К методике преподавания прикладной математики в военно-инженерном вузе
И.В. Бабичева, Б.К. Нартов, Омский танковый инженерный институт, кафедра математики и теоретической механики
Цели и содержание обучения математике в военно-инженерном вузе прагматичны и жестко определяются реальными, достаточно устойчивыми потребностями армии. Кроме того, система военно-профессионального обучения - консервативная. Это ее объективное свойство: на фоне тех или иных инноваций военные профессии функционально устойчивее гражданских. Таким образом, следует признать, что свобода возможной коррекции целей и содержания курса прикладной математики в военно-инженерном вузе сравнительно невелика. Нам представляется, что возможная интенсификация обучения составляет здесь в большей степени методическую проблему, а именно: проблему оптимальной организации межпредметного взаимодействия математики и военно-профессиональных дисциплин.
Обратимся за примером к важной группе задач теории массового обслуживания и теории надежности, предметная область которых охватывает большинство традиционных военных специальностей.
Можно отметить, что многие центральные задачи этой группы - в курсе математики и в курсе военно-профессиональной дисциплины -решаются дважды и по-разному:
1. В курсе математики - полнота применения методов прикладной математики на фоне изолированных фрагментов реальной задачи. Приведем [1] типичный пример анализа результатов решения в курсовой работе по математике: "Можно сказать, что система работает с перегрузкой. Для уменьшения длины очереди и загруженности каналов предлагается увеличить число каналов обслуживания". Очевидно, что корректный учет стоимости эксплуатации канала обслуживания и других существенных факторов может привести к прямо противоположной рекомендации - уменьшить число каналов обслуживания. Однако исходная, традиционно предлагаемая курсанту формулировка курсовой работы и не предполагает решения на последнем этапе задачи оптимизации количества каналов обслуживания! В результате корректное и зачастую весьма трудоемкое решение промежуточной задачи массового обслуживания по необходимости завершается "анализом из общих соображений"; 2.
В курсе военно-профессиональной дисциплины - завершающий этап реальной задачи, требующий лишь типовых расчетов. Так, например, в [2] решается задача определения периода планово-предупредительных работ для отдельного узла машины. Схема решения такова: по известному закону распределения плотности вероятности отказа узла строится соответствующая интегральная функция. Затем по заданной величине доверительной вероятности безотказной работы узла и графику интегральной функции графически определяется период планово-предупредительных работ. При этом необходимая предварительная задача определения оптимальной доверительной вероятности лишь упоминается как "сложная проблема, решаемая в полном объеме в центральных учреждениях". В данном случае авторы пособия не без основания ориентируются на военного специалиста действующих частей, где подобные задачи решаются на основе личного опыта эксплуатации или (по необходимости) сведены к использованию нормативных данных. Однако очевидно, что курсанты, ориентированные на продолжение военного образования и исследовательскую работу, должны осваивать полные схемы задач подобного рода. Необходимые для этого методы прикладной математики не выходят за пределы стандартного курса.
Существенно (см. выше) , что в обоих вариантах, как правило, отсутствует корректная постановка задачи. Под такой постановкой и понимается:
1) общий анализ конкретной технической проблемы и выделение существенных факторов; 2) формулировка задачи, обоснование и формализация критериев; 3) формализация задачи.
Реализация этих этапов в обучении, по нашему мнению, является "зоной ответственности" как преподавателя математики, так и преподавателя соответствующей военно-профессиональной дисциплины.
Соответствующая встречная коррекция курса математики и курсов военно-профессиональных дисциплин требует, разумеется, большой осторожности и заведомо нереализуема "с одной стороны". Имея в виду объективно большую методическую консервативность военно-профессионального обучения, можно предположить, что разумным компромиссом мог бы стать здесь сопровождающе-корректирующий, математический факультатив. Кроме прочего, подобный факультатив может, по-видимому, частично решить две другие очевидные проблемы военного образования: - во-первых, он в состоянии взять на себя функции задачно-методического "мостика" между математикой и специальными дисциплинами (в инженерных вузах подобный мостик достаточно эффективно реализуется общепрофессиональными дисциплинами); - во-вторых - это потенциально главная функция сопровождающего факультатива - возникает возможность перехода курсовой работы по математике в дипломный проект, что привлекательно с методической стороны и сокращает дублирование учебного материала.
Ниже предлагается вариант подобной, опорной, курсовой работы.
"Оптимизация схемы планово-предупредительных работ"
Примем
следующие исходные данные: обслуживаемый объект - узел машины, заменяемый после
отказа или планово. - плотность
вероятности отказа узла, т.е. плотность вероятности продолжительности
безотказной работы узла после замены
s1
- стоимость плановой замены узла; s2 - стоимость замены узла после отказа; s1 Обоснование
этого условия - первая самостоятельная задача курсанта. Возможное
"доказательство" может состоять здесь, например, в том, что отказ
двигателя транспортной машины на марше может потребовать не только замены
какого-либо узла, но и предварительной эвакуации машины в ремонтное
подразделение. Стратегия
обслуживания узла - узел заменяется после отказа или планово - через время После
обсуждения исходных данных курсанту могут быть предложены следующие задачи. Задача
1. Найти
зависимость I - средней интенсивности затрат на обслуживание узла - от
известных Уже
формулировка этой задачи демонстрирует курсанту, что интервал
планово-предупредительных работ выбирается отнюдь не из "общих
соображений": при фиксированных прочих Решение
задачи 1 Рис.
