Властивості лінійних операторів та їх застосування при розв"язанні задач. Матриця лінійного оператора

КУРСОВА РОБОТА

"Властивості лінійних операторів та їх застосування при розв^язанні задач. Матриця лінійного оператора"

Запоріжжя 2010

1.  Поняття лінійного оператора. Алгебраїчні операції над операторами

Нехай  і  два різних лінійних простору над полем комплексних чисел. Відображення , яке ставляє у відповідність кожному вектору  простору  деякий вектор  простору , будемо називати оператором , діючий із  в . Якщо  є образом вектора , то пишуть .

Оператор  називається лінійним, якщо виконуються дві умови:

1.  (властивість адитивності);

2.  (властивість однорідності);

Тут довільно взяті вектори простору , довільно комплексне число.

Позначимо через  множина всіх лінійних операторів, діючих із  в . Два лінійних оператора  і  будемо вважати рівними, якщо для будь – якого вектору  простору . Визначимо тепер операцію додавання із множини  і операцію множення оператора на число. Під сумою двох лінійних операторів  і  розуміють оператор  такий, що для будь – якого вектора  простору

.

Під добутком лінійного оператора  на комплексне число  розуміють оператор  такий, що для любого вектора  простору

Неважко переконатися в тому, що оператори  і  лінійні.

Оператор  називається нульовим, якщо для будь – якого вектору  простору  .

Щоб переконатися, що оператор  лінійний і, як наслідок, належності множині , потрібно показати, що для довільно взятих векторів  простору  мають місце рівності  і . Так як будь – якому вектору простору  оператор  ставить у відповідність вектор , то  . Як наслідок, - лінійний оператор.

Введемо поняття оператора, протилежному лінійному оператору . Оператор –  називається протилежним оператором , якщо . Неважко перевірити, що для довільно взятого оператору  із  і що  лінійний оператор.

Введені на множині  лінійні операції над її елементами (операторами) мають такі властивості:

1.,

2. ,

3. існує один лінійний оператор  такий, що для будь – якого лінійного оператора  із  

4. для кожного оператора  існує єдиний оператор –  такий, що .

Із перелічених властивостей лінійних операцій над елементами множини  випливає, що множина  по відношенню до операції суми операторів є адитивною абелевою групою. Операція множення на число має такі властивості  .

Всі перелічені властивості лінійних операцій над елементами множини  дозволяє стверджувати, що множина  є лінійним простором над полем комплексних чисел. Звідси випливає, що можна ставити питання про розмірність цього простору, про його базиси, підпросторів.

 

2.  Лінійні перетворення (оператори) із простору V в V

 

В подальшому будемо розглядати лінійні оператори, діючі із лінійного простору  в той самий простір. Ці оператори називають також перетвореннями із  в .

Назвемо тотожнім (одиничним) оператор  такий, що для любого вектора  простору . Очевидно, , , для любих . З цього випливає, оператор  – лінійний і, тому, . Неважко упевнитися в тому, що оператор  – єдиний. Дійсно, якщо припустити що, крім тотожного оператора  з , існує ще один тотожний оператор , тоді для будь-якого  будемо мати , , очевидно, , тобто .

Введемо операцію множення операторів. Нехай  та  – два будь-яких лінійних оператора з , а  – довільний вектор простору . Очевидно вектор , тому цей вектор можна привести за допомогою оператора . В результаті вектор  буде перетворений до вектору . Оператор, який приводить довільний вектор  простору  у вектор , називається добутком операторів  та  і позначається так: . За означенням добутку операторів  і   для будь-якого вектору . Легко перевірити, що  , , де  – довільно вибране комплексне число. З цього слідує, що добуток лінійних операторів є лінійним оператором, тобто . Зауважимо, що .

Операції додавання та множення лінійних операторів мають наступні властивості

1) , 3) ,

2) , 4) .

