Расчет поля симметричного распределения зарядов в неоднородной среде по теореме Гаусса

Описание:
Тип работы: статья
Рассмотрим пример сферической системы ρ = ρ(r), кроме того, возможно, имеются заряженные сферы (Ri, σi) и/или точечный заряд qc в центре.
Доступные действия
Введите защитный код для скачивания файла и нажмите "Скачать файл"
Защитный код
Введите защитный код
Нажмите на изображение для генерации защитного кода

Текст:

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Рассмотрим пример сферической системы ρ = ρ(r), кроме того, возможно, имеются заряженные сферы (Ri, σi) и/или точечный заряд qc в центре. Помимо этого, ε = ε(r). Согласно теореме Гаусса,

qinside = 4π r2 Dr = 4π ε0ε(r) r2 Er (31)

E_r = frac{1}{4pivarepsilon_0 varepsilon(r)r^2}q_{inside}, P_r = frac{varepsilon(r)-1} {4pivarepsilon(r)r^2}q_{inside}

 (32)

ho

 (33)

При наличии только объемного стороннего заряда ρ

ho

 (34)

В точках разрыва ε(r) (на стыке двух диэлектриков) или qinside(r) (в момент "перехода" через заряженную сферу) соответствующая производная ε"(r) или qinside"(r) имеет разрыв. При этом поверхностный связанный заряд составляет:

sigma

 (35)

Другие значения r проверять на наличие связанного заряда бессмысленно, так как там заведомо σ" = 0.

Задача. Имеются две концентрические заряженные сферы (σ1, R1 и σ2, R2). Найти Er(r), φ(r) и σ ", если пространство между сферами заполнено однородным диэлектриком с проницаемостью ε.

Решение Такая задача, только без диэлектрика между обкладками, уже была решена нами с использованием теоремы Гаусса. Единственным отличием здесь будет связь Dr(r) и Er(r) в области R1

Как и раньше,

qinside = 4π r2 Dr(r)

причем

qinside = 0 при r
4πσ1R12 при R1
4πσ1R12+4πσ2R22 при r>R2

Поле на каждом из участков будет

Er = 0 при r

frac{sigma_1R_1^2}{varepsilon_0varepsilon r^2} { m при} R_1<r<R_2

frac{sigma_1R_1^2+sigma_2R_2^2}{varepsilon_0r^2} { m при} r>R_2

При вычислении потенциала мы должны вычислить intlimits_r^{+infty} E_r( ilde{r}){ m d} ilde{r}. При этом необходимо правильно выписывать Er на каждoм участке:

φ(r) =

intlimits_r^{R_1}0 { m d} ilde{r} +intlimits_{R_1}^{R_2} frac{sigma_1R_1^2}{varepsilon_0varepsilon ilde{r}^2}{ m d} ilde{r} + intlimits_{R_2}^{+infty} frac{ sigma_1R_1^2+sigma_2R_2^2}{varepsilon_0 ilde{r}^2}{ m d} ilde{r} =
=

0+frac{sigma_1R_1^2}{varepsilon_0varepsilon} left(frac{1}{R_1}-frac{1}{R_2} ight) + frac{sigma_1R_1^2+ sigma_2R_2^2} {varepsilon_0}frac{1}{R_2} { m при} r<R_1
φ(r) =

intlimits_{r}^{R_2} frac{sigma_1R_1^2}{varepsilon_0 varepsilon ilde{r}^2}{ m d} ilde{r} + intlimits_{R_2}^{+infty} frac{sigma_1R_1^2+sigma_2R_2^2}{varepsilon_0 ilde{r}^2}{ m d} ilde{r} =
=

frac{sigma_1R_1^2}{varepsilon_0varepsilon}left( frac{1}{r}-frac{1}{R_2} ight) + frac{sigma_1R_1^2+ sigma_2R_2^2} {varepsilon_0}frac{1}{R_2} { m при} R_1<r<R_2
φ(r) =

intlimits_{r}^{+infty} frac{sigma_1 R_1^2+sigma_2R_2^2}{varepsilon_0 ilde{r}^2}{ m d} ilde{r} =
=

frac{sigma_1R_1^2+ sigma_2R_2^2} {varepsilon_0}frac{1}{r} { m при} r>R_2

В некоторых выражениях для φ(r) (но не всюду!) появилась дополнительная величина ε.

Для нахождения σ " на сферах r = R1 и r = R2 нам потребуются значения поляризованности с обеих сторон каждой из сфер:

P_r|_{r=R_1-} = 0

 ,

P_r|_{r=R_1+} = varepsilon_0(varepsilon-1)E_r|_{r=R_1+} = frac{sigma_1(varepsilon -1)}{varepsilon}

P_r|_{r=R_2-} = frac{sigma_1R_1^2(varepsilon-1)} {varepsilon R_2^2}

 ,

P_r|_{r=R_2+} = 0

Нулевые значения появились из-за отсутствия диэлектрика в областях rR2. Сразу же находим sigma и sigma (на других поверхностях никакого связанного заряда нет):

sigma

=

-P_r|_{r=R_1+} = -frac{sigma_1(varepsilon-1)}{varepsilon}

sigma

=

P_r|_{r=R_2-} = frac{sigma_1R_1^2 (varepsilon-1)}{varepsilon R_2^2}

Легко проверить, что суммарный связанный заряд, то есть 4pi R_1^2sigma , равен нулю, как и должно быть.

Задача. Шар радиуса R равномерно заряжен по объему сторонним зарядом ρ. Проницаемость шара ε. Найти Er(r), φ(r), ρ"(r), σ" на краю шара.

Ответ: E_r(r) = frac{ ho_0r}{3varepsilon_0varepsilon}, r<R;  E_r(r) = frac{ ho_0R^3}{3varepsilon_0r^2}, r>R;

left. ight. varphi(r) = frac{ ho_0R^2}{3varepsilon_0}+frac{ ho_0} {6varepsilon_0varepsilon} (R^2-r^2), r<R; varphi(r) = frac{ ho_0R^3}{3varepsilon_0r}, r>R;

left. ight. ho sigma .

Список литературы

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://edu.ioffe.ru/r

Информация о файле
Название файла Расчет поля симметричного распределения зарядов в неоднородной среде по теореме Гаусса от пользователя z3rg
Дата добавления 8.1.2012, 23:46
Дата обновления 8.1.2012, 23:46
Тип файла Тип файла (zip - application/zip)
Скриншот Не доступно
Статистика
Размер файла 37.05 килобайт (Примерное время скачивания)
Просмотров 425
Скачиваний 73
Оценить файл