Высшая математика

Слушатель – Никифоров Михаил Николаевич

Курс 1. АПМ-03. Семестр осенний. 2003 год.

Матрица – совокупность чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы.

Минором для элемента а_ig называется определитель матрицы, полученный из исходной, вычеркиванием i-ой строки и g-ого столбца.

Матрицы с нулевым определителем называются вырожденными или особенными. Особенная матрица обратной не имеет. . .

B_pq согласовано с A_mn, если число строк В равно числу столбцов А, т.е. p=n. Одно согласование.

1)  Если один столбец или одна строка все нули, то | |=0.

2)  Если в матрице имеется 2 равных столбца или 2 равных строки, то | |=0.

3)  Треугольная матрица. Все элементы выше или ниже главной диагонали =0. Тогда определитель матрицы равен произведению диагональных элементов.

4)  При перемене местами 2 строк или 2 столбцов определитель меняет знак.

5)  Определитель матрицы, содержащей 2 пропорциональные строки или столбца равен нулю.

6)  Определитель матрицы равен сумме произведений некоторой строки на соответствующие алгебраические дополнения.

 

Системы уравнений с матрицами

Система 1 совместная, если имеет хотя бы одно решение.

Система 1 определенная, если есть только 1 решение и неопределенная, если более 1 решения.

Ранг матрицы.

Ранг нулевой матрицы равен 0.

Ранг единичной матрицы_nm равен n.

Ранг трипсидальной матрицы равен числу ненулевых строк.

При элементарных преобразованиях матрицы ранг её остается неизменным.

При добавлении к матрице строки или столбца ранг её может только увеличиться или остаться неизменным.

Лекция 5.

.

Замечание: 1) Нет решения

2)  . n-число неизвестных

а) r=n – одно решение

б) r

Векторная алгебра

 

Проекция вектора на ось:

Проекцией точки на прямую называется основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проекция АВ на х это число |A^{^}B^{^}| взятое со знаком +, если угол острый и со знаком – если угол тупой.

,

.

 

Скалярное произведение векторов

.  

Признак перпендикулярности .

Векторное произведение векторов

; ;

Объем пирамиды ;

Смешанное произведение векторов

 

Если  - углы, которые составляет вектор а с координатными осями, то , откуда следует

Условие коллинеарности  

ab=0 – перпендикулярность

 - коллинеарность

abc=0 – компланарность

Аналитическая геометрия

 

Плоскость в пространстве

Нормаль и точка привязки однозначно определяют положение плоскости в пространстве.

 -

каноническое уравнение (1)

Общее уравнение плоскости

, где ,

где А, В, С – координаты нормали, D – свободный член, x,y,z – текущий координаты.

Уравнение плоскости, проходящий через точку  перпендикулярно вектору N=(A;B;C), имеет вид

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки записывают в виде

Уравнение плоскости в отрезках

Нормальное уравнение плоскости , где p – расстояние от начала координат.

Нормирующий множитель

Расстояние от точки до плоскости

Угол между плоскостями

Условия параллельности и перпендикулярности ;

Уравнение пучка плоскостей:  

Прямые линии в пространстве.

 

-уравнение прямой

 - параметрическое уравнение прямой.

 - каноническое уравнение прямой.

Уравнения прямой, проходящей через 2 заданные точки

Угол между 2 прямыми

 

Взаимное расположение 2 прямых.

1.  (могут лежать и на одной прямой)

2.  (могут скрещиваться)

3. . Если (3) , то скрещиваются.

Взаимное расположение прямой и плоскости

1.

2.

3. Угол между прямой и плоскостью

4.

 

Аналитическая геометрия на плоскости.

 

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Расстояние между 2 точками .

Если заданы точки А и В и точка С делит отрезок АВ в отношении , т.е. , то .

Уравнение прямой на плоскости

Ax+By+C=0;

Уравнение прямой в отрезках .

Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки .

Уравнение прямой, проходящей через точку, под заданным углом к оси Ох ():

Расстояние от точки до прямой

1.