Для ілюстрації способу доведення цих властивостей доведемо властивість . Нехай  – довільний вектор простору . Для довільного вектору  простору за означенням добутку і суми операторів має

Таким чином, , тобто .

Якщо для оператору  можна вказати такий лінійний оператор , що , то оператор  називають оберненим для оператору . Можна показати, що оператор  – єдиний.

Покажемо, що оператор , що має обернений, перетворює ненульовий вектор в ненульовий, тобто якщо , то й . Спочатку доведемо, що . Дійсно, так як  – лінійний оператор, то для будь-якого  . Доведене твердження справедливе для будь-якого лінійного оператора, в тому числі і для оператора, що має обернений, і для оператора . Нехай  і . Так як оператор  має обернений, то , тобто . Якщо припустити, що деякому  відповідає вектор , тоді на основі установлених рівностей  і виходило б, що . А це заперечує початковому фактові, що . З цього випливає, що припущення про те, що для деякого  , невірно, тому для будь – якого  .

Доведемо ще одну властивість оператора , що має обернений. Такий оператор два різних вектора  та  перетворює у два різні вектори  і . Дійсно, якщо припустити противне, що існують такі нерівні один одному  і , для яких , тоді для таких  і   або, що те саме . За умовою оператор  має обернений. За доведеною вище властивістю такого оператора із рівності  випливає, що , тобто . Ми прийшли до протиріччя з тим фактом, що за умовою . З цього випливає, що будь – яким двом різним векторам  і  відповідають різні образи  і .

Оператор  називають взаємно – однозначним, якщо два будь – які різні вектори  і  він перетворює у різні вектори  і . Із наведеного вище випливає, що оператор , що має обернений, є взаємно – однозначним. Для взаємно – однозначного оператора неважко довести таку властивість: якщо , то і . Покажемо, що взаємно – однозначний оператор  лінійно незалежні вектори , , …,  перетворює в лінійно незалежні вектори , , …, . Для доведення цього твердження скористаємося методом «від противного». Припустимо противне, що вектори , …,  – лінійно незалежні. Тоді можна знайти такі не рівню нулю числа,  що . Так як оператор  – лінійний, то .

Звідси за властивістю взаємно-однозначного оператора , тобто вектори , , …,  виявляються лінійно залежними. Протиріччя з умовою ствердження означає, що вектори , , …,  лінійно незалежні.

Із доведеного випливає, що будь-який вектор  простору  має єдиний прообраз  такий, що . Доведемо тільки єдність прообразу вектора . Дійсно, якщо припустити, що вектор  має декілька різноманітних прообразів, наприклад,  і , то виявиться, що . Звідси , маємо , так як оператор взаємно-однозначний. Отже, якщо оператор  – взаємно-однозначний, то кожному вектору  простору  він ставить у відповідність один і тільки один вектор . Звідси випливає, що взаємно-однозначний оператор має обернений.

Підводячи підсумок сказаному вище про властивості оберненого і взаємно-однозначного операторів, сформулюємо наступне твердження.

Теорема 2.1. Для того, щоб лінійний оператор  мав обернений необхідно і достатньо, щоб він був взаємно-однозначним.

Введемо поняття ядра й образу оператора. Ядром лінійного оператора  називають таку множину  векторів простору , що для любого  . Відомо, що будь-який лінійний оператор приводить вектор  в , тобто , тому ядро довільного лінійного оператора не є пустою множиною, так як воно завжди містить оператор .

Теорема 2.2. Якщо  містить єдиний вектор , то оператор  є взаємно-однозначним.

Доведення. Нехай - два довільно взятих вектора лінійного простору. Якщо показати, що , то це буде означати, що оператор  є взаємно-однозначним. Припустимо противне, що знайдуться два вектора  і , такі, що , а . Тоді для цих векторів . За умовою теореми  складається із єдиного вектора , тобто для вектора  і тільки для нього . В силу цього  чи . Ми прийшли до протиріччя з припущенням про те, що . Тому для будь-яких не рівних один одному векторів  і  простору  . Отже, твердження теореми вірне.

