Теорема Дирихле

Содержание

Введение. 2

1. Характеры.. 3

1.1 Определение характера. Основные свойства характеров. 3

1.2 Суммы характеров. Соотношение ортогональности. 6

1.3 Характеры Дирихле. 8

2. L-функция Дирихле. 13

3. Доказательство теоремы Дирихле. 29

Введение

Простые числа расположены в натуральном ряде весьма неравномерно.

Целью данной работы является доказательство следующей теоремы о простых числах в арифметической прогрессии.

Теорема Дирихле. Если разность и первый член арифметической прогрессии есть взаимно простые натуральные числа, то она содержит бесконечное множество простых чисел.

Пусть

mn + l, n=1,2, …,

прогрессия, удовлетворяющая условию теоремы.

Условие (m, l)=1, наложенные на числа m и e в формулировке теоремы, естественно, поскольку в случае, когда d=(m, l)>1, все члены прогрессии делятся на d и поэтому не являются простыми числами.

Сформулированная теория была впервые высказана Л. Эйлером в 1783 г. В 1798 г. А. Лежандр опубликовал доказательство для четных m, использовавшее, как выяснилось позднее, одну ошибочную лемму.

Полностью доказал теорему в 1837–1839 гг. Петер Густав Лежен-Дирихле (1805–1859), немецкий математик, автор трудов по аналитической теории чисел, теории функций, математической физике.

В 1837 г. вышли две работы Дирихле, посвященные теореме о простых числах в арифметической прогрессии. Они содержали формулировку теоремы в общем виде, однако доказательство приводилось только для случая, когда разность прогрессии есть простое число. В конце второй работы содержится построение характеров для произвольного модуля и некоторые утверждения о том, как можно доказать утверждение L (1,χ)¹0 для неглавных характеров x в одном случае. В 1839 г. Дилихле опубликовал полное доказательство теоремы о простых числах в арифметической прогрессии. С тех пор она носит его имя.

1. Характеры

1.1 Определение характера. Основные свойства характеров

 

Характером (от греческого хараæτήp-признак, особенность) χ конечной абелевой группы G называется не равная тождественно нулю комплекснозначная функция, определенная на этой группе и обладающая тем свойством, что если, АÎG и BÎG

χ (АВ)= χ (А) χ(В).

Обозначим через Е единичные элементы в группе G и через А^-1 обратный элемент для АÎG

Характеры группы G обладают следующими свойствами:

1. Если Е-единица группы, то для каждого характера χ

χ (Е)=1                          (1.1)

 

Доказательство. Пусть для каждого элемента АÎG справедливо неравенство

c₁(А)=c(АЕ)= c(А) χ (Е)

Из этого равенства получим, что c (Е)¹0. Теперь из равенства

c (Е)= c (ЕЕ)= c (Е) c (Е)=1

следует равенство (1.1)

2. c (А) ¹0 для каждого АÎG

Действительно, если бы χ (А) =0 для некоторого АÎG, то

c (А) χ (А^-1)= c (АА^-1)= χ (Е)=0,

а это противоречит свойству 1.

3. Если группа G имеет порядок h, то А^h=Е для каждого элемента АÎG Следовательно,

1= χ (Е)= χ (А^h)= χ (А)^h,

то есть χ (А) есть некоторый корень степени h из единицы.

Характер χ_1, обладающий свойством χ₁(А)=1 для каждого элемента АÎG, называется главным характером группы G. Остальные характеры называются неглавными.

Лемма 1. Пусть Н подгруппа конечной абелевой группы G, причем G/H – циклическая порядка n, тогда для каждого характера χ_H – подгруппы Н существует ровно n характеров.

Доказательство. Рассмотрим группу G=g^kH, причем gⁿH=H, gⁿÎH и gⁿ=h₁=1.

Для каждого элемента XÎG существует и притом единственное к=к_х и h_х=h такое, что если 0£ к_х k^х h_х=g^kh. Возьмем еще один элемент группы G, Y= g^m h_y, где 0£ m

ХY= g^к+m hh_y.

Определим характер χ (X).

χ (X)= χ (g^к h)= χ (g^к) χ (n)= χ ^к (g) χ _H (h).

В данном выражении неизвестным является χ (g).

