Вычисление электрической энергии и электрических сил

Описание:
Тип работы: статья
Полная энергия заряженной системы состоит из собственных энергий тел системы Wown, i и энергий взаимодействия каждого из тел со всеми остальными Wint, i, all.
Доступные действия
Введите защитный код для скачивания файла и нажмите "Скачать файл"
Защитный код
Введите защитный код
Нажмите на изображение для генерации защитного кода

Текст:

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Полная энергия заряженной системы определяется как

W = frac{1}{2}int varphi { m d}q

 (24)

Она состоит из собственных энергий тел системы Wown, i и энергий взаимодействия каждого из тел со всеми остальными Wint, i, all. При необходимости можно разбить Wint, i, all на энергии попарного взаимодействия Wint, i, j. Для вычисления собственной энергии i-го тела при интегрировании учитывается только им создаваемый потенциал, а для нахождения Wint, i, all - напротив, потенциал всех тел, кроме i-го:

W =

sumlimits_iW_{own,i}+sumlimits_{i} W_{int,i,all} = sumlimits_iW_{own,i}+sumlimits_{i,j} W_{int,i,j} =

 (25)
=

frac{1}{2}sumlimits_iint varphi_i { m d}q_i + frac{1}{2}sumlimits_iint varphi_{all,except i} { m d}q_i =frac{1}{2}sumlimits_iint varphi_i { m d}q_i + frac{1}{2}sumlimits_{i,j}int varphi_{j} { m d}q_i

При наличии заряженных точек или нитей в местах их нахождения оказывается φ = ∞. Собственные энергии таких объектов и полная энергия - формально - равны ∞, так что рассмотрению подлежат лишь энергии взаимодействия.

В случае двух тел энергия их взаимодействия - это энергия взаимодействия первого тела со вторым Wint, 1, 2 плюс равная ей энергия взаимодействия второго тела с первым Wint, 2, 1:

W_{int} = 2W_{int,1,2} = int varphi_{2} { m d}q_1 = int varphi_{1} { m d}q_2

 (26)

Сила взаимодействия двух тел может быть найдена как сила, действующая со стороны первого тела на второе или (что - с точностью до знака - то же самое) как сила, с которой второе тело действует на первое:

vec{F}_{1 to 2} = int vec{E}_1{ m d}q_2, vec{F}_{2 to 1} = int vec{E}_2{ m d}q_1

 (27)

Здесь vec{E}_1- поле, создаваемое одним первым, а vec{E}_2- одним вторым телом.

Задача. Шар R, равномерно заряженный по объему (ρ0). Найти собственную энергию заряженного шара.

Решение: Мы должны сначала найти потенциал внутри шара, для чего ищем по теореме Гаусса поле:

E_r = frac{1}{4pivarepsilon_0r^2} q_{inside}(r)

 =

frac{1}{4pivarepsilon_0r^2}cdotfrac{4pi ho_0r^3}{3} = frac{ ho_0r}{3varepsilon_0}, r<R
=

frac{1}{4pivarepsilon_0r^2}cdotfrac{4pi ho_0R^3}{3} = frac{ ho_0R^3}{3varepsilon_0r^2}, r>R

Это поле мы интегрируем, получая φ(r) для r

φ(r) =

intlimits_r^{+infty} E_r( ilde{r}) { m d} ilde{r} = intlimits_r^R frac{ ho_0 ilde{r}}{3varepsilon_0} { m d} ilde{r} + intlimits_R^{infty} frac{ ho_0R^3} {3varepsilon_0 ilde{r}^2}{ m d} ilde{r} =

frac{ ho_0(R^2-r^2)}{6varepsilon_0} + frac{ ho_0R^2}{3varepsilon_0} = -frac{ ho_0r^2}{6varepsilon_0}+frac{ ho_0R^2}{2varepsilon_0}

Имея потенциал и записав dq как

dq = ρ0 r2dr sinθdθ dφ

можно найти энергию шара непосредственным интегрированием:

