Неравенства

Содержание

1)  Основное понятие неравенства

2)  Основные свойства числовых неравенств. Неравенства содержащие переменную.

3)  Графическое решение неравенств второй степени

4)  Системы неравенств. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными.

5)  Решение рациональных неравенств методом интервалов

6)  Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля

1. Основное понятие неравенства

Неравенство [inequality] — соотношение между числами (или любыми математическими выражениями, способными принимать численное значение), указывающее, какое из них больше или меньше другого. Над этими выражениями можно по определенным правилам производить следующие действия: сложение, вычитание, умножение и деление (причем при умножении или делении Н. на отрицательное число смысл его меняется на противоположный). Одно из основных понятий линейного программирования — линейные неравенства вида

a₁x₁+ a₂x₂ +... + a_nx_n * b,

где a₁,..., a_n, b — постоянные и знак * — один из знаков неравенства, напр. ≥, <, ≤.

В матричной алгебре знак ≥ означает что все элементы матрицы, расположенной слева, не меньше (а хотя бы часть из них больше) соответствующих элементов матрицы, расположенной справа. В отличие от этого знак ≤ означает, что все элементы левой матрицы не меньше соответствующих элементов правой матрицы; в частности, все соответствующие элементы могут быть попарно равны. (Иногда применяются и другие обозначения.)

Классификация неравенств

Неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются на:^[1]

·  алгебраические

·  трансцендентные

Алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой, второй, и т. д. степени.

Пример:

Неравенство - алгебраическое, второй степени.

Неравенство - трансцендентное.

2. Основные свойства числовых неравенств. Неравенства содержащие переменную

1)  Если a>b , b

2)  Если a>b b>c a>c;

3)  Если a>b a+c>b+c;

4)  Если a+b>c a> c-b;

5)  Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство;

6)  Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же число и изменить знак на противоположный, то получится верное неравенство;

7)  Множество всех х, при которых имеют смысл выражения f(x) и g(x), называется областью определения неравенства f(x) >g(x);

8)  Два неравенства, содержащие одну и ту же переменную, называются равносильными, если они имеют общее множество решений (множество решений этих неравенств совпадают);

9)  Если к обеим частям неравенства прибавить(или вычесть) любую функцию J(x). область определения которой содержит область определения неравенств, то получится новое неравенств, равносильное данному;

10)  Если обе части неравенства f(x) >g(x) умножить (или разделить) на любую функцию J(x), определенную для всех значений переменной х из области определения данного неравенства, сохраняющую постоянный знак и отличную от нуля, то при J(x)>0 получится неравенство, равносильное данном, а при J(x)<0 равносильным данному является неравенство противоположного знака.

Неравенства с одной переменной. Пусть дано неравенство f(x) >g(x). Всякое значение переменной, при котором данное неравенство с одной переменной обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства с одной переменной. Решить неравенство с переменной - значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если решения этих неравенств совпадают.

3. Графическое решение неравенств второй степени

1)  Графиком квадратичной функции y = ах² +bх + с является парабола с ветвями, направленными вверх, если а > 0, и вниз, если а < 0 (иногда говорят, что парабола направлена выпуклостью вниз, если а > 0 и выпуклостью вверх, если а < 0). При этом возможны три случая:

2)  Парабола пересекает ось 0х (т. е. уравнение ах² + bх + с = 0 имеет два различных корня). То есть, если а<0 то решением неравенства является множество [x1;x2].

y = ах² +bх + с a>0 D>0 y = ах² +bх + с a<0 D>0,

Парабола имеет вершину на оси 0х (т. е. уравнение ах² + х + с = 0 имеет один корень, так называемый двукратный корень) То есть, если d=0, то при a>0 решением неравенства служит вся числовая прямая, а при a<0 единственная точка х1, являющаяся единственным корнем квадратного трехчлена ах² + х + с

y = ах² +bх + с a>0 D=0 y = ах² +bх + с a<0 D=0,

3)  Если d<0 то график квадратного трехчлена f(x) = ах² +bх + с не пересекает ось Ох и лежит выше этой оси при a>0 и ниже ее при a<0 В первом случае множество решений неравенства есть вся числовая прямая, а во втором оно является пустым.

4) 

y = ах² +bх + с a>0 D<0 y = ах² +bх + с a<0 D<0,

4) Решить неравенство графическим способом

1) 3х² -4х ;

3х²-4х.

1.   Пусть f(x) = 3х² -4х - 7 тогда найдем такие х при которых f(x) ;

2.  Найдем нули функции.

3х²-4х-7=0,

D=100,

Х=-1 Х=73.

f(x)  при х .

Ответ f(x)  при х .

