Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана
Курсовая работа по курсу “Нелинейные САУ”
на
тему:
Применение метода частотных круговых диаграмм к исследованию устойчивости систем с логическими алгоритмами управления.
Выполнил: ст-т гр. АК4-81
Смык В.Л.
Руководитель: профессор
Хабаров В.С.
Реутов 1997 г.
Применение метода частотных круговых диаграмм к исследованию устойчивости систем с логическими алгоритмами управления.
На ранней стадии развития теории автоматического регулирования требование устойчивости работы системы было первым и обычно единственным и содержание большинства теоретических исследований сводилось к иследованию устойчивости.
“Термин “устойчивость” настолько выразителен, что он сам за себя говорит”,-отмечают в начале изложения теории устойчивости Ж. Ла Салль и С. Лефшец [1]. Это вполне справедливо, но, несмотря на это, неточности и нелогичности можно встретить как раз не в математических, а в смысловых понятиях и терминах.
Устойчивостью любого явления в обиходе называю его способность достаточно длительно и с достаточной точностью сохронять те формы своего существования, при утрате которых явление перестает быть самим сабой. Однако не только в обиходе, но и в научной терминалогии устойчивым называют не явление, а систему, в корой оно наблюдается, хотя это не оправдывает логически. Устойчивы ли физические тела - шар или куб? Такой вопрос будет иметь смысл, если речь идет о материале, из которого они сделаны. (Металлический шар
устойчив, шар из дыма нет.) Теорию управления интересует, однако, не эта прочнасная устойчивость. Подразумевается, что система управления как инженерная конструкция заведома устойчива, и в теории изучается устойчивость не самой системы, а ее состояний и функционирования. В одной и той же системе одни состояния или движения могут быть устойчивыми, а другие не устойчивыми. Более того, одно и то же жвижение может быть устойчивым относительно одной переменной и неустойцивым относительно другой - это отмечал еще А.М. Ляпунов [2]. Вращение ротора турбины устойчиво по отношению к угловой скорости и неустойчиво относительно угла поворота вала. Движение ракеты устойчиво относительно траектории и неустойчиво по отношению к неподвижной системе координат. Поэтому нужно оговаривать, устойчивость какого состояния или движения в системе и относительно каких переменных изучается. Так же есть много методов для оценки самой устойчивости. Мы рассмотрим как можно оценить устойчивость системы с логическим алгоритмом управления методом круговых диаграмм.
Рассмотрим теоретическую часть и посмотрим что из себя представляет круговой критерий. Пусть дана система
.
x=Ax+bx, s=c^x, (1)
где x и s - в общем случае векторы (и, следовательно, b и с - прямоугольные
матрицы), а матрица А не имеет собственных значений на линейной оси. Предположим , что для некоторого m, 
£ m £
система (1), дополненая соотношением x=-ms, асимптотически усойчива.
Для абсолютной экпоненциальной устойчивости системы (1) в классе М(
) нелинейностей x=j(s,t), удовлетворяющих условию
£ j(s,t)/s £
(2)
достаточно, чтобы при всех w, -¥ Re{[1+ Круговой критерий вытекает из квадратичного критерия для формы F(x,s)=( F(jw,x)=-Re{[1+ Из этой формулы после сокращения на |x| В (3) Круговой критерий представляет собой распространение линейных частотных критериев устойчивости Найквиста, Михайлова
и других на линейные системы с одним линейным или нелинейным, стационарным или нестационарным блоком. Он получается из (3), если вместо передаточной матрицы
использовать частотную характеристику линейной части W(jw). Обозначая комплексную переменную W(jw)=z, рассмотрим систему с одной нелинейностью,
удовлетворяющей одному из следующих условий: Re[(1+ Re[(1+ Re[z(1+ Пусть С( Круговой критерий обеспечивает также абсолютную устойчивость для системы с любым блоком, вход s и выход x которого удовлетворяют для всех t неравенству ( Рисунок 1, а. Рассмотрим систему, приведенную на рис. 2. 
w)][1+
W(jw)]}>0. (3)
s-x)(x-
s). Действительно, как было показано выше, форма F(jw,x) имеет вид 
W(jw)][1+
W(jw)]}|x|
следует (3).
