Математический анализ

Текст:
ГЛАВА#1.МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. §1 ПОНЯТИЕ ОКРЕСТНОСТИ,БЕСКОНЕЧНО МАЛОГО,ПРЕДЕЛА, НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ. ОКРЕСТНОСТЬЮ ТОЧКИ Хо называется любой интервал,содержащий эту точку. ПРОКОЛОТОЙ ОКРЕСТНОСТЬЮ т.Хо называется окрестность т.Хо, из которой выброшена сама точка. ОКРЕСТНОСТЬЮ "+" БЕСКОНЕЧНОСТИ называется любой полу- бесконечный промежуток вида (а;+ ). ОКРЕСТНОСТЬЮ "-" БЕСКОНЕЧНОСТИ называется любой полу- бесконечный промежуток вида (- ;b). ОКРЕСТНОСТЬЮ БЕСКОНЕЧНОСТИ называется объединение двух любых окрестностей + и - . Функция f(х) называется бесконечно малой в окрестности т.Хо,если для любого числа >0 существует проколотая окр. т.Хо такая,что для любого числа Х,принадлежащего прокол.окр.т.Хо выполняется неравенство ¦f(х)¦< . >0 U U => ¦f(x)¦< Число А называется пределом ф-ции f(х) в т.Хо,если в некоторой прок.окр. этой точки ф-цию f(х) можно представить в виде f(х)=А+ (х),где (х)-бесконечно малое в окрестности т.Хо. limf(x)=А Ф-ция f(х) называется непрерывной в т.Хо,если в некоторой окр.т.Хо эту ф-цию можно представить в виде:f(х)=f(х )+ (х), где (х)-б.м. в окр.т.Хо. Иными словами,f(х)-непрерывна в т.Хо,если она в этой точке имеет предел и он равен значению ф-ции. ТЕОРЕМА:Все элементарные ф-ции непрерывны в каждой точке области определения. Схема:1.ф-я элементарна 2. определена 3. непрерывна 4. предел равен значению ф-ции 5. значение ф-ции равно 0 6. можно представить в виде б.м. СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ: Теорема#1:Единственная константа,явл-ся б.м.-0 Теорема#2:Если (х) и (х) -б.м. в окр.т.Хо,то их сумма тоже б.м. в этой окр. Ф-ция f(х) называется ограниченной в окр.т.Хо,если сущ. проколотая окр.т.Хо и сущ. число М>0,такие что ¦f(х)¦<М в каждой точке прок.окр.т.Хо. U M>0: ¦f(x)¦0,то А/20 в прокол.окр.т.Хо. Наоборот,если f(х),имеющая предел в т.Хо,меньше 0, то f(х)<0 в прокол.окр.т.Хо. Т.2:Если ф-ция f(х) имеет предел в т.Хо и f(х)>0 в некоторой прокол.окр.т.Хо,то и предел f(х)>0 в т.Хо. Т.3:Если ф-ции f(х) и f(х) имеют предел в т.Хо: lim f(х)=А lim f(х)=В и f(х)0,то ф-я больше нуля в некоторой окр.т.Хо или;если f(х) и f(х) непрер. в т.Хо,то их сумма тоже непрер.в этой точке. ГЛОБАЛЬНЫЕ СВ-ВА: Ф-ция f(х) называется непрерывной на отр.[a;b],если она непрерыв.в каждой точке интервала (a;b) и непрерывна в т.А справа и в т.В слева. lim f(x)=f(a),lim f(x)=f(b) ТЕОРЕМЫ КОШИ: Теорема#1:Если ф-ция f(х) непр. на отр.[a;b] и на концах отрезка принимает значения разных знаков (f(а)*f(b)<0), то сущ.точка С на отр.[a;b],такая что f(С)=0. Теорема#2:Если ф-ция непр. на отр.[a;b] и на концах отр. принимает разные значения (f(a)=f(b)),то тогда для любого числа Q,лежащего между f(а) и f(b),сущ.т.С,принадлеж.отр. [a;b],такая что f(С)=Q. ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА: Теорема#1:Если ф-ция f(х) непр. на отр.[a;b],то сущ. числа m0 দа,если <0 СВ-ВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ: 1.Коммутативность: Для любых а и b:а+b=b+a замечание:отсюда следует,что сумму векторов а и b можно строить как диагональ параллелограмма,построенных на векторах а и b, причем начало всех трех векторов совмещены. 2.Ассоциативность: Для любых а,b и с:(а+b)+с=а+(b+с) замечание:отсюда следует,что чтобы сложить векторы а ,а ,...,а нужно сложить из них ломанную,совмещая начало последущего вектора с концом предыдущего,тогда их сумма -замыкающая. 3.Существует вектор,называемый нуль-вектор,такой что для всех а: а+0=а. 4.Для любого а сущ.вектор,называемый противоположным,обознач.-а, такой что а+(-а)=0 5.Для всех а:1*а=а 6.Для любого а и любых чисел и :( * )*а= ( а)= ( а) 7.Для любого а и любых чисел и :( + )*а= а+ а 8.