Полярная система координат. Кривые второго порядка в системе полярных координат.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Вятский государственный университет»

(ФГБОУ ВПО «ВятГУ»)

Факультет автоматики и вычислительной техники

Кафедра электронных вычислительных машин

Реферат студента группы ИВТ-11

Тутынина Владимира

(зачётная книжка №Д10-ФАВТ-2012-111)

на тему: «Полярная система координат.

Кривые второго порядка в системе полярных координат.

Решение систем линейных уравнений»

Киров 2012

1. Полярная система координат

Полярная система координат на плоскости – это совокупность точки О, называемой полюсом, и полупрямой Ох, называемой полярной осью. Кроме того, задаётся масштабный отрезок для измерения расстояний от точек плоскости до полюса. Как правило, на полярной оси выбирается вектор , приложенный к точке О, длина которого принимается за величину масштабного отрезка, а направление вектора задаёт положительное направление на полярной оси.

Положение точки М в полярной системе координат определяется расстоянием r (полярным радиусом) от точки М до полюса (т.е. r = ||) и углом φ (полярным радиусом) между полярной осью и вектором . Полярный радиус и полярный угол составляют полярные координаты точки М, что записывается в виде М(r, φ). Полярный угол измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси:

·        в положительном направлении (против направления движения часовой стрелки), если значение угла положительное;

·        в отрицательном направлении (по направлению движения часовой стрелки), если значение угла отрицательное.

Полярный радиус определён для любой точки плоскости и принимает неотрицательные значения . Полярный угол φ определён для любой точки плоскости, за исключением полюса О, и принимает значение , называемыми главными значениями полярного угла. В некоторых случаях целесообразно считать, что полярный угол определён с точностью до слагаемых , где . В этом случае значениям  полярного угла для всех соответствует одно и то же направление радиус вектора.

     С полярной системой координат Orφ можно связать прямоугольную систему координат О , начало О которой совпадает с полюсом, а ось абсцисс – с полярной осью.

         Выведем формулы, связывающие прямоугольные координаты точки x, y точки М, отличной от точки О, и её полярные координаты r, φ. Получаем:                           и                

Последние два равенства определяют полярный угол с точностью до слагаемых , где . При  из них следует, что . Главное значение полярного угла φ () находится по формулам:

  где                                         

[1,стр.163-165]

2. Уравнения кривых второго порядка в полярной системе координат

2.1 Эллипс

       Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек F₁ и F₂ есть величина постоянная (2a), большая расстояния (2с) между этими двумя точками. Отношение  называется эксцентриситетом эллипса. Из определения эллипса следует, что . Если е=0, то с=0, фокусы F₁ и F₂ совпадают, и эллипс является окружностью радиуса а. Это геометрическое определение выражает фокальное свойство эллипса.

Уравнение эллипса в полярной системе координат имеет вид:  где   – фокальный параметр эллипса.

Доказательство: выберем в качестве полюса полярной системы координат левый фокус F₁ эллипса, а в качестве полярной оси – луч F₁F₂. Тогда для произвольной точки M(r, φ) имеем r + MF₂ = 2a. Выражаем расстояние между точками M(r, φ) и F₂ (2с,0): , следовательно, уравнение  F₁M + MF₂ = 2a имеет вид: . Уединяем радикал, возводим обе части уравнения в квадрат, делим на 4 и приводим подобные члены:  . Выражаем полярный радиус r и делаем замены  ,  , . Тогда       , что и требовалось доказать. [1,стр.268-271]

2.2 Гипербола

         Гиперболой называется геометрическое место двух точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек F1 и F2 есть величина постоянная (2а), меньшая расстояния (2с) между этими заданными точками. Это геометрическое определение выражает фокальное свойство гиперболы. Отношение  называется эксцентриситетом гиперболы. Из определения следует, что е>1.

Уравнение гиперболы в полярной системе координат имеет вид:  где   – фокальный параметр гиперболы.