¹-¥ , 
¹+¥. Случай, когда либо 
=-¥, либо 
=+¥ рассматривается аналогично.
z)(1+
z
)]£0, если 
¹-¥ , 
¹+¥. (4)
z)z
]£0, если 
¹-¥ , 
¹+¥. (5)
z
)]£0, если 
¹-¥ , 
¹+¥. (6)
) - облость комплексной плоскости z, определяемая этими
условиями. Граница В(
) области определяемая уравнениями получаемыми из (4)-(6)
заменой знаков неравенств равенствами. Для (4) получаем окружность, проходящую через точки -1/
, -1/
с центром на оси абсцисс, причем область С
будет внутренностью этой окружности, если 
>0, т.е. если нелинейные характеристики лежат в 1 и 3
квадрантах, и ее внешностью, если сектор (
) захватывает два смежных квадранта. Если одна из границ
сектора совпадает с осью абсцисс, т.е. если 
=0 или 
=0 , то область С будет полуплоскостью, а ее граница - вертикальной прямой, проходящей соответственно через -1/
или -1/
. На рисунке 1 показаны границы в плоскости z для
различного расположения секторов (
) в плоскости s, x. Там же изображены кривые W(jw), w>0 для неособого случая, расположенные так, что возможна абсолютная
устойчивость. Однако только приемлимого расположения хаоактеристик W(jw) еще недостаточно для суждения об абсолютной
устойчивости : кроме этого, нужно еще потребовать, чтобы линейная замкнутоя система была асимптотически устойчивой.
s-x)(x-
s)³0 (7) 
А Х Y
У 
(P) Z
(-) 
G(p)
g
Рисунок 2.
Здесь W
(p) - оператор линейной части системы, которая может иметь в
общем случае следущий вид:
 |
W
(p)=
;
(8)
W(p)=
;
Алгоритм регулятора имеет вид:
y=Y
x,
при gx>0
Y
= (9)
-
при gx<0,
g=(
В форме уравнений Коши рассматриваемая система имеет вид:
=
, 
=-
, (10)
k
при g
>0
где 
=
- k
при g
<0,
g=c
+
; 
=
.
Соответствие записей системы на рис. 2 достигается, когда при
W
(p)=
в уравнениях (10) имеем:
(11)
а при W(p)=
имеем:
(12)
Причем для обоих случаев (11) и (12) имеет место соотношение
(13)
В соответствии с изложенным одинаково справедливо рассматривать в виде структурной схемы на
рис. 2 с известным линейными операторами - 
и G(p) или в виде
формы Коши (10).
Дополнительно отметим, что структурная интерпритация рассматриваемой системы на рис. 2 имеет еще одну структурную схему описания, приведенную на рис. 3.
|x|=c
l g
y z
(-)
x G(p) W(p)
 |
Рисунок 3.
Это означает, что аналитической записи (10) соответствуют два структурных представления исследуемой
СПС, причем второе позволяет рассматривать систему (10) как релейную систему с изменяемым ограничение, когда 
|x| - var.
Далее перейдем к анализу нашего метода.
Согласно частотной теоремы (10), для абсолютной устойчивости системы на рис. 3 лостаточно, чтобы при всех w, изменяющихся от - ¥ до + ¥, выполнялось соотношение:
Re{[1+
w)][1+
W(jw)]}>0,
а гадограф mW(jw)+1 при 
соответствовал
критерию Найквиста.
Для исследуемой системы условие (3) удобнее записать в виде
(4) и (5).
На рис. 4 приведенны возможные нелинейные характеристики из класса М(
) и годографы W(jw),
расположенные таким образом, что согласно (4) и (5) возможна абсолютная устойчивость.
y ^
 |
|||
 | |||
y=
g (
)
 |
|x| y=
g (при 
=0) 
>
0
“а” “б”
 |  |
“в” “г”
Рисунок 4.
В рассматриваемом случае (10) при
W
(p)=
, когда
W(p)= W
(p)G(p), G(p)=
p+1,
годограф W(jw) системы на рис. 5.
j
W(jw)
w=¥
 |
>
<
=
w=0
Рисунок 5.
В случае (10) справедливы графические формы на рис. 4 в,г, т.е. исследуемая система абсолютно устойчива в смысле кругового критерия (3) или (5) при
>
(14)
Интересно заметить, что достаточные условия абсолютной устойчивости по Ляпунову
а > 0 , y(t) > 0
и
a > c
для рассматриваемого случая совпадают с достаточными условиями абсолютной устойчивости, полученными для кругового критерия (14), если выполняется требование
y(t) > 0 (15)
поскольку, согласно (11) и (13) a=a
=
.
Докажем это, используя условия существования скользящего режима
-
k£y(t)=c
k
т.е. подставим сюда вместо коэфициентов а,с, и k их выражения через
, 
, 
, тогда получим
-
£
y(t)=
£
(16)
Согласно рис. 5 и условия (16) получаем:
1) при 
= 
, y(t)=0
2) при 
> 
, y(t)>0
3) при 
< 
, y(t)<0,
что и требовалось доказать.
Теперь рассмотрим нашу систему с логическим алгоритмом управления, ее логическая схема приведена на рис. 6.
|x|=c
l g s z
(-) x
G(p) 
(p) 
 |
 |
Рисунок 6.