1. Процесс обслуживания узла Курсант
должен отчетливо различать, что Вернемся
теперь к изображенному на рис. 1 процессу обслуживания и выпишем вероятности P1
и P2 - вероятности перехода узла в состояния s1 и s2 соответственно.
(Существенно, что P1 и P2 не зависят от исходного состояния узла). Из условий
задачи (1) Теперь
процесс обслуживания можно изобразить в виде последовательности
"произвольных" событий (s1 и s2): с
вероятностью P1 в состояние s1 через время t1 Рис.3 Введем
далее следующие обозначения: N - количество последовательных событий
обслуживания узла (замен); T(N) - длина соответствующего временного интервала; S(N)
- суммарная стоимость N событий. Используя
рис.3 и определение вероятности события, легко показать, что = NP1s1+NP2s2, (2) = (3) где
Из
(2) и (3) получаем предварительный вид I - искомой средней интенсивности затрат
на обслуживание узла: (4) Теперь
необходимо получить явный вид Выделим
из реального процесса (см. рис.1) последовательность интервалов (5) Выпишем
условия, задающие (6) (7) -
для любых Условие
(6) очевидно. Условие (7) может потребовать отдельного разъяснения: оно
определяется тем, что поведение узла не зависит от того, какое подмножество
реального процесса мы рассматриваем (рис.4). Определяя
из (6) и (7) явный вид (8) Мы
получили явный вид (9) Очевидно,
что задачу 1 можно дополнить требованием указать возможные способы определения
оптимального Задача
2. Найти
оптимальное значение Решения
задачи 2 Поскольку
s0 - параметр задачи, а сумма интегралов числителя в (9) - тождественная
единица, задача сводится к исследованию на минимум функции (10) Достаточно,
таким образом, решить относительно (11) Поскольку
(см. рис.2) знаменатель в (10) всегда положителен, для решения (11) достаточно
знания основных правил дифференцирования и умения дифференцировать определенный
интеграл по одному из его пределов. В результате (11) легко сводится к
уравнению т.
е. (12) где
Мы
"строго доказали" известный практический рецепт: лампочки заменяют по
потребности [2]. Эта рекомендация, конечно, не нуждается в математическом
обосновании - мы проверили здесь справедливость (9) в тривиальном случае s1=s2.
Заметим, что из элементарных соображений можно легко получить и левую границу (13) Пример:
при фиксированном s1 и монотонно возрастающем s2 цена последствий отказа рано
или поздно становится неприемлемой ( на практике при s2>>s1 принимается На
последнем этапе курсовой работы полезно обсудить ее возможное развитие в
реальную задачу обслуживания. Так, например, исходные данные необходимо по
меньшей мере дополнить следующими: t1 - время плановой замены узла
машины; t1 - время замены узла машины в случае отказа; s3 - стоимость
единицы времени, в течение которого машина неисправна, т.е. не участвует в
выполнении некоторой внешней задачи - например, перевозке грузов. Бабичева
И.В. Курсовая работа по математике в военно-инженерном вузе как средство
обеспечения государственных образовательных стандартов: Материалы
научно-практической конференции "Естественные науки в военном деле".
Омск: ОТИИ, 1999. Методика
использования статистических данных о надежности машин / Академия бронетанковых
войск. М., 1975. Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.omsu.omskreg.ru/
после
очередной плановой замены или после очередного отказа
. -
Принимаемая здесь стратегия, разумеется, не универсальна. Следует оговорить,
что она не обеспечивает, например, необходимого во многих задачах обслуживания
уравнивания технических состояний узлов группы машин.
и назначаемого
.
. (Предлагаемый
критерий I, конечно, далеко не полон - как и исходные данные, в которые
следовало бы включить, например, конечное время замены узла. Обсуждение
соответствующей полной задачи может быть вынесено в анализ результатов
решения).
- плановая
замена узла;
- замена после
отказа узла;
- параметр
процесса;
.
- назначаемый
нами параметр, а
- случайная
величина - продолжительность безотказной работы узла после очередной замены
(Рис.2).
Рис.2
с вероятностью P2=1-P1 в состояние s2 через
время t2
-
математическое ожидание случайной величины
.
. В смысле
физического понимания процесса обслуживания и необходимой математической
техники это наиболее сложная для курсанта промежуточная задача. Однако и для ее
решения не требуется знаний, выходящих за пределы стандартного курса
математики.
, т.е.
интервалов, завершающихся отказом. Обозначим затем через
плотность
вероятности продолжительности безотказной работы узла при условии его отказа в
интервале
. Из
определения математического ожидания
:
из
.
Рис.4
, подставляя
его в (5) и преобразуя, получаем
- средней
продолжительности безотказной работы узла при условии его отказа в интервале
. Подставляя
(8) в (4) и преобразуя, получаем окончательно
,
обеспечивающего при данных s1,s2 и
минимум I .
(например, из условия
) Требование
получить соответствующую расчетную формулу представляется здесь чрезмерным.
Однако находится достаточно эффектный и, как нам представляется, методически
результативный ход, позволяющий курсанту без больших технических затруднений
"поверить" в полученный результат. Для этого можно ослабить одно из
ограничений задачи 1:
, обеспечивающее
минимум средней интенсивности затрат I для случая s1=s2=s0.
уравнение
- оптимальное
значение
.
:
, а узел
резервируется). Таким образом, (12) и (13) формализуют два крайних, но
чрезвычайно распространенных варианта исследуемой стратегии обслуживания :
"ждать до отказа" (
и
"исключить отказ"
.
Список литературы