подрешеткой в . Для этого достаточно установить, что если  - класс всех конечных групп и ,, где  и  - различные простые числа, то функтор  не является замкнутым. Пусть , где  - группа порядка , a  - группа порядка . Понятно, что  и . Таким образом, если бы функтор  был бы замкнутым, то мы бы имели  Но, как нетрудно заметить, во множество  входят лишь такие подгруппы  из  для которых имеет место одно из двух:   или  . Это означает, что . Следовательно, функтор  не является замкнутым.

5. Классы групп с заданными решетками подгрупповых функторов

Сопоставляя классу конечных групп  решетки  и  можно изучать свойства групп из  в зависимости от свойств решеток  и .

Лемма 20.6. Пусть  - подгрупповой функтор и  - группа. Если  и , тогда .

Доказательство. Если  - канонический эпиморфизм  на , то

Так как  мы видим по определению подгрупповых функторов, что .

Лемма доказана.

Пусть  - элемент группы . Тогда если для некоторого натурального числа  имеет место , то наименьшее натуральное число  с таким свойством называется порядком элемента . Говорят, что  - группа экспоненты , если каждый ее неединичный элемент имеет порядок .

Пусть  - простое число. Тогда группа  называется элементарно абелевой -группой, если  - абелева группа экспоненты .

Лемма 20.7. Пусть ,  - элементарно абелевы -группы с . Тогда  имеет подгруппу  такую, что .

Доказательство. Нам необходимо рассмотреть лишь случай, когда  - бесконечная группа.

Пусть  и , где  для всех  и . Пусть  - подмножество в  такое, что . И пусть , где  и . Тогда ясно, что

Следовательно, .

Лемма доказана.

Напомним, что класс групп называется наследственным, если он содержит все подгруппы всех своих групп. Класс групп называется конечным многообразием, если он наследственен, является гомоморфом и содержит прямое произведение (с конечным числом сомножителей) любых своих групп.

Пусть  - простое число, делящее порядок группы . Подгруппа  группы  называется силовской -подгруппой в , если  и  - степень числа . Известная в теории групп теорема Силова утверждает, что для любого простого числа  в любой конечной группе  с    имеется силовская -подгруппа. Конечная группа  называется -группой, если ее порядок является степенью числа .

Обозначим через  - класс всех конечных абелевых групп. Ввиду теоремы

Теорема. Пусть  - такой набор конгруэнций -алгебры A, что . Пусть  прямое произведение факторалгебр  и

Тогда  - мономорфизм алгебры  в алгебру  и  входит подпрямо в ., класс  является формацией. Обычно вместо  пишут . Подгруппа  называется коммутантом группы . В теории групп хорошо известно, что если  - конечная -группа, то . Легко проверить, что если , то

Теорема 20.8. Пусть  - конечное многообразие локально конечных групп, причем каждая группа из  либо счетна, либо конечна. Тогда в том и только в том случае решетка  является цепью, когда существует такое простое число , что каждая группа в  является элементарно абелевой -группой.

Доказательство. Мы сначала предположим, что каждая группа в  является элементарно абелевой -группой. Тогда для каждого кардинального числа , мы полагаем  (см. пример 20.2). Понятно, что  влечет, что . Для доказательства того, что  является цепью нам необходимо только показать, что для любого подгруппового функтора  со свойством  найдется кардинальное число  такое, что

Предположим, что  для всех кардинальных чисел . Тогда . Поскольку , то найдется группа  такая, что для некоторой ее подгруппы  мы имеем . Пусть . Поскольку , найдется группа  такая, что для некоторой ее подгруппы  мы имеем . По лемме 20.6, мы видим, что для всех подгрупп  из , удовлетворяющих условию , мы имеем . Следовательно, . Используя лемму 20.7, мы видим, что имеется подгруппа  в группе  такая, что

Но , и поэтому . Если  - канонический эпиморфизм, который отображает  на , то , и поэтому . Это противоречие показывает, что для некоторого кардинального числа  имеем место .