Для любых а и b и любого числа : *(а+b)= а+ b Разностью векторов а и b называется вектор (а+(-b)) Если даны векторы а ,а ,...,а и числа , ,..., ,то вектор а + а +...+ а -называется линейной комбинацией векторов а ,а ,...,а с коэффициентами , ,..., . Множество,для элементов которого определены операции (сложения и умножения на число),для которых справедливы выше восемь св-в (аксиом) называется линейным пространством. §2.Понятие линейной зависимости,размерности,базиса и координации. Система векторов а ,а ,...,а называется линейно зависимой,если хотя бы один из векторов этой системы есть линейная комбинация остальных векторов этой системы. ИЛИ Для того,чтобы система векторов а ,а ,...,а была линейно зависи- мой необходимо и достаточно,чтобы существовали числа , ,..., , не равные 0,такие что линейная комбинация а + а +...+ а равнялась нуль-вектору. Система векторов называется линейно не зависимой,если она не яв- ляется линейно зависимой,т.е. ни один вектор этой системы не яв- ляется линейной комбинацией остальных и равенство 0 линейной ком- бинации векторов этой системы возможно только в том случае,когда все коэффициенты равны 0. Размерностью линейного пространства называется максимальное число линейно не зависимых векторов. Базисом называется линейно независимая система векторов,такая, при которой любой вектор,принадлежащий этому пространству,может быть выражен в виде линейной комбинации векторов этой системы. Теорема единственности: Если задан базис е ,е ,е ,то разложение любого вектора а по этому базису единственно: а= е + е + е Если дан базис е ,е ,е ,то коэффициенты разложения вектора по этому базису называются координатами. а=( , , ) замечание:у одного и того же вектора в разных базисах разные координаты. Условие коллинеарности: / = / = / замечание:если в одной из дробей в знаменателе 0,то равенство нужно понимать так,что в числителе тоже 0. Каноническое ур-е прямой: x x /m=y-y /p=z-z /q §3.ПОНЯТИЯ ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРА НА ОСЬ,СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ. СВ-ВА ПРОЕКЦИИ И СКАЛЯР.ПРОИЗВЕДЕНИЯ.ПРИЛОЖЕНИЕ. Углом между двумя векторами (отличными от 0) называется наименьший угол между двумя лучами,проведенные из одной точки пространства в направлениях этих векторов. Численной проекцией вектора а на вектор b (b=0) называется число равное произведению модуля а на cos угла между ними. Пр а=¦а¦*cos a,b Св-ва: Пр (а+b)=Пр а+Пр b Пр (ka)=kПр а Проекцией вектора на ось называется длина отрезка АВ между основаниями перпендикуляров,опущенных из точек А и В на ось. Радиус-вектором точки пространства называется вектор,идущий в эту точку из некоторой фиксированной точки,наз. полюсом. Скалярным произведением а и b называется число равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними. CВ-ВА: 1.условие перпендикулярности векторов: (а,b)=0 <=> а_b 2.коммутативность: (а,b)=(b,а) 3.билинейность: 3.1: (а +а ;b)=(а ,b)+(а ,b) (а,b +b )=(а,b )+(а,b ) 3.2: ( а,b)=(а, b)= (а,b) Правило:Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. (а,b)=x x +y y +z z Приложения: 1.¦а¦= (а,а) = x +y +z ,если а=(x,y,z) 2.(а,b)=0<=>а_b 3.cos а,b=(а,b)/¦а¦¦b¦ 4.Пр а=(а,b)/¦b¦ Направляющими косинусами углов называются cos углов,которые вектор образует с векторами базиса i,j,k. cos =x/¦a¦ cos =y/¦a¦ cos =z/¦a¦ cos +cos +cos =1,т.к. (x +y +z )/¦a¦=1. §4.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВ-ВА. Матрицей порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Квадратной матрицей n-порядка называется матрица,у которой число строк равно числу столбцов и равно n. Каждой кв.матрице ставится в соответствие число называемое определителем матрицы. Определителем кв.