2.

3.

 

Окружность

Уравнение окружности с центром в M(a;b) радиусом R

Уравнение окружности с центром в начале координат

Эллипс

Эллипс – геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух заданных точек плоскости (фокусов эллипса) есть величина постоянная, , чем расстояние между фокусами.

Обозначим M(x;y) – произвольная точка эллипса, 2с – расстояние между фокусами F₁ и F₂; 2а – сумма расстояний от точки М до F₁ и F₂ (a – большая полуось эллипса).  - малая полуось эллипса. .

Тогда каноническое уравнение эллипса имеет вид .

Число  называется эксцентриситетом эллипса и характеризует сплюснутость эллипса относительно осей . Если , то получается окружность. a=b.

 

Гипербола

Гипербола – геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух заданных точек (фокусов) есть постоянная величина, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Если M (x;y) – точка гиперболы; F₁, F₂ – фокусы, 2с – расстояние между фокусами, 2а – разность расстояний от точки М (х;y) до фокусов , где а – действительная полуось гиперболы.  - мнимая полуось гиперболы.

Каноническое уравнение гиперболы .

Гипербола пересекает ось Ох в точках  и , с осью Оу пересечений нет.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых .

Эксцентриситет гиперболы .

 

Парабола

Парабола – геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки F – фокуса и заданной прямой – директрисы параболы. Если ось абсцисс совпадает с перпендикуляром, опущенным из фокуса на директрису, а начало координат делит этот перпендикуляр пополам, то каноническое уравнение имеет вид .

Эксцентриситет параболы  - отношение расстояния от точки параболы до директрисы к расстоянию от этой точки до фокуса.

Общее уравнение второго порядка

 - общее уравнение кривой второго порядка

Параллельный перенос: .

Поворот осей:

 - инварианты.  - дискриминант

Если >0, то уравнение эллиптического вида

Если <0, то уравнение гиперболического типа

Если =0, то уравнение параболического типа

Выбираем угол так, чтобы B^=0, тогда

(1)  (B=0)

1. . Осуществляем параллельный перенос для уничтожения членов .(**) ** подставляем в

(1)+

(2) (3)

 

а) >0 – эллиптический вид

A`C`>0 (одного знака)

Если F``>0, то пустое множество

Если F``=0, то одна точка (x``=0, y``=0)

Если F``<0, то получим эллипс в виде , где

б) <0 (гиперболический вид) A^C^<0 (разные знаки). Пусть A^>0

A`=, , , тогда .

Если F₀=0, то , получаем пару пересекающихся прямых.

Если F₀>0, то  (гипербола)

Если F₀<0, то  (гипербола, где оси поменялись местами)

в)  (параболический тип) A`C`=0

 (5)

а) D`=E`=0, пусть

б)  

** в (5)

, где 2р=, если p>0, то парабола .

Теория пределов

Число а называется пределом последовательности x_n для любого () сколь угодно малого положительного числа  найдется номер, зависящий от , начиная с которого все члены последовательности отличаются от а меньше, чем на .

Предел последовательности

Под числовой последовательностью понимают функцию , заданную на множестве натуральных чисел т.е. функцию натурального аргумента.

Число a называется пределом последовательности x_n (x=1,2,…): =а, если для любого сколь угодно малого >0, существует такое число N=N(), что для всех натуральных n>N выполняется неравенство .

1) ,  - натуральное число. Если x_n=a, то (a, a, a, a) – стационарная последовательность.

2) , где a, d – const, тогда (a, a+d, a+2d,…a+(n-1)d)

x_n+1=x_n+d – рекуррентная формула.

3) Числа Фибоначчи. (1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…), где x₁, x₂ =1 и .

 (*);

 

 - эпсилон – окрестность числа а.

1. .  

2.

Основные теоремы пределах

1.  О единственном пределе. Последовательность имеет не более 1 предела.

2.  Предельный переход в неравенстве.

3.  О трех последовательностях. О сжатой последовательности.