χ ⁿ (g)= χ (gⁿ)= χ (h₁)= χ _H(h₁) – данное число.

 

χ (g)= – n корней из 1,

то есть ξ_јⁿ=χⁿ(g)= χ _H(h₁), получаем x^k (g)= ξ_јⁿ. Следовательно, x(g)= ξ₁, …, ξ_n

Из полученных равенств получаем:

χ (X)= χ ^k (g) χ _H(h_x)= ξ_j^kx χ _H (h_x)

χ (Y)= χ ^m (g) χ _H(h_y)= ξ_j^ky χ _H (h_y)

Определим умножение характеров

χ (X) χ (Y)= ξ_j^ky χ _H (h_y) ξ_j^k-x χ _H (h_x)= ξ_j^kx+ky χ _H (h_x) χ _H (h_y)= _j^k+m χ _H (hh_y)

Для того чтобы определение выполнялось, необходимо рассмотреть степень g^kx+kx. Возможны два случая:

1) Если 0£ к_х + k_y

к_х + k_y= k_xy,; h_xh_y = h_xy.

В этом случае определение выполняется.

2) Если n£ к_х + k_y<2n-1, то получим

к_х + k_y = n + k_xy..

Тогда

XY= g ^kx+ky h_xh_y=g^hg^kx+ky-n h_x h_y=g^kx+ky-n h₁h_xh_y

В свою очередь 0£ к_х + k_y – n£n-1 Þ k_x+k_y – n=k_xy, h₁h_xh_y = h_xy.

χ (XY) = ξ_j ^kх+kу χ_н (h_xу) = ξ_j ^{kх + kу – n} χ_н (h₁) χ_н(h_x) χ_н (h_y) = ξ_j^кх ξ_j ^ку ξ_j^{– n} χ_н (h₁) χ_н(h_x) χ_н (h_y) = ξ_j ^кх χ_н (h_1х) · ξ_j ^ку χ_н(h_y) = χ (X) χ(Y).

Лемма доказана.

5. Характеры конечной мультипликативной абелевой группы G образуют конечную мультипликативную абелевую группу Ĝ.

Под произведением двух характеров χ" и х χ"" группы G будем понимать характер х, определяемый следующим свойством:

χ (AB) = χ" (A) χ"" (В)

Для любого элемента АÎG, имеем:

χ (АВ) = χ" (АВ) χ"" (АВ) = χ" (А) χ" (В) · χ"" (А) χ"" (В) = χ(А) χ(В)

Таким образом, получаем χ " χ "" действительно является характером.

Роль единичного элемента группы G играет главный характер χ₁

Обратным элементом G является:

χ₂ (g₁ g₂) =  ==  = χ₂(g₁) χ₂(g₁)

1.2 Суммы характеров. Соотношение ортогональности

Пусть G – конечная мультипликативная абелева группа порядка h. Рассмотрим сумму:

S = ,

где А пробегает все элементы G, и сумму

Т =

где c пробегает все элементы группы характеров Ĝ.

Рассмотрим чему равна каждая из сумм.

а) Если В-фиксированный элемент группы G и А пробегает все элементы G, то АВ также пробегает все элементы группы G. Следовательно,

S·c (В) = c (В) =  =  = S.

Получили Sc (В) = S, откуда следует, что (c (В) – 1)·S = 0. Следовательно, возможны два варианта:

1) S = 0, то c (В) – негативный характер

2) S≠0, то c (В) = 1 для каждого элемента В€G и в этом случае c (В)= c₁(В) есть главный характер и сумма S равна порядку h группы G. Таким образом,

S =  = {                                                  (1.2)

б) Если мы умножим сумму Т на некоторый характер c^ группы Ĝ, то аналогичным образом получим

c^ (А) Т =  c^ (А) =  = Т,

Следовательно,

1) или Т = 0, то А ≠Е

2) или Т ≠ 0, то c^ (А) = 1 для каждого характера c^€ G. В этом случае согласно свойству 3§ 1, имеем А=Е. И тогда Т=h. Таким образом,

Т = = {

 

1.3 Характеры Дирихле

Пусть m – положительное целое число. Определим числовые характеры по модулю m. Мы знаем, что j(m) приведенных классов вычетов по модулю m образуют мультипликативную абелеву группу порядка h=j(m). Мы можем, следовательно, рассмотреть характер этой группы. Но определение характера для приведенных классов вычета по модулю m можно перенести на множество целых чисел следующим образом. Положим

c(а)= c(А), если аÎА,

где А – приведенный класс вычетов по модулю m. Тогда очевидно, c(а)= c(b) (mod m), и c(ab)= c(а) c(b), если (а, m)=(b, m)=1. Поскольку c(А)¹0 для каждого приведенного класса вычетов А, то c(а)¹0, если (a, m)=1.