Так как  и так как каждая группа в  - либо конечна, либо счетна, то найдется натуральное число  такое, что . Пусть  - наименьшее натуральное число такое, что . Мы покажем, что . Предположим, что  и пусть  - группа из  такая, что . В этом случае пусть . Тогда . Теперь, по выбору числа , мы имеем . Это означает, что найдется группа  такая, что  для некоторой подгруппы  из  с . Пусть  - подгруппа в  такая, что  и . Тогда . Так как , мы имеем , и поэтому . Но тогда , и поэтому , противоречие. Следовательно  Значит, .

Теперь мы предположим, что решетка  является цепью. Пусть  и  - конечная группа. Предположим, что порядок  группы  делится по крайней мере на два простых числа  и . Пусть

И пусть  - силовская -подгруппа в  и  - силовская -подгруппа в , соответственно. Тогда

Значит,  и . Это показывает, что  не является цепью, что противоречит нашему предположению. Следовательно, найдется такое простое число , что каждая конечная группа из  является -группой.

Мы теперь покажем, что каждая группа в  является абелевой. Предположим, что это не так и пусть  - неабелева группа в . В этом случае некоторая ее подгруппа , порожденная элементами , является конечной неабелевой -группой. Так как по условию класс  является наследственным, то . Пусть  , где  - класс всех абелевых групп. Поскольку , то , и поэтому . Следовательно, мы имеем . Теперь пусть  где . И пусть  - коммутант подгруппы , . Тогда  и ясно, что . Значит, . Но поскольку , мы имеем . Таким образом,  не является цепью. Полученное противоречие показывает, что каждая группа в  является абелевой. Аналогично можно показать, что экспонента каждой группы из  делит число .

Теорема доказана.

Пересечение всех конечных многообразий, содержащих данную группу , называется конечным многообразием, порожденным . Из теоремы 20.8 вытекает

Теорема 20.9. Пусть  - конечная группа и  - конечное многообразие, порожденное . Тогда в том и только в том случае  является элементарной абелевой -группой, когда решетка  является цепью.

Пусть  и  - подгрупповые -функторы. Определим произведение  при помощи следующего правила

Понятно, что подгрупповой -функтор  является замкнутым тогда и только тогда, когда . Мы используем символ  для обозначения произведения , в котором имеется  сомножителей.

Пусть  - произвольное непустое множество простых чисел. Подгруппа  группы  называется -холловской, если ее индекс  в  не делится ни на одно число из , а среди простых делителей ее порядка  нет ни одного не входящего в . Символом  обозначают множество всех простых чисел, отличных от .

Конечная группа  называется нильпотентной, если выполняется одно из эквивалентных условий:

а) все силовские подгруппы нормальны в ;

б) все максимальные подгруппы (т.е. коатомы решетки ) нормальны в .

Лемма 24.9 Пусть  - наследственный гомоморф конечных групп. Пусть  - замкнутый подгрупповой функтор на  Пусть  - нильпотентная группа в  и  Предположим, что , где  - простое число. Пусть  - нильпотентная группа в  такая, что  и  Тогда

Доказательство. Пусть  - холловская -подгруппа в  и  Предположим, что  Тогда

и поэтому , где  - силовская -подгруппа в . Тогда  противоречие. Следовательно,  и поэтому найдется максимальная подгруппа  в  така1я, что  и . Так как  - нильпотентная группа, то  и поэтому согласно лемме 24.6, мы имеем  Теперь мы докажем, что  Если  то по определению подгруппового функтора мы сразу имеем . Пусть  и пусть  - максимальная подгруппа в  такая, что  Тогда  и так как

Так как  мы видим, что  и поэтому  Следовательно, . Если  где  - максимальная подгруппа в  то  Но  и поэтому мы видим, что  Лемма доказана.

