Контрольная работа по линейной алгебре

[pic]

|№ |Оглавление |Страница |
|1 |Задание № 1 (а); (б) (выполнить действия) |3 |
|2 |Задание № 2 (а); (б) (вычислить определитель) |3 |
|3 |Задание № 3 (решить систему методом Гаусса) |4 |
|4 |Задание № 4 (а) (найти обратную матрицу) |4 |
|5 |Задание № 4 (б) |5 |
|6 |Задание № 5 (задача баланса) (а); (б) |6 |
|7 |Задание № 5 (в) |7 |
|8 |Задание № 6 (вычислить пределы) (а); (б) |7 |
|9 |Задание № 6 (в) |8 |
|10 |Задание № 7 (найти производную) (а) |8 |
|11 |Задание № 7 (задача на максимум) (б) |9 |

Задание № 1

Выполнить действия:

а) [pic][pic]
= [pic]

б) [pic]

[pic] Задание № 2

Вычислить определитель двумя способами:

а) способом Крамера ( = [pic]
[pic]

б) разложением по строке (=[pic]
[pic]

Задание № 3

Решить систему методом Гаусса:

[pic][pic] [pic] сложу третью строку с первой строкой системы и получу:
[pic] [pic]сложу третью строку системы со второй и получу:

[pic] [pic][pic] [pic][pic] [pic]
[pic] получим [pic] сложим первую и вторую строку и избавимся от переменной x3, затем получим: [pic] [pic][pic]

проверка: [pic] [pic] [pic]

Задание № 4

Найти обратную матрицу и проверить результат:

а) А=[pic] найдем оределитель матрицы (=[pic], определитель матрицы не равен нулю, следовательно матрица невырожденная

А11=1 А12=5
А21=-1 А22=3 [pic]

[pic]
[pic]

Проверка
А*А-1=[pic]

б)А=[pic] (=[pic] определитель матрицы не равен нулю, следовательно данная матрица невырожденная

А= [pic] по формуле [pic][pic], следовательно
А-1=1/5*[pic][pic]

проверка
А-1*А=[pic]

Задание № 5

Задача баланса: договор о взаимных услугах трех фирм

|Производство услуг |Потребление услуг |Конечный продукт |
| |Ф1 |Ф2 |Ф3 | |
|Ф1 |- |32% |- |68 |
|Ф2 |15% |20% |20% |38 |
|Ф3 |40% |30% |20% |38 |

а) требуется составить систему уравнений баланса; б) найти валовые обороты x1, x2, x3; в) составить балансовую таблицу

[pic]

Решение

а) [pic]

б) [pic]

[pic] [pic]

[pic] [pic]

[pic]
[pic][pic][pic]

[pic] [pic]

в)
|Производство |Потребление услуг|Yi |Xi |
|услуг | | | |
| |Ф1 |Ф2 |Ф3 | | |
|Ф1 |0 |32 |0 |68 |100 |
|Ф2 |15 |20 |27 |38 |100 |
|Ф3 |40 |30 |27 |38 |135 |
|Остаток |45 |18 |81 |144 | |
|Xj |100 |100 |135 | | |

Задание № 6

Вычислить пределы: а)
[pic]

=[pic] = [pic] =

[pic] [pic] = [pic]

б)

[pic] [pic] [pic]

[pic]

[pic] при x=5 [pic]

в)
[pic]
[pic]

[pic]

Задание № 7

Найти производную:

а) [pic]

[pic]

[pic][pic]

б) Из квадратного листа со стороной 5 изготавливается коробка без верха.
Найти наибольший объем коробки и соответствующие ему размеры.

V=(5-2x)2x

[pic] [pic]

[pic][pic]0