Теорема 2.3. Для того, щоб оператор  мав обернений, необхідно і достатньо, щоб .

Доведення цієї теореми основується на теоремах 2.1 і 2.2 про обернений оператор і ядро взаємно-однозначного оператора.

Образом оператора  називається множина всіх векторів простору , кожний з яких має прообраз, тобто якщо , то існує такий вектор , що . Легко побачити, що якщо  містить тільки нульовий вектор, то  є весь лінійний простір : . Дійсно, якщо , то оператор  є взаємно-однозначним. За доведеною вище властивістю взаємно-однозначного оператора кожний вектор  простору  має єдиний прообраз : , так що .

Покажемо тепер, що множина  для довільного лінійного простору  є підпростором лінійного простору . Нехай  і  – два довільно взятих вектори множини . Так як , то . Нехай  – довільне число. Так як , то . Таким чином, лінійні операції над будь-якими векторами множини  дають вектори тієї ж множини, тобто  – підпростір простору .

Аналогічним способом доводиться, що множина  також є підпростором простору .

Розмірність підпростору  називається дефектом оператора. Розмірність підпростору  називається рангом оператора . Для рангу оператора  використовується одне з позначень  або , для позначення дефекту оператора використовується символ .

Теорема 2.4. Для будь-якого лінійного оператора  із сума розмінностей його ядра і образу дорівнює розмірності простору , тобто або .

Теорема 2.5. Нехай  і - два яких-небудь підпростори - мірного простору , причому . Тоді існує такий лінійний оператор , що , а .

Доведення. Нехай - розмірність підпростору , тобто , а  – розмірність підпростору . За умовою теореми . Виберемо базис - мірного простору  так, щоб  векторів  було базисом підпростору . В підпросторі  візьмемо який-небудь базис . Розглянемо лінійний оператор , який перетворює вектори простору  у вектори , а кожний з векторів у нульовий вектор, тобто .

Оператор  довільний вектор  простору  приводить у вектор  , який належить підпростору  простора . Звідси випливає, що , тобто підпростір  містить образ оператора . Щоб довести, що , треба за означенням множини  показати, що будь-який вектор  підпростору , має прообраз у просторі . Розглянутий лінійний оператор  перетворює вектори  простору  у вектори , тому довільно взятий вектор  підпростору  можна представити у вигляді . В силу лінійності оператора и також того, що , вектор  можна представити також і в такій формі:  , де  – довільно вибрані комплексні числа. Останній вираз для довільного вектору  означає, що він є образом вектора  простору . Таким чином, .

Покажемо тепер, що підпростір  є ядром оператора . Нехай  який-небудь вектор підпростору . Так як , то це означає, що вектор  входить в ядро оператора . Звідси випливає, що підпростір . Для доведення того, що треба показати, що будь-який вектор  простору , що не належить підпростору , не може бути елементом ядра оператора . Нехай - вектор простору , який не належить підпростору . Зрозуміло, що хоча б одна із координат  цього вектору не рівна нулю, так як в протилежному випадку . Розглянемо . Так як  лінійно незалежні вектори, а серед чисел  є відмінні від нуля, то . Це означає, що будь-який вектор, що не належить підпростору , не належить і ядру оператора . Отже, .

Теорема 2.6. Нехай  і  – два яких-небудь лінійних оператора із множини , тоді , .

Доведення. Нехай  – довільний вектор простору . Зрозуміло, що . Будь-який вектор  множини  за означенням добутку операторів це вектор . Останній є вектором множини . З цього слідує, що має місце включення . А це означає, що , тобто . Перше твердження теореми доведено.

Доведемо справедливість другого. Нехай  – довільний вектор ядра оператора , тоді , і, тому, . Це означає, що якщо , то , тобто . Звідси випливає нерівність . Позначимо через  розмірність простору . Згідно теореми 2.4 , . Так як , то , тобто .