матрицы n-порядка называется число равное алгебраической сумме всевозможных произведений n-элементов матрицы,взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем перед каждым произведением по определенному правилу ставится знак "+" или "-". Алгебраической суммой называется сумма,в которой где-то ставится "+",а где-то "-". Элементы матрицы,у которых No строки совпадает с No столбца образуют главную диагональ матрицы. Операция замены строк матрицы ее столбцами с соответствующими номерами называется транспортированием,а получившаяся матрица- транспортированной. СВ-ВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ: 1.При транспортировании матрицы ее определитель не меняется. 2.Если в матрице поменять местами две строки (столбца),то ее определитель умножится на -1. 3.Определитель матрицы равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на их алгебраические дополнения. 4.Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) матрицы умножить на число k, то ее определитель умножится на k. 5.Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) матрицы представляют собой сумму двух слагаемых,то определитель матрицы равен сумме двух определителей.У первого на месте этой строки стоят первые слагаемые,а у второго -вторые,а все остальные строки у всех трех определителей одинаковы. 6.Определитель матрицы не изменится,если к одной ее строке (столбцу) прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов). 7.Если элементы одной строки умножить на соответствующие алгебраические дополнения другой строки и сложить,то получится 0. 8.Линейная комбинация адгебраических дополнений элементов какой- нибудь строки равна определителю,у которого на месте этой строки стоят соответствующие коэффициенты линейной комбинации,а остальные строки совпадают со строками данного определителя. Минором,соответствующим элементу матрицы а ,называется определитель матрицы,которая получится,если в данной матрице вычеркнуть строку и столбец,в которых стоит а . Алгебраическим дополнением элемента а называется число равное А =М *(-1) Достаточные признаки равенства нулю определителя: 1.Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) матрицы равно нулю,то определитель равен 0. 2.Если в матрице есть две одинаковые строки (столбца),то ее определитель равен 0. 3.Если матрица содержит две строки,соответствующие элементы которой пропорциональны,то ее определитель равен 0. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя: Для того чтобы определитель матрицы был равен 0,необходимо и достаточно,чтобы ее строки (столбцы) были линейно зависимы. §5.ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. Тройка некомпланарных векторов a,b,c,начало которых совмещены, называется правой,если кратчайший поворот от вектора а к вектору b виден совершающимся против часовой стрелки с конца вектора с.В противном случае тройка называется левой. СВ-ВА ориентированных троек векторв: 1.Если a,b,c -правая,то тройки b,c,a и c,a,b будут тоже правыми. Такая перестановка называется циклической перестановкой.Т.е. при цикл.перестановке ориентация тройки не меняется. 2.Если a,b,c -правая,то тройки b,a.c и a,c,b -левые.Т.е.,если поменять местами какие-нибудь два вектора,то ориентация тройки изменится. Векторным произведением a и b называется вектор с,такой что: 1.если а и b коллинеарны (দb),то их векторное произведение с=[a,b]=0. 2.если а и b не коллинеарны,то с=[a,b] перпендикулярен а и _ b, т.е.[a,b] _ пл-ти векторов а и b и [a,b] направлен в такую сторону,что тройка векторов a,b,[a,b] -правая.Длина векторного произведения равна ¦[a,b]¦=¦а¦¦b¦sin ab=S параллелограмма, построенного на векторах а и b. СВ-ВО векторного произведения: 1.[a,b]=0 <=>a¦¦b. 2.Антикоммутативность: [a,b]=[b,a],но [a,b]=-[b,a]. 3.Билинейность: 3.1:[a +a ,b]=[a ,b]+[a ,b] [a,b +b ]=[a,b ]+[a,b ]. 