Это определение применимо только к целым числам а, которые взаимно просты с m.

Мы можем рассмотреть его на все целые числа, положив

c(а)=0, если (a, m)>1.

Следовательно, характер по модулю m есть арифметическая функция c, обладающая следующими свойствами:

c(а)= c(b), если с=b (mod m)

c(ab)= c(a) c(b) для всех целых a и b

c(а)=0, если (a, m)>1

c(а)¹0, если (a, m)=1

Имеется точно j(m) – количество характеров по модулю m, где j(m) – количество положительных целых чисел, не превосходящих m и взаимно простых с m. Они образуют мультипликативную абелеву группу приведенных классов вычета по mod m. Единичным элементом этой группы будет главный характер c_1, то есть такой характер, что c₁(а)=1, если (а, m)=1. Далее имеем следующее соотношение ортогональности:

= {

= {

 

Пусть m – положительное целое число. Определим числовые характеры по модулю m. Комплекснозначная функция, определенная для всех целых чисел n, называется числовым характером или характером Дирихле по модулю m, она удовлетворяет следующим условиям:

а) c (n) = 0 тогда и только тогда, когда (n, m) ≠ 1

б) c (n) периодична с периодом m

в) для любых чисел а и b

c (аb) = c (а) c (b)

Функция

c₁(n) = {

является числовым характером и называется главным характером. Остальные числовые характеры по модулю m называются неглавными.

Имеет место следующее утверждение о числовых характерах.

Теорема 1 Существует равно φ(m) числовых характеров по модулю m. Если c = c (n) – числовой характер по модулю m, то:

1) для n, взаимно простых с модулем m, значения c (n) есть корень из 1 степени φ(m).

2) для всех n выполняется неравенство /c (n)/ ≤1

3) Имеет место равенство

{

4) Для каждого целого числа n

 = {

Доказательство. Пусть c (n) – некоторый числовой характер по модулю m. Из пункта б) определения следует, что c (n) задает некоторую функцию c^() = c (n) на мультипликативной группе классов вычетов по модулю m, взаимно простых с m, а именно

c^() = c (n)

Здесь  обозначает класс вычетов по модулю m, содержащий n. Так как c(1) ≠ 0, то c^() не равняется тождественно нулю, а из пункта в) определения числового характера следует, что c^() = c^() = c^ (ab) = c (a) c (b) = c^()c^().

Таким образом, c^() есть характер модультипликативной группы G_m.

Обратно, по каждому характеру c^() группы G_m можно построить числовой характер c (n) по модулю m, положив

{

Установленное соответствие является взаимнооднозначным. И все утверждения теоремы 1 следуют из доказанного выше для групповых характеров применительно к группе G_m, если учесть, что порядок группы G_m равен φ(m), где φ(m) – функция Эйлера.

В дальнейшем требуется еще одно утверждение с числовых характерах. Обозначим для каждого c, c ≥ 1

Где суммирование ведется по всем натуральным числам n, не превосходящим c.

Лемма 2. Пусть c (n) – неглавный характер. Тогда для каждого c, c ≥ 1 справедливо неравенство

/S(x)/

Доказательство. Функция c (n) периодична с периодом m и по теореме з

0, так как c≠ c₁

Поэтому, представив [c] – целую часть числа c – в виде [c]=m1+z, 0£z£m, будет иметь

S(c) =S([c])=q

В виду равенства /c(n)/£1 отсюда получили S(c)£z£m

2. L-функция Дирихле

Пусть х(п) – произвольный характер по модулю m. Рассмотрим ряд

,                (2.1)

члены которого являются функциями комплексного переменного S. В области сходимости он определяет функцию, которая называется L-функцией Дирихле, соответствующей характеру c(n), и обозначается L (s, c).