Теорема 2.7. Нехай  – розмірність простору ,  і  – лінійні оператори із , тоді .

3.  Матриця лінійного оператора

 

Нехай - деякий базис лінійного простору , а  – який-небудь лінійний оператор, діючий із  в . Вектор  оператор  перетворює в вектор . Вектори  простору  розкладемо по векторах базису  цього простору. Побудуємо матрицю  порядку , стовпці якої складені із координат векторів ,

, , .

Матриця  називається матрицею оператора  в базисі .

Приклад. Записати матрицю тотожного і нульового операторів у базисі  простору .

Розв^язок. Тотожний оператор  будь-який вектор простору  приводить в той же самий оператор. Тому . А це означає, що матриця  тотожного оператора буде одиничною в будь-якому базисі простору . Нульовий оператор  будь-який вектор простору  перетворює в нульовий вектор, тому матриця  цього оператора – нульова в будь-якому базисі.

Із сказаного вище випливає, що в обраному базисі -мірного простору  з кожним лінійним оператором  можна зв^язати квадратну матрицю  порядку . Виникає питання: чи можна кожній квадратній матриці  порядку  поставити у відповідність такий лінійний оператор , матриця якого в заданому базисі  простору  співпадає з матрицею ? Стверджувальну відповідь на це питання дає

Теорема 3.1. Нехай  – деяка квадратна матриця порядку . Нехай  – довільний обраний базис -мірного лінійного простору . Тоді існує єдиний лінійний оператор , який у вказаному базисі має матрицю .

Доведення. Розглянемо лінійний оператор , який вектори  базису простору  перетворює у вектори , . У базисі  оператор , очевидно, має матрицю . Залишається довести, що є єдиним оператором з матрицею. Припустимо протилежне, що, крім оператора , існує ще лінійний оператор , маючий матрицю  в базисі . Це означає, що , . Виберемо який-небудь вектор  простору  і розглянемо вектори  і . Маємо  .

Як наслідок, що для будь-якого  . Звідси витікає, що . Теорему доведено.

Теорема 3.2. Нехай  – матриця лінійного оператора  в базисі  простору . Ранг оператора  дорівнює рангу його матриці: .

Доведення. В основі доведення лежать означення рангу оператора і рангу матриці: , ранг матриці  дорівнює рангу системи його стовпців.

Нехай  – який-небудь вектор - мірного простору . Образом вектора  є вектор  . Як бачимо, довільний вектор образу оператора , тобто множини , представляє собою лінійну комбінацію векторів . Отже,  є лінійною оболонкою множини векторів . Відомо, що розмірність лінійної оболонки дорівнює рангові системи векторів, які вони утворюють, тому . За означенням у стовпцях матриці  оператора  розміщені координати векторів  у базисі . Отже, на основі означення рангу матриці . Таким чином, .

Нехай  і  матриці операторів  і  в якому-небудь базисі простору , тоді із способу побудови цих матриць витікає, що матриці операторів  і , де  і  – довільно взяті числа, рівні відповідно  і . Доведемо справедливість першого твердження, як більш складного. Дійсно, стовпці матриці оператора  побудовані із координат векторів  у базисі  простору . Визначимо елементи -го стовпця цієї матриці, тобто координати вектора . Маємо

Звідси видно, що довільний елемент  матриці  оператора дорівнює , тобто дорівнює сумі добутків елементів -го рядка матриці  на відповідний елемент -го стовпця матриці . А це означає, що . Твердження доведено.

Із доведеного твердження і теорем 2.6, 2.7 про ранг оператора  слідує справедливість таких нерівностей для двох добутків квадратних матриць  і  одного порядку .

, ,

Відомо, що необхідною і достатньою умовою існування оберненого оператора для оператора , є умова , де  – розмірність простору . Із теореми 3.2 витікає, що остання умова еквівалентна вимозі: матриця  оператора  повинна бути не виродженою.

Іншими словами, щоб оператор  мав обернений необхідно і достатньо, щоб його матриця в якому-небудь базисі лінійного простору  виявилась не виродженою.

