Преобразования плоскости, движение

Преобразования плоскости

Отображение плоскости на себя

Отображенем плосости на себя называется такое преоброзование, что каждой точке исходной плоскости сопоставляется какая-то точка этой же плоскости, причем любая любая точка плоскости оказывается сопоставленой другой точке.
Если при отображении плоскости на себя фигура F преобразовывается в фигуру
F", то говорят, что фигура F" - образ фигуры F, а фигура F - прообраз фигуры F". Если одним отображением фигура F переводится в фигуру F", а затем фигура F" переводится в фигуру F"", то отображение, переводящее F в
F"" называется композицией двух отображений. Неподвижной точкой отображения называется такая точка A которая этим отображением переводится сама в себя.
Отображение, все точки которого неподвижные называется тождественным отображением. Если при данном отображении разным точкам фигуры соответствуют разные образы, то такое отображение называется взаимно однозначным. Пусть фигура F" получена из фигуры F взаимно однозначным отображением f, то можно задать отображение обратное отображению f, которое определяется так: композиция отображения f и отображения, обратного f является тождественным отображением. Существует множество видов отображения плоскости на себя, рассмотрим некоторые из них:

Движения
. Параллельный перенос
. Осевая симметрия
. Поворот вокруг точки
. Центральная симметрия
Подобие
. Гомотетия

Движение

Движением называется отображение плоскости на себя при которром сохранаяются все расстояния между точками. Движение имеет ряд важных свойств:

Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки, лежащие на одной прямой, и три точки, не лежащие на одной прямой, переходят в три точки, не лежащие на одной прямой.

Докозательство: пусть движение переводит точки A, B, C в точки A", B",
C". Тогда выполняются равенства

A"B"=AB , A"C"=AC , B"C"=BC (1)
Если точки A, B, C лежат на одной прямой, то одна из них, например точка
B лежит между двумя другими. В этом случае AB+BC=AC, и из равенств (1) следует, что A"C"+B"C"=A"C". А из этого следует, что точка B" лежит между точками A" и C". Первое утверждение доказано. Второе утверждение докажем методом от противного: Предположим, что точки A", B", C" лежат на одной прямой даже в том случае, если точки A, B, C не лежат на одной прямой, то есть являются вершинами треугольника. Тогда должны выполнятся неравенства треугольника:

AB