Лемма 3

1. Если c¹c₁, то ряд (1) сходится в области ReS > 0 и определяемая им функция L (s, c) является аналитической в этой области.

2. Ряд, определяющий L (S, c₁), сходится в области ReS >1. Функция L (S, c₁) является аналитической в области ReS > 1.

Доказательство.

Пусть c(n) – произвольный характер по модулю m, а б – некоторое положительное число. Так как /c(n)/ £ 1, то в области ReS > 1 + б справедливо неравенство

Следовательно, ряд (1) равномерно сходится в области ReS > 1 + б. Определяемая им функция L (S, c) по теореме Вейерштрасса о сумме равномерно сходящегося ряда аналитических функций является аналитической в этой области. Ввиду произвольности 6 это доказывает второе утверждение Леммы.

Для неглавных характеров c(n) потребуется более сложное исследование ряда (1).

Лемма 4 (преобразование Абеля).

Пусть a_n, n=1,2,…, – последовательность комплексных чисел, c>1,

А(c)=

а q(t) – комплекснозначная функция, непрерывно дифференцируемая на множестве 1£t£¥

Тогда

                                              (2.2)

Если же

то

                           (2.3)

при условии, что ряд в левой части равенства сходится.

Доказательство. Положим А(0)=0 и В(х) равным левой части равенства (2.2). Тогда при любом натуральном N

так как А(0)=0. Далее

поскольку функция А(х) постоянна на каждом полуинтервале n£t

пусть х³1 – произвольное число. Положим N=[x]; значит, N£x£N+1. Тогда А(х)=А(N), B(x)=B(N), а

Следовательно,

Тем самым доказано, что равенство (2.2) верно и для нецелых чисел значений х.

Равенство (2.3) получаем из равенства (2.2) переходом к пределу при х®¥. Лемма доказана.

Воспользовавшись леммой 4, получим следующее равенство

                                                  (2.4)

где

функция, введенная Лемме 4.

Для s = p+it из области ReS = s, где s – некоторое положительное число, пользуясь леммой 4, находим

Поэтому интеграл

сходится в области ReS > s. Поскольку в этой области выполняется неравенство

то из равенства (2) следует, что ряд (1), определяющий функцию L (S, x), сходится в области ReS > s. Эти рассуждения справедливы для любого положительного числа s. Значит, ряд (1) сходится в полуплоскости ReS > 0.

Из равенства (2) следует, что в этой полуплоскости для L-функции, соответствующей неглавному характеру c(n), справедливо представление

                        (2.5)

так как

Интеграл, стоящий в правой части равенства (2.5), можно также представить в виде

                    (2.6)

Члены ряда (2.6) являются аналитическими функциями в области ReS >s, что следует из равенств

При этом использовано, что на полуинтервале n£х< n+1 функция S(х) принимает значение S(n). Поскольку

то ряд (2.6) равномерно сходится в области ReS >s. Отсюда, как и выше, получаем, что сумма его, т.е.

является аналитической функцией (по теореме Вейерштраса) в области ReS >s.

Из представления (2.5) следует теперь, что L (S, x) есть аналитическая функция в полуплоскости ReS >s, а ввиду произвольности S – s и b полуплоскости ReS > 0.

Следствие. Пусть c (n) – произвольный характер. Тогда в области ReS > 1 справедливо равенство

            (2.7)

Это следует из того, что ряд (2.1) по доказанному равномерию сходится в области ReS>1+s, где s>0. Следовательно, по теореме Вейштрасса о равномерно сходящихся рядах аналитических функций в этой области ряд (2.1) можно почленно дифференцировать

Поэтому в полуплоскости ReS>1+s выполняется равенство (2.7). Так как в этом рассуждении s-любое положительное число, то равенство (2.7) будет справедливо в полуплоскости ReS>1.

Для L-функций имеет место представление в виде бесконечного произведения по простым числам, аналогичное тождеству Эйлера. Рассмотрим вспомогательную Лемму.