4.  Перетворення матриці оператора при заміні базису

 

Нехай у просторі  обрані два базиси  і . Перший базис для зручності назвемо старим, а другий – новим. Координати векторів  у старому базисі розмістимо у стовпцях матриці

.

Побудована матриця називається матрицею переходу від старого базису до нового. Вектори  лінійно незалежні, тому  і, звісно, матриця  не вироджена.

Згідно сказаному

                       (4.1)

Ці формули зв^язку між векторами старого і нового базисів у матричному записі мають вигляд

,

де  – транспонована матриця .

Теорема 4.1. Матриці  і  оператора  в базисах  і  зв^язані співвідношеннями

,

,

де  – матриця переходу від старого базису  до нового .

Доведення. За означенням матриці оператора

,

де  і  – елементи матриць  і . Замінимо в останній рівності вектори  згідно формулам (4.1), отримаємо

                 (4.2)

З іншого боку

Але

Тому

                     (4.3)

Із двох отриманих виразів (4.2) і (4.3) для вектора виходить, що

У цій рівності вектори  лінійно незалежні, тому коефіцієнти про однакових векторах у лівій і правій частинах рівності мають бути однаковими, отже,

,

Згідно означенню добутку двох матриць звідси витікає матричне рівність . Якщо помножити обидві частини цієї рівності на  праворуч, то отримаємо , якщо помножити на  злів, то будемо мати . Теорему доведено.

Матриці  і  одного й того ж порядку називаються подібними, якщо можна знайти таку не вироджену матрицю  того ж порядку, що . Із цього означення і теореми 4.1 витікає, що матриці оператора  у різних базисах виявляються побідними. Покажемо, що визначники подібних матриць  і  рівні. Дійсно, згадавши, що визначник добутку квадратних матриць дорівнює добутку визначників співмножників, можемо записати

.

Із доведеного твердження виходить, що визначник матриці оператора не змінюється при заміні базису. У зв^язку з цим доречно ввести поняття визначника оператора. Визначником оператора  називають число , рівне визначнику матриці оператора  в якому-небудь базисі простору.

Приклад. Лінійний оператор  діє на вектори базису  наступним чином: . Знайти визначник оператора .

Розв^язок. Матриця оператора  у базисі  має вигляд

,

тобто є верхньою трикутною. Визначник цієї матриці дорівнює одиниці, тому і .

5.  Власні значення і власні вектори оператора

 

Число  називається власним числом лінійного оператора , якщо у просторі  можна знайти такий ненульовий вектор , що

                                                    (5.1)

Будь-який ненульовий вектор, задовольняючий рівності (5.1), називають власним вектором оператора , що відповідає власному значенню .

Рівність (5.1) можна записати по іншому , де  – тотожний оператор. Оскільки  – ненульовий вектор, то зрозуміло, що розмірність ядра оператора  не менше одиниці. Нехай  – розмірність простору , в якому діє оператор . Відомо, що . Звісно,

. Але тоді .

Таким чином, якщо число  є власним значенням оператора , то  є коренем рівняння  (характеристичне рівняння або вікове рівняння оператора ).

Вияснимо, чи всі корені характеристичного рівняння  будуть власними значеннями оператора . Нехай  – який-небудь корінь рівняння, тоді для цього значення  . Це означає, що матриця оператора  буде виродженою у будь-якому базисі простору . Як наслідок, . Так як , то . А це означає, що існую по меншій мірі один ненульовий вектор , такий, що  чи . Таким чином, будь-який корінь характеристичного рівняння  буде власним значенням оператора , тобто вірне твердження.

Теорема 5.1. Для того, щоб комплексне число  було власним значенням лінійного оператора , необхідно і достатньо, щоб це число було коренем характеристичного рівняння .

