Контрольная работа
Дисциплина: Высшая математика
Тема: Таблица производных. Дифференцирование сложных функций
1. Таблица производных
Как известно, большинство функций можно представить в виде какой-то комбинации элементарных функций. Зная, как дифференцируются элементарные функции, можно продифференцировать и их различные комбинации. Поэтому рассмотрим таблицу производных элементарных функций.
1. .
Найдем производную, когда .
Зададим приращение аргументу , что даст
. Так как
, а
,
то
Отсюда и
,
то есть .
Если
, результат тот же.
2. .
Зададим приращение аргументу , что даст
. Так как
, а
, то
.
Отсюда и
, то есть
.
3. .
Зададим приращение аргументу , что даст
. Так как
, а
, то
.
Отсюда и
, то есть
.
4. .
По определению . Будем дифференцировать
как частное:
, то есть
.
5. .
По определению . Будем дифференцировать
как частное:
, то есть
.
6. .
Зададим приращение аргументу , что даст
. Так как
, а
, то
.
Отсюда и
,
то есть . Здесь была использована
формула для второго замечательного предела.
7. .
Для вычисления производной
воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим :
. Значит,
.
8. .
Зададим приращение аргументу , что даст
. Так как
, а
, то
. Отсюда
и
, то есть
.
Здесь была использована формула для одного из следствий из второго замечательного предела.
9. .
Для вычисления производной
воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим :
. Значит,
.
Прежде чем перейти к вычислению
производных от обратных тригонометрических функций, рассмотрим вопрос о
дифференцировании обратных функций вообще. Как было сказано в п. 8.2, для каждого
взаимно однозначного отображения существует обратное отображение, то есть если , то
.
Теорема. Если для некоторой функции существует обратная ей
, которая в точке
имеет производную не
равную нулю, то в точке
функция
имеет производную
равную
, то есть
.
Доказательство. Рассмотрим отношение
приращения функции к приращению аргумента: .
Так как функция
имеет производную,
то согласно теореме 11.2.2 она непрерывна, то есть
,
откуда
. Значит,
.
Воспользуемся данной теоремой для вычисления производных обратных тригонометрических функций.
10. .
В данном случае обратной функцией
будет . Для нее
. Отсюда
,
то есть .
11. .
Так как
, то
.
.
В данном случае обратной функцией
будет . Для нее
.
Отсюда , то есть
.
13. .
Так как
, то
.
2. Производная сложной функции
Пусть дана функция и при этом
. Тогда исходную функцию
можно представить в виде
. Функции
такого типа называются сложными. Например,
.
В выражении аргумент
называется промежуточным
аргументом. Установим правило дифференцирования сложных функций, так как они
охватывают практически все виды существующих функций.
Теорема. Пусть функция имеет производную в точке
, а функция
имеет производную в
соответствующей точке
. Тогда сложная
функция
в точке
также будет иметь
производную равную производной функции
по
промежуточному аргументу умноженной на производную промежуточного аргумента по
, то есть
.
Для доказательства дадим приращение
аргументу , то есть от
перейдем к
. Это вызовет приращение
промежуточного аргумента
,
который от
перейдет к
. Но это, в свою очередь,
приведет к изменению
, который от
перейдет к
. Так как согласно условию
теоремы функции
и
имеют производные, то в
соответствии с теоремой о связи дифференцируемости и непрерывности функции
(теорема 11.2.2) они непрерывны. Значит, если
,
то и
, что, в свою очередь,
вызовет стремление
к нулю.
Составим . Отсюда,
и, следовательно, .
Если функция имеет не один, а два
промежуточных аргумента, то есть ее можно представить в виде
, где
, а
, или
, то, соответственно,
и так далее.
3. Дифференцирование параметрически заданной функции
Выше были рассмотрены производные элементарных функций и указано правило дифференцирования сложных функций, составленных из элементарных. Но существуют и другие способы задания функций, которые также необходимо дифференцировать. Одним из таких способов является параметрическое задание функции, с которым мы уже сталкивались при изучении уравнения прямой линии.
При обычном задании функции уравнение
связывало между собой две
переменных: аргумент и функцию. Задавая
,
получаем значение
, то есть пару чисел,
являющихся координатами точки
. При
изменении
меняется
, точка начинает
перемещаться и описывать некоторую линию. Однако при задании линии часто бывает
удобно переменные
и
связывать не между собой,
а выражать их через третью переменную величину.
Пусть даны две функции: где
. Для каждого значения
из данного промежутка
будет своя пара чисел
и
, которой будет
соответствовать точка
. Пробегая все
значения,
заставляет меняться
и
, то есть точка
движется и описывает
некоторую кривую. Указанные уравнения называются параметрическим заданием
функции, а переменная
– параметром.
Если функция взаимно однозначная и
имеет обратную себе, то можно найти
.
Подставляя
в
, получим
, то есть обычную функцию.
Указанная операция называется исключением параметра. Однако при параметрическом
задании функции эту операцию не всегда делать удобно, а иногда и просто невозможно.
Так, в механике принят способ
изображения траектории точки в виде изменения ее проекций по осям и
в зависимости от времени
, то есть в виде параметрически
заданной функции
Такой способ
значительно удобнее при решении целого ряда задач. В трехмерном случае сюда
добавляется еще и уравнение
.
В качестве примера рассмотрим несколько параметрически заданных кривых.
1. Окружность.
Возьмем точку на окружности с радиусом
. Выражая
и
через гипотенузу
прямоугольного треугольника, получаем:
Это и есть уравнение окружности в
параметрической форме (рис. 3.1). Возводя каждое уравнение в квадрат, отсюда
легко получить обычное уравнение окружности .
Рис. 3.1
2. Эллипс.
Известно, что уравнение эллипса – . Отсюда
. Возьмем две точки
и
на окружности и эллипсе,
имеющие одинаковую абсциссу
(рис.
3.2). Тогда из уравнения окружности следует, что
.
Подставим это выражение в
:
. Значит, уравнение эллипса
в параметрической форме имеет вид
Рис. 3.2
3. Циклоида.
Пусть по ровной горизонтальной
поверхности катится без скольжения окружность с радиусом . Зафиксируем точку O ее соприкосновения с поверхностью в начальный
момент. Когда окружность повернется на угол t, точка O перейдет в точку C
(рис. 3.3). Найдем ее координаты:
Значит, параметрическое уравнение циклоиды имеет вид:
Рис. 3.3
4. Астроида.
Пусть внутри окружности радиуса без скольжения катится
другая окружность радиуса
. Тогда
точка меньшей окружности, которая в начальный момент времени была точкой
соприкосновения с большей, в процессе движения опишет астроиду (рис. 3.4),
параметрическое уравнение которой имеет вид:
Рис. 3.4
Рассмотрев ряд примеров, перейдем теперь к вопросу о дифференцировании параметрически заданных функций.
Пусть функция от
задана параметрически:
где
. Пусть на этом отрезке обе
функции имеют производные и при этом
. Найдем
.
Составим отношение . Тогда
.
Следовательно, . Это и есть правило
дифференцирования параметрически заданных функций.
Литература
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-х томах Т. 1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2006. – 284с.
2. Мироненко Е.С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. – 109с.
3. Никольский С.М., Бугров Я.С. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-Х ТОМАХ Т. 2 Дифференциальное и интегральное исчисление 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2007. – 509с.
4. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. В трех томах. ПОЛИТЕХНИКА, 2003.