3.2:[ a,b]=[a, b]= [a,b]. ¦i j k¦ [a,b]=¦x y z¦ ¦x y z¦ Нормальный вектор -это вектор перпендикулярный пл-ти. Ax+By+Cz+D=0 => n=(A,B,C) Углом между двумя пл-тями называется угол между их нормальными векторами. Углом между прямой и пл-тью называется угол между прямой и ее проекцией на пл-ть,sin этого угла равен cos ,где -угол между направляющим вектором прямой и нормальным вектором пл-ти. Смешанным произведением векторов a ,b ,c называется число,равное скалярному произведению векторного произведения векторов a и b на вектор с. ([a,b],c) Геометрический смысл смешанного произведения: 1.Если векторы a,b,c компланарны,то их смешанное произведение равно 0. 2.Если векторы a,b,c не компланарны,то модуль смешанного произведе- ния равен объему параллелепипеда,построенного на этих векторах, причем смешанное произведение положительно,если тройка a,b,c -пра- вая, и отрицательно,если тройка векторв -левая. СВ-ВА смешанного произведения: 1.([a,b],c)=(a,[b,c]) ([a,b],c) -смешанное произведение a,b,c. (a,[b,c]) -смешанное произведение b,c,a. Эти смешанные произведения равны,т.к. параллелипипед один и тот же и ориентации троек одинаковы (при циклической перестановки ориента- ция троек не меняется). Это св-во показывает,что квадратные скобки можно не ставить: (a,b,c)=([a,b],c) 2.(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)=(c,a,b)=-(b,a,c)=-(a,c,b)=-(c,b,a) 3.Для того,чтобы a,b,c были компланарными <=> (a,b,c)=0 4.Для того,чтобы a,b,c были линейно зависимыми <=> (a,b,c)=0 5.Трилинейность: 5.1: (a+b,c,d)=(a,c,d)+(b,c,d) 5.2: ( a,b,c)=(a, b,c)=(a,b, c)= (a,b,c) Вычисление смешанного произведения: a=(x ,y ,z ) b=(x ,y ,z ) c=(x ,y ,z ) ¦x y z¦ ([a,b],c)=¦x y z¦ ¦x y z¦ §6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая на пл-ти -частный случай прямой в пространстве. У прямой в пространстве нет понятия нормального вектора. Угловым коэффициентом прямой, не парал-ной оси y называ- ется число k, равное tg угла, на который нужно повернуть против часовой стрелки положительную часть оси х, чтобы она стала парал-ной данной прямой. tg =(k -k )/1+k k Для перпендикулярных прямых: 1+k k=0 Для параллельных прямых:k =k ГЛАВА#2:ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ. §1 ПОНЯТИЯ ДИФФ. Ф-ЦИИ, ПРОИЗВОДНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛА. Ф-ция f(х) называется дифференцируемой в т.Хо, если ее приращения f(х + х)-f(х ) можно представить в виде Q(х ) х+о( х),где о( х) -б.м., не зависящая от х, Q( х) -б.м. более высокого порядка, чем х. Q(х )=lim (f(х + х)-f(х ))/ х Этот предел называется производной ф-цией в точке и обозначается f"(х ). Производной ф-цией f(х) в т.Хо называется предел отноше- ния приращения ф-ции к приращению аргумента х, когда х0. (х )"= х (a )"=a lna, ((e )"=e ) (log x)"=1/xlna, ((lnx)"=1/x) sin"x=cosx cos"x=-sinx tg"x=1/cos x ctg"x=-1/sin x arcsin"x=1/ 1-x arccos"x=-1/ 1-x arctg"x=1/1+x arcctg"x=-1/1+x sh"x=chx (shx=e -e /2) ch"x=shx (chx=e +e /2) th"x=1/ch x (thx=shx/chx) cth"x=-1/sh x (cthx=chx/shx) f(x + x)-f(x )=f"(x ) x+o( x), слагаемое f"(x ) x -линейно зависит от х, и если f"(х)=0, то это слагаемое б.м. одного порядка с х. Поэтому это слагаемое является главным в этой сумме и оно называется дифференциалом ф-ции в т.Хо. Дифференциалом дифференцируемой ф-ции в т.Хо называется главная часть приращения, линейно зависящая от х. df=f"(x ) x Асимтотическое представление: f(x + x)=f(x )+f"(x ) x+o( x) f(x + x)=f(x )+df §2 ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ. 1. Если ф-ция f(x) тождественна const, то ее производная тождественна 0. (C)"=0 2. Если ф-ция u(x) и v(x) дифф. в т.Хо, то: 1) их линейная комбинация дифф. в этой точке и ( u+ v)"= u"+ v" 2) их произведение дифф. в т.Хо и (uv)"=u"v+uv" (uvw)"=u"vw+uv"w+uvw" 3) если кроме того v(x )=0, то отношение (u/v)"=u"v-uv"/v 3. Правило дифф. сложной ф-ции. f(u) дифф. в т.Uo, u(x) дифф. в т.Хо, u(x )=u => f(u(x)) -дифф. в т.Хо и (f(u(x)))"=f"(u ) u"(x )