Нехай  – базис простору  и нехай

,

матриця лінійного оператора  у цьому базисі. Відомо, що матриця тотожного оператора  в будь-якому базисі буде одиничною, тому в розглянутому базисі простору  оператор  характеризується такою матрицею

.

Визначник цієї матриці, тобто , називається характеристичним або віковим визначником оператора . Легко побачити, що добуток елементів головної діагоналі вікового визначника буде многочленом степені , решта членів визначника будуть многочленами степені не вище . З цього видно, що віковий визначник оператора  є многочленом степені . За наслідком з основної теореми алгебри такий многочлен має  коренів, якщо кожний корінь рахувати стільки разів, яка його кратність. Тому число власних значень оператора , діючого в -мірному просторі, дорівнює , якщо кожне власне значення рахувати стільки разів, яка його кратність.

Відомо, що в різних базисах простору  матриці оператора , взагалі-то, різні. У зв^язку з цим виникає питання про пошук такого базису простору , в якому матриця оператора має найпростіший вигляд (найбільше число нульових елементів). Припустімо, що у просторі  існує базис  всі вектори якого є власними векторами оператора , тобто  . У цьому базисі матриця оператора буде мати діагональний вигляд

.

Навпаки, якщо в якому-небудь базисі простору  матриця лінійного оператора  має діагональний вид, то всі вектори базису є власними векторами оператора . Таким чином, доведено наступне твердження.

Теорема 5.2. Для того, щоб матриця лінійного оператора  у базисі  простору  була діагональною, необхідно і достатньо, щоб вектори  були власними векторами оператора . Теорема 5.3. Якщо власні значення  лінійного оператора , діючого в -мірному просторі , різні, тоді відповідні їм власні вектори  лінійно незалежні.

Наслідок. Якщо характеристичне рівняння  має  різних коренів, то у -мірному векторному просторі існує базис, в якому матриця оператора  має діагональний вид.

Якщо оператор  має кратні власні значення, то може виявитися, що максимальна лінійно незалежна сукупність власних векторів оператора  не буда утворювати базис лінійного простору, в якому діє оператор . У зв^язку з цим виникає питання, якими векторами доповнити до базису простору максимальну лінійно незалежну сукупність власних векторів, щоб у цьому базисі матриця мала найпростіший вигляд. Відповідь на це питання дав французький математик Жордан.

Вектор  називається приєднаним вектором оператора , що відповідає кратному власному значенню  цього оператора, якщо можна вказати таке натуральне число , що . Число  називається порядком приєднаного вектора . Нехай  – приєднаний вектор порядку , що відповідає власному значенню . Позначимо через  вектор . Тоді за означенням приєднаного вектора  або . Вектор  виявляється власним вектором оператора . Цю властивість приєднаного вектора можна використовувати при побудові приєднаних векторів за заданим власним вектором .

Теорема 5.4. (теорема Жордана). У -мірному векторному просторі  існує базис , побудований із  власних векторів  і відповідних їм приєднаних векторів, такий, що

, ; , .

У цьому базисі матриця оператора  має наступний вид

,

де - квадратна матриця порядку  (клітка Жордана):

.

Вказана в теоремі 5.4 форма матриці  оператора  називається жордановою або канонічною формою матриці цього оператора.

На кінець відмітимо, що якщо  – власний вектор лінійного оператора , то і вектор , де  – довільно взяте відмінне від нуля число, також буде власним вектором оператора . Дійсно,

.

Приклад 1. З^ясувати, які з перетворень , заданих шляхом завдання координат вектора  як функцій координат вектора , являються лінійними, і в випадку лінійності знайти їх матриці в тому базисі, в якому задано координати векторів  і .

.

Розв^язання: Для того, щоб дізнатись, чи являються лінійними функції координат вектора треба перевірити, чи виконуються наступні дві аксіоми:

Аксіома адитивності: .

Для будь-яких векторів  та  повинно виконуватись

.

.

Аксіома адитивності виконується.

Перевіримо аксіому однорідності:

Так як властивість адитивності і однорідності виконується, тому перетворення  – лінійне.