В данном случае считаем что:
- варьируемая величина,
=0.5,
=0.1 (анализ поведения системы при изменении данного
параметра исследуется в работе ст-та Новикова, мы берем оптимальное значение),
=0.1,1 (коэффициент обратной связи),
=10,100.
Рассмотрим теперь саму функцию:
W(p)=G(p)W
(p),
где G(p) - функция корректора, W
(p)= 
(p)W
(p), где
(p)=
, а W
(p) в свою очередь будет:
W
(p)=
,
где 
, соответственно вся функция имеет вид:
W(p)=
;
Теперь заменяем p на jw и имеем вид:
;
Для построения гадогрофа выведем формулы для P(w), jQ(w) которые имеют вид:
P(w)=
;
jQ(
;
Графики можно посмотреть в приложении N 2.
Учитывая , что добротность x должна быть ³ 0.5¸0.7 мы можем определить добротность нашей системы, она
примерно равна 0.5. Отсюдо видно, что из-за увеличения 
и 
, x уменьшается, можно сделать вывод, что колебательность
звена увеличиться. Это можно наблюдать на графиках 1.13 - 1.16 в приложении N 2.
Но это не подходит по требованию нашей задачи. Так как 
>
, то можно сделать вывод, что коректор будет влиять только
на высоких частотах, а на низких будет преобладать 
, что можно наблюдать на графиках 1.1 - 1.4. На графиках 1.5
- 1.8 можно наблюдать минемальные значения 
, это значит что, при этих значениях будет максимальные
значения полки нечувствительности релейного элемента.
Минемальные значения полки нечуствительности можно наблюдать на графиках 1.9 - 1.12, особенно при
минемальном значении 
.
Приложение N 1.
Программа для построения годографов на языке программирования
СИ ++.
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
void Godograf(float Tpr, float Ko, float Kos, int Color,
int Xc, int Yc, int x, int y, int z, int err);
void Osi(int Xc, int Yc, int kol);
int xmax, ymax;
float Kos[]={0.1,1.0},
Ko[] ={10.0,100.0},
Tpr[]={0.01,0.09,0.2,0.5};
void main(void)
{
float P_w, Q_w, w;
int driver, mode, err;
driver = DETECT;
initgraph(&driver,&mode,"");
err = graphresult();
if (err!=grOk) {cout<<"nt"< getch();} else { xmax = getmaxx(); ymax = getmaxy(); int Xc=(int)(xmax/2), Yc=(int)(ymax/2); for(int i=0;i<=1;i++) for(int j=0;j<=1;j++) for(int k=0;k<=3;k++){ cleardevice(); setviewport(0,0,xmax,ymax,0); Osi((int)(xmax/2),(int)(ymax/2),i+j+k); Godograf(Tpr[k],Ko[j],Kos[i],15,(int)(xmax/2),(int)(ymax/2),k,j,i,1); setcolor(7); setlinestyle(1,0,1); rectangle(Xc-18,Yc-15,Xc+18,Yc+15); setlinestyle(0,0,1); rectangle(10,Yc+5,250,Yc+205); setcolor(15); setviewport(10,(int)(ymax/2)+5,250,(int)(ymax/2)+205,1); setfillstyle(1,0); floodfill(5,5,7); line(10,100,230,100); line(125,10,125,190); Godograf(Tpr[k],Ko[j],Kos[i],15,125,100,k,j,i,0);}; closegraph(); } } void Godograf(float Tpr, float Ko, float Kos, int Color, int Xc, int Yc, int x, int y, int z, int err) { float P_w1=0.0, Q_w1=0.0, P_w, Q_w, To=0.5, Tg=0.1, P_w_min=0.0; for(float w=0;w<=100;w=w+0.05){ if(((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+ (w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w))!=0){ P_w = (Ko*w*Tg*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)+ (Kos*Ko*Ko-(To+Tpr)*Ko*w*w))/ ((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+ (w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)); Q_w = (Tg*(Kos*Ko*Ko*w-(To+Tpr)*Ko*w*w)- Ko*(w+Tpr*Kos*Ko*Ko*w-Ko*To*Tpr*w*w*w))/ ((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+ (w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)); if (abs(P_w)>abs(P_w1)) P_w1=P_w; if (abs(Q_w)>abs(Q_w1)) Q_w1=Q_w; if (P_w if (P_w1==0) P_w1=P_w1+0.01; if (Q_w1==0) Q_w1=Q_w1+0.01; }; float KmasX =(float)(xmax-Xc-100)/P_w1, KmasY =(float)(ymax-Yc-100)/Q_w1; if (KmasX<0) KmasX=-KmasX; if (KmasY<0) KmasY=-KmasY; if (KmasX>=220) KmasX=150; if (KmasY>=140) KmasY=100; if (err==0) {KmasX=KmasX*4; KmasY=KmasY*4;}; w = 0; if(((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+ (w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w))!