Лемма 24.10 Пусть  - наследственный гомоморф конечных нильпотентных групп и  Пусть  Если  - идемпотент в , удовлетворяющий условию  и , где  тогда

Доказательство. Предположим, что  Тогда найдется группа  с  Мы можем предполагать, что  - группа минимального порядка с этим свойством. Следовательно,  содержит подгруппу  такую, что , но  Ясно, что  Пусть  - максимальная подгруппа в  такая, что  и пусть  Так как  для каждого , мы имеем  Понятно, что  и поэтому  Так как группа  нильпотентна, то  и поэтому по лемме 24.6,  Так как  мы видим, что  для всех  Следовательно,  и поэтому по выбору группы , мы имеем  Так как по условию  то найдется такая группа , что для некоторой ее подгруппы  мы имеем  и  Используя теперь лемму 24.9, мы видим, что  и поэтому

Полученное противоречие показывает, что  Но согласно нашему предположению, мы имеем  Следовательно,

Пусть  - решетка. Подмножество  называется антицепью в  если для любых различных элементов  и  из , мы имеем  и  Если  - антицепь в  такая, что  для любой другой антицепи , тогда кардинальное число  называется шириной решетки .

Если  - произвольная совокупность групп, то символом  обозначается множество всех простых делителей порядков групп из .

Теорема 24.11 Пусть  - конечное многообразие групп. И пусть каждая группа в  конечная. Тогда ширина  решетки  всех идемпотентов в  конечна и  в том и только в том случае, когда  состоит из нильпотентных групп и

Доказательство. Прежде мы предположим, что формация  нильпотентна и , где  Пусть  Предположим, что имеется замкнытый функтор  в  такой, что  и  для  Мы покажем, что  Действительно, если , тогда найдется группа  такая, что для некоторой подгруппы  из , мы имеем  Мы можем считать, что  - группа минимального порядка с этим свойством. Понятно, что  Пусть  - такая максимальная подгруппа в , что . Согласно условию, класс  является наследственным. Следовательно, , и поэтому ввиду выбора группы , мы имеем  Пусть  Так как  то найдется группа  такая, что  Таким образом, для некоторой подгруппы  мы имеем  и поэтому по лемме 4.9,  Это означает, что  противоречие. Следовательно,  Значит, если  - замкнутый функтор в  и  то для некоторого  мы имеем  По лемме мы видим, что ширина  решетки  равна

Теперь мы предположим, что ширина  решетки  конечна и  Пусть  Если  и  тогда  и  и поэтому  Это означает, что  - конечное множество. Теперь мы покажем, что  - класс нильпотентных групп. Предположим, что  имеет ненильпотентную . Пусть  и пусть  - силовская -подгруппа в . Тогда  Так как  - ненильпотентная группа, то для некоторого  имеет место . Хорошо известно (см., например, [], теорема), что  не является субнормальной подгруппой в , и поэтому  где  (см. пример 21.4). С другой стороны, мы видим, что  и поэтому  Это показывает, что  антицепь  с  противоречие. Таким образом,  - формация, состоящая из нильпотентных групп. А по лемме 4.10,  Теорема доказана.

Заключение

Отметим, что теория подгрупповых функторов уже нашла много примениний при иследовании внутреннего строения конечных групп [1, 2, 3, 4]. Но еще один аспект применения подгупповых функторов состоит в сопоставлении группе некоторой решетки подгупповых функторов свойства которой тесно связаны со свойствами самой группы. Это позволяет использовать строение группы в зависимости от условий налогаемых на соответствующую решетку подгупповых функторов.

Следует отметить также, что используя понятие подгуппового функтора можно строить новые типы решеток, что указывает на полезность этого понятия и для теории решеток.

Список использованных источников

[1] Скиба А.Н. Алгебра формаций. - Мн.: Беларуская навука, 1997.

[2]Скиба А.Н. Решетки и универсальные алгебры. Учебное пособие. - Гомель: Гомельский гос. ун--т, 2002.255 с.

[3] Селькин М.В. Максимальные подгруппы в теории классов конечных групп. - Мн.: Беларуская навука, 1997.

[4] Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы в теории классов конечных групп. - Гомель: Гомельский гос. ун--т, 2001.238 с.

[5] Монахов В.С. Введение в теорию групп. Тексты лекций по курсу "Алгебра и теория чисел". - Минск: Белорусский гос. ун--т, 1990.72 с.

[6] Холл М. Теория групп. - М.: ИЛ, 1962.468 с.

[7] Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. - М.: Наука, 1989.253 с.