Доказательство: выберем в качестве полюса полярной системы координат правый фокус F₂ гиперболы, а в качестве полярной оси – луч с началом в точке F₂, принадлежащий F₁F₂, но не содержащий точки F₁. Тогда для произвольной M(r, φ), принадлежащей правой ветви гиперболы, имеем F₁M – r =2a. Выражаем расстояние между точками М(r, φ) и F₁(2c,π):

, следовательно, в координатной форме уравнение имеет вид: .

Уединяем радикал, возводим обе части уравнения в квадрат, делим на 4 и приводим подобные члены:

.  Выражаем полярный радиус r и делаем замены  ,  , :        , что и требовалось доказать. [1,стр.274-278]

2.3 Парабола

         Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки F и заданной прямой d, не проходящей через заданную точку. Это геометрическое определение выражает фокальное свойство параболы. Эксцентриситет параболы равен 1.

Уравнение параболы в полярной системе координат имеет вид:  где  p – параметр параболы.

Доказательство: в качестве полюса полярной системы координат выберем фокус F параболы, а в качестве полярной оси – луч с началом в точке F, перпендикулярный директрисе и не пересекающий её. Тогда для произвольной точки M(r, φ), принадлежащей параболе, MM_d=r. Поскольку , получаем уравнение параболы в координатной форме:

, что и требовалось доказать.

Замечание: в полярных координатах уравнения эллипса, гиперболы и параболы совпадают, но описывают разные линии, поскольку отличаются эксцентриситетами ( для эллипса,  для параболы,  для гиперболы). [1,стр.282-284]

3. Решение систем линейных уравнений.

Решением системы линейных уравнений (СЛУ) называется n-ка чисел () при подстановке которой в СЛУ каждое уравнение обращается в верное равенство.

Если СЛУ не имеет решения, то она называется несовместной; имеет решения – совместная; 1 решение – определённая; бесконечное количество решений – неопределённая. [Из лекций]

3.1 Метод Гаусса

Метод Гаусса – метод решения СЛУ с помощью последовательного исключения переменных и приведения СЛУ к ступенчатому виду. Пусть дана СЛУ(1):        

1)          Будем считать (в общем случае), что .

2)          Вычтем из второго уравнения первое уравнение, умноженное на , из третьего – первое, умноженное на  и т. д.

В результате из СЛУ в уравнениях со второго по m-ное будет исключена x₁. Назовём её СЛУ(2).

3) , т.к. получена с помощью элементарных преобразований. Далее применяем аналогичные рассуждения и исключаем в уравнениях, начиная с 3-го, переменную х₂, и т.д.

         В результате получим:  (3)

В результате  и напоминает ступеньку, поэтому называется ступенчатой СЛУ. Индекс к зависит от соотношения количества переменных в СЛУ и количества уравнений(m и n). Решения:

1) СЛУ(1) совместна  в соответствующей ступенчатой системе (3) нет противоречивого уравнения вида , где .

2) СЛУ(1) имеет 1 решение  СЛУ совместна и в соответствующей ступенчатой СЛУ(3) нет свободных переменных.

3) СЛУ(1) имеет  решений  СЛУ совместна и в соответствующей её ступенчатой СЛУ(3) есть свободные переменные. [Из лекций]

3.2 Матричное решение СЛУ

         Матрицы ,  и  – основная матрица СЛУ(1), столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно. Тогда, исходя из определения умножения матриц, СЛУ(1) можно записать так: . Домножим обе части уравнения на  слева, получим: . Так как , то получаем: . Решив матричное уравнение, получим решение СЛУ(1). [Из лекций]

3.3 Решение методом Крамера

         Для решения СЛУ(1), у которых количество неизвестных равно количеству строк, а основная матрица системы невырожденная, существует метод Крамера, который основывается на формулах , где  – определитель основной матрицы системы, а все  – определители матрицы, полученной из матрицы А заменой i-го столбца на столбец свободных членов. [Из лекций]

3.4 Общее решение СЛУ

         Пусть  – произвольное решение СЛУ(1), тогда  равен сумме частного решения СЛУ и общему решению соответствующей ОСЛУ () . [Из лекций]

Список литературы:

1. Бортаковский, Александр Сергеевич. Аналитическая геометрия в примерах и задачах.