Вычисление емкости

Описание:
Тип работы: статья
Для расчета емкости можно ввести разность потенциалов между обкладками, решить уравнение Пуассона, найти D на обкладках, а затем плотность поверхностного заряда обкладок σ = ± Dn (Dn - это Dx или Dr у обкладки).
Доступные действия
Введите защитный код для скачивания файла и нажмите "Скачать файл"
Защитный код
Введите защитный код
Нажмите на изображение для генерации защитного кода

Текст:

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Для расчета емкости можно ввести разность потенциалов между обкладками, решить уравнение Пуассона, найти D на обкладках, а затем плотность поверхностного заряда обкладок σ = ± Dn (Dn - это Dx или Dr у обкладки). При этом принимается, что поле вне конденсатора отсутствует (иначе неверна связь σ и Dx(r)).

Рассмотрим для примера симметричный (ε = ε(r)) цилиндрический конденсатор. В нем

varphi(r) = varphi(R_1) +frac{varphi_2- varphi_1}{intlimits_{R_1}^{R_2} ilde{r}^{-1}varepsilon^ {-1}( ilde{r}){ m d} ilde{r}}cdot intlimits_{R_1}^r varepsilon^{-1}( ilde{r}) ilde{r}^{-1}{ m d} ilde{r}

 (39)

E_r(r) = -frac{varphi_2-varphi_1}{int limits_{R_1}^{R_2} ilde{r}^{-1}varepsilon^{-1}( ilde{r}) { m d} ilde{r}}cdot varepsilon^{-1}(r)r^{-1}

 (40)
|σ (R1(2))| = |Dr(R1(2))| = ε0ε(R1(2))|Er(R1(2))| (41)

Заряд обкладки равен

|Q| = |σ1(2)|· 2π R1(2)L = |Dr(R1(2))|· 2π R1(2)L (42)

где L - длина конденсатора вдоль оси z. Как видно, R1 или R2 cокращается, после чего можно найти емкость как

С = frac{|Q|}{|varphi_2-varphi_1|} = frac{2pivarepsilon_0L}{intlimits_{R_1}^{R_2} ilde{r}^{-1} varepsilon^{-1}( ilde{r}){ m d} ilde{r}}

 (43)

Аналогичное рассмотрение для декартового и сферического случаев приводит к выражениям:

С = frac{varepsilon_0S}{intlimits_{x_1}^{x_2} varepsilon^{-1}( ilde{x}){ m d} ilde{x}}, С = frac{4pivarepsilon_0}{intlimits_{R_1}^{R_2} ilde{r}^{-2} varepsilon^{-1}( ilde{r}){ m d} ilde{r}}

 (44)

Если имеет место зависимость проницаемости от других координат типа ε(r, z, φ) = f1(r)· f2(z, φ), то приведенные выше формулы верны для малого элемента площади обкладок dzR1dφ, а для нахождения емкости всего конденсатора необходимо произвести интегрирование:

C = intlimits_0^{2pi}intlimits_0^L frac{{ m d}C}{{ m d}z{ m d}varphi}cdot {{ m d}z{ m d}varphi}

 (45)

Краевыми эффектами во всех случаях пренебрегается.

Задача: Найти емкость цилиндрического конденсатора, а также абсолютную величину заряда обкладок при подаче напряжения U. Радиусы обкладок R1 и R2, а длина L. Диэлектрик, заполняющий конденсатор, однороден, его проницаемость равна ε.

Решение: По формулам для емкости цилиндрического конденсатора

С = frac{2pivarepsilon_0L}{intlimits_{R_1}^{R_2} ilde{r}^{-1}varepsilon^{-1}( ilde{r}){ m d} ilde{r}} = frac{2pivarepsilon_0varepsilon L}{intlimits_{R_1}^{R_2} ilde{r}^{-1}( ilde{r}){ m d} ilde{r}} = frac{2pivarepsilon_0varepsilon L}{ln(R_2/R_1)}{ m d} ilde{r}

получаем заряд:

|Q| = C U = frac{2pivarepsilon_0varepsilon L U} {ln(R_2/R_1)}

Задача. Часть сферического конденсатора (область θ<π/3) заполнена диэлектриком с проницаемостью ε(r) = α/r2, а остальная часть имеет ε(r) = β/r2. Найти емкость, если радиусы обкладок R1 и R2.

Решение: Описанное в задаче изменение проницаемости диэлектрика может быть представлено как varepsilon = f_l(r)cdot f_{ot}( heta)(f_{ot} является при этом кусочной функцией, принимающей значения α и β). Поэтому емкость можно вычислить как:

С =

intlimits_0^{2pi}intlimits_0^{pi} frac{{ m d}C}{{ m d} heta{ m d}varphi}cdot sin heta{ m d} heta{ m d}varphi = intlimits_0^{2pi} intlimits_0^{pi/3}frac{varepsilon_0cdot {sin heta{ m d} heta{ m d}varphi}} {intlimits_{R_1}^{R_2} ilde{r}^{-2} (alpha ilde{r}^{-2})^{-1}{ m d} ilde{r}} +
+

intlimits_{0}^{2pi}intlimits_{pi/3}^{pi} frac{varepsilon_0cdot{sin heta{ m d} heta{ m d}varphi}} {intlimits_{R_1}^{R_2} ilde{r}^{-2}(eta ilde{r}^{-2})^{-1} { m d} ilde{r}} = frac{pivarepsilon_0alpha}{R_2-R_1} + frac{3pivarepsilon_0eta}{R_2-R_1} = frac{pivarepsilon_0cdot(alpha+3eta)}{R_2-R_1}

Задача. В диэлектрике проницаемости ε на расстоянии l от бесконечной проводящей плоскости расположен небольшой металлический шарик радиуса a<< l. Найти емкость системы.

Решение: Для нахождения емкости необходимо, задавшись зарядом шарика q, найти разность потенциалов между шариком и плоскостью.

Так как шарик очень маленький (a<< l), заряд на его поверхности можно считать равномерно распределенным (искажения его поля, вносимые плоскостью, заметны лишь на большом расстоянии от шарика).

Разность потенциалов можно найти как

U = intvec{E}{ m d}vec{r}

где интеграл берется по любой траектории, соединяющей шарик и плоскость. Разумеется, удобнее взять простейшую траекторию: перпендикуляр, опущенный из шарика на плоскость. Введем ось x по этому перпендикуляру так, что центр шарика имеет координату 0, а плоскость x = l.

Для нахождения поля системы применяется метод изображений. На оси x получается:

E_x(x) = frac{q}{4pivarepsilon_0varepsilon}cdot left(frac{1}{x^2}-frac{1}{(2l-x)^2} ight)

Теперь записываем разность потенциалов:

U = intlimits_a^lE_x(x){ m d}x = frac{q}{4pi varepsilon_0varepsilon}left.left(-frac{1}{x}+frac{1}{2l-x} ight) ight|_a^l approx frac{q}{4pivarepsilon_0varepsilon a}

Последнее приближенное равенство получено с учетом условия a<< l. Теперь емкость

C = frac{q}{U} = 4pivarepsilon_0varepsilon a

Список литературы

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://edu.ioffe.ru/r

Информация о файле
Название файла Вычисление емкости от пользователя z3rg
Дата добавления 8.1.2012, 23:46
Дата обновления 8.1.2012, 23:46
Тип файла Тип файла (zip - application/zip)
Скриншот Не доступно
Статистика
Размер файла 50.12 килобайт (Примерное время скачивания)
Просмотров 777
Скачиваний 134
Оценить файл