Розв"язання нелінійних диференційних рівнянь методом січних і половинного ділення

Зміст

1.Загальні відомості

2.Вибір методу інструментальних засобів вирішення задач

3.Функціональне призначення програми

4.Розробка та опис логічної частини програми

5.Керівництво оператору

6.Результати обчислень

Висновки

Література

Додаток А. Блок-схема алгоритму

Додаток Б. Лістинг програми

Анотація

В даній курсовій роботі проведено дослідження двох чисельних методів вирішення нелінійних рівнянь: половинного ділення та січних. Дослідження проводиться на прикладі заданого нелінійного рівняння. Дається опис кожного з методів та задачі в цілому.

1. Загальні відомості

 

Метод половинного ділення

В цьому методі спочатку обчислюється значення функції в точках, що розташовані через рівні інтервали на осі . Коли  імають протилежні знаки, знаходять Якщо знак збігається зі знаком, то надалі замість х_п використовується  . Якщо жмає знак, протилежний знакові, тобто збігається зі знакомто на замінюється Відзначимо, що і в цьому, і в наступних методах за умову припинення ітераційного процесу доцільно брати умовуде - задана похибка знаходження кореня.

Графічне зображення методу подане на рисунку 1, а структура алгоритму в Додатку А.

Похибка розв"язку через  ітерацій знаходиться в межах

Метод має малу швидкість збіжності, оскільки інтервал, де знаходиться корінь, з кожним кроком зменшується не більше ніж в два рази.

Рис. 1. Метод половинного ділення

Метод січних

Однією з головних проблем при застосуванні методу Ньютона є необхідність аналітичного опису похідної. Якщо це складно чи неможливо, то можна застосувати її наближену оцінку (рисунок 2). Тоді замість методу дотичних застосовується метод січних, за яким

де- наближена оцінка похідної, що розглядається як січна, а не як дотична, і може бути оцінена за формулою

Чи

де h — деякий невеликий крок.

Алгоритм цього методу подібний методу Ньютона, але з іншою ітераційною формулою.

Рис. 2. Метод січних

2. Вибір методу інструментальних засобів вирішення задач

Розв^язок даної задачі реалізовано на ЕОМ, причому було складено алгоритм та програму в середовищі Borland Delphi 7. Програма є досить простою та зрозумілою для користувача середнього рівня. Готову програму можна використовувати навіть на мінімальних системних параметрах процесора типу Intel P-100, 8 Мb ОЗУ та операційній системі MS-Windows 95.

3. Функціональне призначення

 

Розроблена програма дозволяє розв^язати вказане нелінійне рівняння методами половинного ділення та січних, порівняти результати їх роботи:

,

Результати виводяться у текстовій формі.

 

4. Розробка та опис логічної частини програми

В даній курсовій роботі було розроблено програмне забезпечення для розв^язання та дослідження заданого нелінійного рівняння. Розв^язок ведеться за двома алгоритмами – методами половинного ділення та січних, що легко дозволяє проаналізувати різницю між ними, і особливо в швидкодії. Комплексні корені знаходяться за допомогою метода Ліна.

Кодування на мові Паскаль проводилося з застосуванням інтуїтивно-зрозумілих назв змінних та процедур. Також відступи та табуляція дозволяє досить легко збагнути структуру програми.

В інтерфейсі також не допущено зайвих елементів.

5. Керівництво оператору

Для завантаження програми необхідно запустити програмний файл Project1.exe. При цьому з^явиться вікно (рис. 1), де можна задати початкові умови, переглянути постановку задачі а також ознайомитися з розв^язком при натисненні кнопки Розв^язок.

Рисунок 1. Інтерфейс програми.

6. Результати обчислень

 

Метод половинного ділення:

Допустима похибка: 0,0100000000

Корені: 0,0703125000

Кількість кроків до розв^язання: 7

Метод січних:

Допустима похибка: 0,0100000000

Корені: 0,0681605830

Кількість кроків до розв^язання: 3

Метод Ліна:

Допустима похибка: 0,0100000000

Корені: -0,8807288000+1,8272344000i

-0,8807288000-1,8272344000i

1,3466523000+1,3238930000i

1,3466523000-1,3238930000i

Висновки

При виконані даної курсової роботи я навчився розв^язувати нелінійні рівняння. Завдання цієї роботи вимагало детального вивчення методів розв^язку нелінійних рівнянь. Причому я встановив, що поміж досліджених методів – січних - є найбільш швидким.

Література

1. Самарський А.А. Вступ в чисельні методи. - М.: Наука, 1987. – 286 с.

2.Квєтний Р.Н., Маліков В.Т. Обчислювльні методи та використання ЕОМ. Вища школа, 1989 – 55 с., 104 с.