2)  х² >-4x-5;

x² +4x +5>0;

Пусть f(x)=х² +4х +5 тогда Найдем такие х при которых f(x)>0,

X²+4x+5=0,

D=-4 Нет нулей.

Ответ .

4. Системы неравенств. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными

1)  Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств.

2)  Множество решений неравенства f(х;у)>0 можно графически изобразить на координатной плоскости. Обычно линия, заданная уравнением f(х;у)=0 ,разбивает плоскость на 2 части, одна из которых является решением неравенства. Чтобы определить, какая из частей, надо подставить координаты произвольной точки М(х0;у0) , не лежащей на линии f(х;у)=0, в неравенство. Если f(х0;у0) > 0 , то решением неравенства является часть плоскости, содержащая точку М0. если f(х0;у0)<0, то другая часть плоскости.

3)  Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств. Пусть, например, задана система неравенств:

.

Для первого неравенства множество решений есть круг радиусом 2 и с центром в начале координат, а для второго- полуплоскость, расположенная над прямой 2х+3у=0. Множеством решений данной системы служит пересечение указанных множеств, т.е. полукруг.

4)  Пример. Решить систему неравенств:

Решением 1-го неравенства служит множество , 2-го множество (2;7) и третьего - множество .

Пересечением указанных множеств является промежуток(2;3], который и есть множество решений системы неравенств.

5. Решение рациональных неравенств методом интервалов

В основе метода интервалов лежит следующее свойство двучлена (х-а): точка х=α делит числовую ось на две части — справа от точки α двучлен (х‑α)>0, а слева от точки α (х-α)<0.

Пусть требуется решить неравенство (x-α₁)(x-α₂)...(x-α_n)>0, где α₁, α₂...α_n-1, α_n — фиксированные числа, среди которых нет равных, причем такие, что α₁ < α₂ <...< α_n-1 < α_n. Для решения неравенства (x-α₁)(x-α₂)...(x‑α_n)>0 методом интервалов поступают следующим образом: на числовую ось наносят числа α₁, α₂...α_n-1, α_n; в промежутке справа от наибольшего из них, т.е. числа α_n, ставят знак «плюс», в следующем за ним справа налево интервале ставят знак «минус», затем — знак «плюс», затем знак «минус» и т.д. Тогда множество всех решений неравенства (x-α₁)(x‑α₂)...(x-α_n)>0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «плюс», а множество решений неравенства (x-α₁)(x-α₂)...(x‑α_n)<0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».

1)  Решение рациональных неравенств (т.е неравенств вида P(x) Q(x) где – многочлены) основано на следующем свойстве непрерывной функции: если непрерывная функция обращается в нуль в точках х1 и х2 (х1;х2) и между этими точками не имеет других корней, то в промежутках(х1;х2) функция сохраняет свой знак.

Поэтому для нахождения промежутков знакопостоянства функции y=f(x) на числовой прямой отмечают все точки, в которых функция f(x) обращается в нуль или терпит разрыв. Эти точки разбивают числовую прямую на несколько промежутков, внутри каждого из которых функция f(x) непрерывна и не обращается в нуль, т.е. сохраняет знак. Чтобы определить этот знак, достаточно найти знак функции в какой либо точке рассматриваемого промежутка числовой прямой.

2)  Для определения интервалов знакопостоянства рациональной функции, т.е. Для решения рационального неравенства, отмечаем на числовой прямой корни числителя и корни знаменателя, которые как и являются корнями и точками разрыва рациональной функции.

Решение неравенств методом интервалов

3. < 20.

Решение. Область допустимых значений определяется системой неравенств:

.

Для функции f(x) = – 20. Находим f(x):

откуда x = 29 и x = 13.

f(30) = – 20 = 0,3 > 0,

f(5) = – 1 – 20 = – 10 < 0.

Ответ: [4; 29).

х²+х-2

Пусть f(x)=х²+х-2 тогда найдем такие х при которых f(x)<0.

Найдем нули х=1, х=-2.

х³-4х<0

x(x²-4)<0

x(x-2)(x+2)<0

x=0 x=2 x=-2

6. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля

Решение неравенства, содержащего выражение , приводит к рассмотрению двух случаев:

Можно воспользоваться геометрической интерпретацией модуля действительного числа, согласно которой |a| означает расстояние точки а координатной прямой от начала отсчета О, а |a-b| означает расстояние между точками а и b на координатной прямой.

Можно использовать метод возведения в квадрат обеих частей неравенства, основанный на следующей теореме. Если выражения f(x) и g(x) при любых х принимают только неотрицательные значения, то неравенства f(x)>g(x) и (f(x))²>(g(x))² равносильны.

Можно использовать свойства неравенств, содержащих переменную под знаком модуля:

Решить неравенство:

.

Объединяя результаты получим .