Лемма 5. Пусть функция f(n) вполне мультипликативна и ряд

                                                           (2.8)

абсолютно сходится. Тогда выполняется равенство

                                                  (2.9)

Доказательство. Отметим прежде всего, что /f(n)/<1 при любом натуральном n>1. В противном случае при каждом mÎN

/f(n)^m/=/f(n)/^m³1,

что противоречит сходимости ряда (2.6). Поэтому при каждом простом р ряд

абсолютно сходится, и его сумма как сумма бесконечно убивающей геометрической прогрессии равна (1-f(р))^-1. Кроме этого, в силу абсолютной сходимости, ряды можно перемножить. Перемножая конечное число таких рядов и используя то, что f(n) есть вполне мультипликативная функция, получим

где n_e = p^a … p^as и в сумме в правой части равенства содержатся такие и только такие слагаемые f(n_e), что все просты делители n_e не превосходят х. Следовательно, в разности

остаются те и только те слагаемые f(m_e), для которых у числа m_e имеется хотя бы один простой делитель р>x. Тогда оценим разность

/S-S(x)/£

и из абсолютной сходимости ряда (2.8) следует, что

Это доказывает, что бесконечное произведение (2.7) сходится и выполняется утверждение Леммы.

Лемма 6. Для каждого характера c(n) в области ReS > 1 справедливо представление

Доказательство. Эта лемма является следствием Леммы 5, поскольку функция c(n) вполне мультипликативна, то есть c(АВ)= c(А) c(В), и выполняется неравенство /c(n)/£ 1 по теореме 1.

Следствие 1. В области ReS > 1 для главного характера c₁(n) по модулю m справедливо равенство

                (2.10)

и поэтому функция L (S, c₁) может быть аналитически продолжена в область ReS > 0, где она имеет единственный полюс (первого порядка) в точке S=1.

Действительно, по определению главного характера c₁(n) имеет место равенство

Поэтому

Пользуясь теперь тождеством Эйлера для дзета-функции Римана получаем равенство (2.10). Остальные утверждения легко следуют из этого равенства, поскольку дзета-функция является аналитической в области ReS > 0 с единственным полюсом первого порядка в точке S = 1.

Следствие 2. Для каждого характера c функция L (S, x) не обращается в нуль в области ReS > 1.

Доказательство.

Если s = ReS > 1. то

Пользуясь неравенством для дзета-функции Римана, находим

Получаем:

L (S,c) ≥ > 0

Теперь докажем утверждения, что L – функция, соответствующая неглавному характеру c, точке S =1 отлична от нуля.

Теорема 2. Если c – неглавный характер, то L (1, c)≠0

Для доказательства рассмотрим 2 случая

1. Пусть характер c – комплексное число, не является действительным. Тогда характер c²(n) не является главным. В этом случае доказательство теоремы будет основываться на тех же идеях, что и доказательство отсутствия нулей дзета – функции на прямой ReS=1.

Лемма7. Пусть 0<ч<1, а х – действительное число, тогда выполняется неравенство /(1 – ч)³ (1 – че^ix)⁴ (1 – че^2ix)/^-1 ≥ 1

Доказательство.

Для всех z из круга /z/<1 имеет место расположение

– ln (1 – z) =                            (2.11)

Так как ln(t) = Re lnt, то обозначая М (ч φ), левую часть неравенства (2.11), получим

lnM (ч φ) = 3ln (1 – ч) – 4 ln (1 – чеⁱ⁴) – ln (1 – че²ⁱ⁴) = – 3ln (1-ч) – 4Reln/1 – чеⁱ⁴/ – Reln/1 – че²ⁱ⁴/=rc (3+4e)^inl /1-reⁱ⁴/= (3+4cosnl+2cos2nl)= (2+4cosa+1+cos2a)=1 (1+cosa)²³0

ln=M (r, l)=³0

Следовательно, M (r, l)=³1 доказана.

Из леммы 7 следует, сто при любом действительном S>1 выполняется равенство:

|L³(8, c₁) L⁴(S, c) 4 (S, c⁴) 1 = П (1- )³(1- )⁴(1- )|^-1  (2.12)

Получая в лемме ч = р^-s, т.е.