Приклад 2. З^ясувати, які з перетворень , заданих шляхом завдання координат вектора як функцій координат вектора , являються лінійними, і в випадку лінійності знайти їх матриці в тому базисі, в якому задано координати векторів і .

.

Розв^язання: Для того, щоб дізнатись, чи являються лінійними функції координат вектора треба перевірити, чи виконуються наступні дві аксіоми:

Аксіома адитивності: .

Для будь-яких векторів  та  повинно виконуватись

.

Так як властивість адитивності не виконується, тому перетворення  – не лінійне.

Приклад 3. Показати, що множення квадратних матриць другого порядку а) зліва, б) з права на дану матрицю  являються лінійними перетвореннями простору всіх матриць другого порядку, і знайти матриці їх перетворень в базисі, який складається з матриць:

, , ,

Розв^язання: За означенням матриці лінійного перетворення , . Знаходимо образи базисних векторів і обчислюємо їх координати в заданому базисі:

Розташувавши отримані координати образів за стовпчиками отримаємо матрицю лінійного перетворення:

.

Приклад 4. Лінійне перетворення  в базисі  має матрицю

A=

Знайти матрицю цього ж перетворення в базисі: e, , , +.

Розв^язання: Формула зв^язку між векторами старого і нового базисів у матричному записі має вигляд:

Обернену матрицю знайдемо за допомогою приєднаної:

Підставляємо отримані значення в формулу, отримаємо:

.

Приклад 5. Знайти власні значення і власні вектори лінійного перетворення, заданому в деякому базисі матрицею: .

Розв^язання: Складаємо характеристичне рівняння і розв^язавши його знаходимо власні числа:

Розв^язуємо її методом Гауса, для цього приводимо матрицю до східчастого вигляду:

Складаємо однорідну систему рівнянь для визначення власних векторів:

Оскільки максимальна кількість лінійно незалежних власних векторів менша за вимірність простору, то власні вектори не утворюють базис простору і таким чином матриця не діагоналізуєма.

Приклад 6. З^ясувати, яку з матриць лінійних перетворень можна привести до діагонального виду шляхом переходу до нового базису. Знайти цей базис і відповідну йому матрицю:

Розв^язання: Складаємо характеристичне рівняння і розв^язавши його знаходимо власні числа:

Розв^язуємо її методом Гауса, для цього приводимо матрицю до східчастого вигляду:

A=

Власні вектори мають вигляд: .

 ,

Формула зв^язку між векторами старого і нового базисів у матричному записі має вигляд:

.

Матриця діагоналізована.

Приклад 7. З^ясувати, яку з матриць лінійних перетворень можна привести до діагонального виду шляхом переходу до нового базису. Знайти цей базис і відповідну йому матрицю:

Розв^язання: Складаємо характеристичне рівняння і розв^язавши його знаходимо власні числа:

Розв^язуємо її методом Гауса, для цього приводимо матрицю до східчастого вигляду:

A=

A=

Матриця не може бути діагоналізованою, так як а.к.=г.к.=1.

Висновки

В даній курсовій роботі розглянуто базові властивості лінійних операторів, поняття матриці лінійного оператора та питання зв^язку матриць оператора у різних базисах. Крім того, до роботи включені питання діагоналізіруємості матриці оператора, які пов^язані з існуванням базису, що складається з власних векторів оператора. За усіма розглянутими теоретичними питаннями зроблена підборка задач, яка їх ілюструє та допомагає детально розібратися в теоретичному матеріалі.

оператор вектор лінійний матриця базис

Перелік посилань

1.  Курош А.Г. Курс вищої алгебри. – М.: Наука, 1968. – 331 с.

2.  Кострикін А.И., Манін Ю.И. Лінійна алгебра і геометрія. – М.: Наука, 1986. – 304 с.

3.  Проскуряков І. В. Збірник задач з лінійної алгебри. – М.: Наука, 1974. – 384 с.