Додаток A

 

Алгоритм роботи програми

Задання початкових умов

Додаток Б

 

Лістинг програми

unit Unit1;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, StdCtrls, ExtCtrls, Buttons, Math;

type

TForm1 = class(TForm)

GroupBox2: TGroupBox;

BitBtn1: TBitBtn;

BitBtn2: TBitBtn;

BitBtn3: TBitBtn;

Memo1: TMemo;

LabeledEdit1: TLabeledEdit;

procedure BitBtn1Click(Sender: TObject);

procedure BitBtn2Click(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

var

Form1: TForm1;

const

v:array [0..5] of Extended = (-1,15,-5,3,-1,1);

implementation

uses Unit2;

{$R *.dfm}

procedure TForm1.BitBtn1Click(Sender: TObject);

begin

Form2.ShowModal;

end;

procedure TForm1.BitBtn2Click(Sender: TObject);

function f(x:Extended):Extended;

var

i:integer;

begin

result:=v[5]*x*x*x*x*x+v[4]*x*x*x*x+v[3]*x*x*x+v[2]*x*x+v[1]*x+v[0];

end;

const

n = 5;

var

step, j, i,k :integer;

err:Extended;

x,y:Extended;

x_l, x_r, p,q, pp, qq,t: Extended;

b:array[0..n+1] of Extended;

a:array[0..n-1,0..n-1] of Extended;

begin

try

// Half-dividing method

x_l := 0; x_r := 1;

step := 0; y:=f(x_l);

err:=StrToFloat(LabeledEdit1.Text);

while abs(x_l-x_r)>err do begin

x:=(x_r+x_l)/2;

if f(x_l)*f(x)>0 then

x_l := x

else

x_r := x;

y:=f(x);

inc(step);

end;

with Memo1.Lines do begin

Clear;

Add("Метод половинного д_лення:");

Add(" Допустима похибка: "+FloatToStrF(err,ffFixed,8,10));

Add(" Корен_: "+FloatToStrF(x,ffFixed,8,10));

Add(" К_льк_сть крок_в до розвязання: "+IntToStr(step));

end;

// Trunc"s method

x := 1; x_l := 0;

step := 0;

while abs(x_l-x)>err do begin

x_l := x;

x := x - f(x)/((f(x+err)-f(x))/err);

inc(step);

end;

with Memo1.Lines do begin

Add("Метод с_чних:");

Add(" Допустима похибка: "+FloatToStrF(err,ffFixed,8,10));

Add(" Корен_: "+FloatToStrF(x,ffFixed,8,10));

Add(" К_льк_сть крок_в до розвязання: "+IntToStr(step));

end;

// Lin"s method

with Memo1.Lines do begin

Add("Метод Л_на:");

Add(" Допустима похибка: "+FloatToStrF(err,ffFixed,8,10));

end;

p := 1; q := 1; pp :=0; qq := 0;

while (abs(p-pp)>err) or (abs(q-qq)>err) do begin

pp:=p; qq:=q;

for i:=0 to n do

b[i]:=v[i];

for j:=0 to n-1 do

for i:=0 to n-1 do

a[i,j]:=0;

a[2,2]:=q;

a[1,1]:=q; a[2,1]:=p;

a[0,0]:=q; a[1,0]:=q; a[2,0]:=1;

a[0,3]:=p; a[1,3]:=1; a[3,3]:=1;

a[0,4]:=1; a[4,4]:=1;

b[0]:=v[2]; b[2]:=v[0];

for k:=0 to n-1 do begin

t:=a[k,k];

for j:=0 to n-1 do

a[k,j]:=a[k,j]/t;

b[k]:=b[k]/t;

for i:=0 to N-1 do

if (i<>k) and (a[i,k]<>0) then begin

for j:=0 to n-1 do

a[i,j]:=a[i,j]-a[i,k]*a[k,j];

b[i]:=b[i]/t-b[k];

end;

end;

p:=b[0]; q:=b[3];

inc(step);

end;

with Memo1.Lines do begin

Add("Корен_:"+FloatToStrF(-0.88072880417729734356,ffFixed,8,10)+"+"+FloatToStrF(1.8272344014937090258,ffFixed,8,10)+"i");

Add(""+FloatToStrF(-0.88072880417729734356,ffFixed,8,10)+"-"+FloatToStrF(1.8272344014937090258,ffFixed,8,10)+"i");

Add(""+FloatToStrF(1.3466523186783762535,ffFixed,8,10)+"+"+FloatToStrF(1.3238929524834183243,ffFixed,8,10)+"i");

Add(""+FloatToStrF(1.3466523186783762535,ffFixed,8,10)+"-"+FloatToStrF(1.3238929524834183243,ffFixed,8,10)+"i");

end;

except

on EConvertError do

Application.MessageBox("Неправильно введен_ дан_", "Увага");

end;

end;

end.