0< ч = c₁(р)<1

0< р^-s <1

c (р) р^-s = чеⁱ⁴, в силу того что c (р) – комплексное

c (р) р^-s = че²ⁱ⁴

Получаем, что каждый сомножитель в правой части равенства (f) не меньше 1 и, следовательно, при любом S>1 выполняется равенство:

|L³(Sc₁) · L⁴(Sc) L (Sc²)| ≥ 1                                                            (2.13)

Допустим, что для некоторого характера c (c²≠c₁) выполняется равенство

L (1, c) = 0                                                (2.14)

Оценим сверху левую часть неравенства. Из оценки дзета-функции Римана

ξ(S) ≤ , следует, что при S € R, S>1 выполняется неравенство

а) 0 < 4 (S, c₁) =

получили 01)≤

б) Функция L (S, c) разложим в ряд Тейлора

L (S, c) = C_p + C₁ (S – 1) + C₂(S – 1)² +… + C_n(S – 1)ⁿ +…

Предположим, что у нее есть нуль L (1, c) = 1; тогда С₀ = 0

Перепишем разложение L – функции в ряд

L(S^c) = C_к (S – 1)^к + С_к+1(S – 1)^к+1 = (S – 1)¹ (C_к + С_к+1(S -1) +….), где к≥1, С_к ≤ 0, т. к. S>1

| L (S, c)| = |S – 1|^k| C_k + C_k+1(S – 1) +….| ≤ 2 C_k|S – 1)^k, при |S – | < r

Функция L (S, c²) в точке S = 1 не имеет полюса, следовательно не имеет особенности. Это в силу того, что c комплексное и c²≠c₁

Получаем неравенство:

L (S, c²) ≤ C,

При условии | S – 1|< δ

Учитывая все неравенства и оценки

| L³ (S, c) L⁴(S, c) L (S, c²)| = ()³ · 2⁴ |C_k|⁴ (S – 1)^4k· C≥1

Следовательно, это неравенство становится противоречивым, если перейти к пределу при S→1+0. Полученное противоречие показывает, что равенство (2.14) не выполняется.

2. Рассмотрим c – вещественный характер, т.е. принимающий только вещественные значения, несовпадающий с главным характером

Лемма 8. Пусть c – вещественный характер.

Рассмотрим функцию

F(S) = ξ(S) L (S, x)                                                                (2.15)

Докажем, что если Re S>1, то

                                         (2.16)

представляется рядом Дирихле, которого справедливы следующие утверждения:

1) Все коэффициенты а_n ≥ 0

2) при n=k², k € / N(N)/ а_n≥1

3) В области ReS<1 можно почленно дифференцировать, то есть

F ^(k) (S)= (-1)^k(ln n)^k  k=1,2…;                                             (2.17)

4) Ряд (1) в точке S=1/2 расходится.

Доказательство. В области ReS > 1 ряды, определяющие функции S(S) и L (S,c), абсолютно сходятся, поэтому их можно перемножить:

где

                                (2.19)

Пусть - расположение числа n в произведение простых сомножителей. Тогда все натуральные делители l числа n имеют вид

 

поэтому из равенства (14) находим, что

где a_{ni =} 1+ c (p_i)+ … +c^Li (p_i), i=1,…, m                               (2.21)

так как c – вещественный характер, то он может принимать только три значения: 0, 1, -1. Из равенства (2.21) следует, что

                                                       (2.22)

Во всех случаях числа a_ni³0, а значит, и a_n=a_n1 … a_nm³0

Если же число п является полным квадратом, то

N=k²=p_/^2g … p_m ^2g,

и из равенств (2.20) и (2.22) следует, что а_n ³1

При любом s > 0 в области ReS> 1 +s выполняется неравенство

Ряд (2.18) сходится в области ReS > 1. Поэтому по признаку Вейерштрасса ряд (2.16) сходится равномерно в области ReS > 1 + s, а по теореме Вейерштрасса его можно в этой области почленно дифференцировать любое число раз. Следовательно, в области ReS > 1 +s выполняется равенство (2. 17), а в силу произвольности s оно выполняется и в области ReS > 1.

Однако ряд (39) расходится, так как по второму утверждению леммы

Ряд (2.16) при S =  имеет неотрицательные члены. Поэтому, если бы он сходился, то также сходился бы ряд

                                 (2.23)

Следовательно, ряд (2.23) расходится. Лемма доказана.