=0){ P_w = KmasX*(Ko*w*Tg*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)+ (Kos*Ko*Ko-(To+Tpr)*Ko*w*w))/ ((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+ (w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)); Q_w = KmasY*(Tg*(Kos*Ko*Ko*w-(To+Tpr)*Ko*w*w)- Ko*(w+Tpr*Kos*Ko*Ko*w-Ko*To*Tpr*w*w*w))/ ((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+ (w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)); moveto(Xc+P_w,Yc-Q_w); }; setcolor(Color); setcolor(9); line(Xc+P_w_min*KmasX,10,Xc+P_w_min*KmasX,ymax-10); gotoxy(2,5); printf("K2="); printf("%f",(-1/P_w_min)); setcolor(15); for(w=0;w<=700;w=w+0.05){ if(((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+ (w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w))!=0){ P_w = KmasX*(Ko*w*Tg*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)+ (Kos*Ko*Ko-(To+Tpr)*Ko*w*w))/ ((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+ (w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)); Q_w = KmasY*(Tg*(Kos*Ko*Ko*w-(To+Tpr)*Ko*w*w)- Ko*(w+Tpr*Kos*Ko*Ko*w-Ko*To*Tpr*w*w*w))/ ((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+ (w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)); lineto(Xc+P_w,Yc-Q_w); }; setcolor(13); circle(Xc-KmasX,Yc,2); circle(Xc-KmasX,Yc,1); putpixel(Xc-KmasX,Yc,13); outtextxy(Xc-KmasX-7,Yc-12,"-1"); setcolor(15); if (err==1){ if (x==0) outtextxy(10,10,"Tpr = 0.01"); if (x==1) outtextxy(10,10,"Tpr = 0.09"); if (x==2) outtextxy(10,10,"Tpr = 0.2"); if (x==3) outtextxy(10,10,"Tpr = 0.5"); if (y==0) outtextxy(10,30,"Ko = 10"); if (y==1) outtextxy(10,30,"Ko = 100"); if (z==0) outtextxy(10,50,"Koc = 0.1"); if (z==1) outtextxy(10,50,"Koc = 1.0");} else { char ch=" "; while(ch!=27&&ch!=13) if (kbhit()!=0) ch=getch();}; }; void Osi(int Xc, int Yc, int kol) { setcolor(15); rectangle(0,0,xmax,ymax); line(Xc,10,Xc,ymax-10); line(10,Yc,xmax-10,Yc); line((int)(xmax/2)-3,15,(int)(xmax/2),10); line((int)(xmax/2),10,(int)(xmax/2)+3,15); line(xmax-15,(int)(ymax/2)-3,xmax-10,(int)(ymax/2)); line(xmax-15,(int)(ymax/2)+3,xmax-10,(int)(ymax/2)); settextstyle(2,0,5); outtextxy((int)(xmax/2)+7,10,"jQ(w)"); outtextxy(xmax-35,(int)(ymax/2)+7,"P(w)"); settextstyle(2,0,4); outtextxy((int)(xmax/2)-8,(int)(ymax/2)+1,"0"); settextstyle(0,0,0); if (kol==5) outtextxy(5,ymax-15,""Esc" - exit"); else outtextxy(5,ymax-15,""Enter" - next "); setcolor(15); }; Приложение N 2. Рисунок N 1.1 Рисунок N 1.2 Рисунок 1.3 Рисунок 1.4 Рисунок 1.5 Рисунок 1.6 Рисунок 1.7 Рисунок 1.8 Рисунок 1.9 Рисунок 1.10 Рисунок 1.11 Рисунок 1.12 Рисунок 1.13 Рисунок 1.14 Вставка 1.15 Рисунок 1.16 Литература: 1. Емильянов С.В., Системы автоматического управления с переменной структурой. - М.: Наука,
1967. 2. Воронов А.А.,Устойчивость управляемость наблюдаемость, Москва “Наука”, 1979. 3. Хабаров В.С. Сранительная оценка методов исследования абсолютной устойчивости СПС:
Научн.-исслед. работа. 4. Хабаров В.С. Нелинейные САУ: Курс лекций/ Записал В.Л.Смык,-1997. Список постраничных ссылок: 1. Ла Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова.-М.: Мир,
1964.-168 с. 2. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. - Собр. соч.- М.: Изд-во АН СССР,
1956, т. 2, с. 7-271.
};
};
(zip - application/zip)
Статистика файлового архива