Wown =

frac{1}{2}intlimits_0^Rintlimits_0^{2pi} intlimits_0^{pi} varphi(r) ho_0 r^2{ m d}r sin heta{ m d} heta { m d}varphi = 4pi frac{1}{2}intlimits_0^R varphi(r) ho_0 r^2{ m d}r =

2picdotleft(-intlimits_0^R frac{ ho_0r^2}{6varepsilon_0} ho_0 r^2{ m d}r + intlimits_0^Rfrac{ ho_0R^2}{2varepsilon_0} ho_0 r^2{ m d}r ight) =

-frac{2pi ho_0^2R^5}{30varepsilon_0} + frac{2pi ho_0^2R^5} {6varepsilon_0} = frac{4pi ho_0^2R^5}{15varepsilon_0}

Эта энергия совпадает с полной энергией, поскольку система состоит только из одного тела.

Задача. Точечный заряд q находится на расстоянии l от проводящей плоскости. Найти энергию и силу взаимодействия заряда со своим изображением.

Ответ: W_{int}=-frac{q^2}{8pivarepsilon_0l}, vec{F} = -frac{q^2}{16pivarepsilon_0l^2} vec{k}, vec{k} ot плоскости.

Задача. Длинная нить расположена на оси кольца R и упирается в его плоскость. И нить, и кольцо заряжены равномерно с плотностью λ0. Найти силу их взаимодействия.

Решение: Требуемая в задаче сила может быть найдена либо путем интегрирования заряда нити с полем кольца, либо путем интегрирования заряда кольца с полем нити:

vec{F} = int vec{E}_{ring}{ m d}q_{wire} = int vec{E}_{wire}{ m d}q_{ring}

Мы осуществим оба эти способа. Введем систему координат с началом в центре кольца так, чтобы кольцо оказалось лежащим в плоскости xy, а нить - вдоль оси z, занимая область координат z>0. Тогда

dqwire = λ0dz, dqring = λ0Rdφ

Поле кольца в точке (0, 0, z) находится посредством интегрирования закона Кулона (Раздел 1), которое в итоге даёт:

vec{E}_{ring} = frac{lambda_0}{2varepsilon_0}cdot frac{zvec{k}}{(R^2+z^2)^{3/2}}

Поле, создаваемое нитью в точке (Rcosφ, Rsinφ, 0), будет равно:

vec{E}_{wire} = frac{lambda_0}{4pivarepsilon_0R} left([cosvarphi vec{i}+sinvarphi vec{j}]-vec{k} ight)

После этого проводим интегрирование с целью нахождения силы:

vec{F}_{ring to wire}hspace{-0.4cm}

 =

int vec{E}_{ring}{ m d}q_{wire} = intlimits_0^{+infty} frac{lambda_0} {2varepsilon_0}cdotfrac{zvec{k}}{(R^2+z^2)^{3/2}} lambda_0 { m d}z = frac{lambda_0^2vec{k}}{2varepsilon_0}

vec{F}_{wire to ring} hspace{-0.4cm}

 =

int vec{E}_{wire} { m d}q_{ring} = intlimits_0^{2pi} frac{lambda_0}{4pi varepsilon_0R}left([cosvarphi vec{i}+sinvarphi vec{j}]- vec{k} ight) lambda_0 R { m d}varphi = -frac{lambda_0^2vec{k}}{2varepsilon_0}

Как и должно быть, сила, действующая со стороны кольца на нить vec{F}_{ring to wire}, с точностью до знака равна силе, действующей со стороны нити на кольцо vec{F}_{wire to ring}- в соответствии с третим законом Ньютона.

Список литературы

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://edu.ioffe.ru/r

Информация о файле
Название файла Вычисление электрической энергии и электрических сил от пользователя z3rg
Дата добавления 8.1.2012, 23:47
Дата обновления 8.1.2012, 23:47
Тип файла Тип файла (zip - application/zip)
Скриншот Не доступно
Статистика
Размер файла 41.29 килобайт (Примерное время скачивания)
Просмотров 551
Скачиваний 72
Оценить файл