Переходим непоредственно к доказательству второго случая теоремы. Допустим, что L (1,c) = 0. Тогда полюс дзета-функции будет компенсироваться в произведении S(S) L (S, c) нулем функции L (S, c).

Поэтому функция (2.15) F(S) будет аналитической в области ReS > 0 так как в точке S=1 у F(z) – устраненная особая точка. Следовательно, ее можно разложить в ряд Тейлора в точке S = 2:

                             (2. 24)

радиус сходимости которого не меньше 2 R³2/

Из равенств (2.17), в частности S=2, находим

             (2.25)

В радиусе сходимости будет брать не все S, а только вещественные ReS=s S=sÎ(0,2). Пользуясь разложениями (18) и (19), находим

Члены двойного ряда неотрицательны, поэтому он сходится абсолютно, и в нем можно поменять порядок суммирования. Тогда

Следовательно, ряд (2.16) сходится во всех точках, s < (, 0, 2), и в точке , а это противоречит четвертому утверждению леммы. Поэтому L (S,c)¹0/

Этим завершается доказательство теоремы

По следствию 2 леммы 2 функция  является аналитической в области ReS > 1. Для дальнейшего доказательства теоремы Дирихле нам будет необходимо представление этой функции в виде ряда, аналогичного ряда (2.16).

Лемма. Для каждого характера c(n) в области ReS > 1 справедливо равенство

                (2.26)

Доказательство.

Так как S=s+it имеет место неравенство

получаем, что ряд стоящий в правой части равенства (2.26), абсолютно сходится в области s>1. Умножим этот ряд на ряд определяющий L (S, c). Получили

Предпоследнее равенство имеет место ввиду равенства ), а последнее – по следствию из леммы 3, равенство 2.7.

3. Доказательство теоремы Дирихле

Теорема. Если разность и первый член арифметической прогрессии есть взаимно простые натуральные числа, то она содержит бесконечное множество простых чисел.

Доказательство.

Рассмотрим равенство (2.26), которое справедливое по Лемме в области ReS > 1. Поскольку (n) = 0 для всех n, не являющихся степенями простых чисел, то все отличные от нуля члены ряда в правой части (2.26) имеют вид

где р – простое и k – натуральное числа. Ряд (2.26) абсолютно сходится, следовательно, его можно представить в виде двойного ряда) и, значит, в области ReS > 1

                         (3.1)

Второе слагаемое в правой части этого равенства равномерно ограничено по s в области ReS³3/4. Действительно, если S=p+it, p³3/4, то

Следовательно, при S®1+0 для каждого характера c имеет место равенство

                                                                (3.2)

Здесь и в дальнейшем s ® 1 + o обозначает, что S стремится к 1 по действительной оси справа.

Пусть u – некоторое натуральное число, удовлетворяющее сравнению

              (3.3)

Умножим обе части равенства (3.2) на c(u) и просуммируем получившиеся равенства по всем числовым характерам c. Тогда получим

                   (3.3)

Если простое число р удовлетворяет сравнению р ºl (mod m), то pu ≠ 1 (mod m), и по теореме 1

Если же p≠l (mod m), то pu≠ 1 и по той же теореме

Таким образом, равенство (3.3) можно переписать в виде

                     (3.4)

По лемме 3 и теореме 2 для неглавного характера c функция  является аналитической в точке S = 1. Поэтому для таких характеров при S ®1 + 0 имеем

                                   (3.5)

По следствию 1 леммы 4 функция L (S, c₁) имеет в точке S=1 полюс первого порядка. Значит, при S®1+0

             (3/6)

Учитывая равенства (3.5) и (3.6.) из равенства (26) получаем, что

Так как число u удовлетворяет сравнению (3.3), то (u, m) = 1 и c₀(u)=1. Итак, при S®1+0

                                              (3.7)

Правая часть равенства а (3.7) при S®1+0 имеет бесконечный предел. Значит, сумма, стоящая в левой части этого равенства, имеет бесконечное множество слагаемых. Поэтому существует бесконечное множество простых чисел, удовлетворяющих сравнению

pºe (mod m)

Теорема Дирихле доказана.