Имитационное моделирование транспортных сетей

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

  РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение  высшего профессионального образования

«ГОРНО-АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Экономический факультет

Кафедра бухгалтерского учета и информационных систем в экономике

РЕФЕРАТ

По курсу «Имитационное моделирование»

Имитационное моделирование транспортных сетей

Выполнил: студент

4 курса 829 группы

Шахов А.В.

Научный руководитель:

к.ф-м.н., доцент

Раенко Елена

Александровна

Горно-Алтайск 2012

Содержание

Введение…………………………………………………………………………3

1 Имитационное моделирование транспортных потоков как составной элемент автоматизированной системы проектирования дорог……………...5

1.1.  Системный подход к проектированию……………………………….…..5

1.2. Стадии процесса проектирования…………………………………………8

2 Проектирование и моделирование автомобильных дорог на основе САПР АД………………………………………………………………………….…… 10

Заключение………………………………………………………………………21

Список литературы………………………………………………………………22

Введение

В современных условиях высоких темпов автомобилизации все большее значение приобретают ускорение темпов дорожного строительства, повышение эффективности транспортной работы автомобильных дорог в проекте организации движения. Большое практическое значение приобретает повышение качества разработки проектов и моделей  автомобильных дорог. При этом ставятся задачи снижения стоимости проектов автомобильных дорог и сокращения сроков их подготовки. Решение этих задач возможно только при широком внедрении в практику вариантного проектирования автомобильных дорог и имитационного моделирования, которое практически невозможно без широкой автоматизации проектирования на основе ЭВМ.

Применение ЭВМ позволяет не только значительно повысить качество проектных решений, но и существенно уменьшить трудоемкость работ и сроки разработки проектов.

Автоматизация моделирования дорог с помощью ЭВМ позволяет: автоматизировать вычислительные работы (например, подочет объемов земляных и укрепительных работ, расчет отверствий труб, мостов и др.); широко использовать технико-экономическое проектирование и оценку разных вариантов проектных решений; существенно повысить точность расчетов и использовать методы проектирования, требующие высокой точности расчетов.

В настоящее время в ведущих дорожных  проектных организациях объем автоматизированного проектирования и моделирования составляет от 85%  общего объема работ проектирования.

Низкий уровень развития сети автомобильных дорог России является существенным сдерживающим фактором роста рыночной экономики, при которой автомобильный транспорт играет доминирующую роль. Разработанная и принятая к реализации "Транспортная стратегия Российской Федерации на 2002-2010 г.г." должна была улучшить состояние дел на транспорте и, в первую очередь, в дорожном хозяйстве, но к сожалению на данный момент остается еще много проблемных зон в транспортном вопросе.

Высокие требования, которые предъявляет современный автомобильный транспорт к качеству автомобильных дорог, могут быть реализованы лишь при системном подходе, как к самому процессу проектирования, так и к последующим этапам реализации результатов этого проектирования путем моделирования: строительству и эксплуатации.

В настоящее время проектирование, а в последующем моделирование автомобильных дорог выполняется с широким применением автоматизированных процедур, начиная от сбора и обработки геодезической информации и заканчивая подготовкой чертежей и сметных расчетов. Автоматизация проектирования занимает особое место среди информационных технологий, являясь синтетической дисциплиной, включающей множество информационных элементов: от вычислительных сетей и телекоммуникационных технологий до передовых методов вычислительной математики и средств моделирования трехмерной виртуальной реальности.

Автомобильные дороги относятся к разряду капиталоемких линейно-протяженных инженерных объектов, изыскания, проектирование и моделирование которых представляет во времени и пространстве сложный и многодельный процесс. В отличие от других продуктов человеческой деятельности (одежда, жилье, механизмы, машины и др.) их невозможно тиражировать по образцу – каждый титул дороги уникален и неповторим, поскольку становится неотъемлемой и взаимодействующей частью (элементом) конкретного ландшафта.

Экономичность и оптимальность принимаемых проектных решений по автомобильным дорогам достигается как за счет творческого потенциала инженера-проектировщика, так и благодаря методам математического моделирования и оптимизации, применение которых возможно лишь в условиях системной автоматизации проектных работ.

Разработка первых программ автоматизации проектирования и моделирования автомобильных дорог за рубежом и в СССР относится к началу 60-х годов 20-го века и связана, в первую очередь, с проектированием, а в дальнейшем моделированием проектной линии продольного профиля.

Этап системной автоматизации проектных работ начался в 80-х годах. В этот период работы по созданию и внедрению САПР на базе единой системы (ЕС) ЭВМ были начаты во всех ведущих отраслях народного хозяйства. По автодорожному проектированию и моделированию головным разработчиком САПР был назначен проектный институт "Союздорпроект", который успешно и реализовал первую очередь САПР АД.

Эта система представляет собой большой комплекс взаимоувязанных программ, охватывающих все виды проектных, модельных работ- от проложения трассы дороги по карте или цифровой модели местности до составления смет и проектов организации работ

Важное место в той системе занимает оценка запроектированных, смоделированных вариантов трассы и продольного профиля с использованием  средних критериев как экономических, так и технических.

1 Имитационное моделирование транспортных потоков как составной элемент автоматизированной системы проектирования дорог.

1.1.        Системный подход к проектированию

Проектирование – это процесс создания описания, необходимого для построения в заданных условиях еще несуществующего объекта. Проектирование начинается при наличии выраженной потребности общества в объекте проектирования.

В основе действий проектировщика лежит некий способ или принцип. И если способ действия машины (компьютера) удается предвидеть достаточно точно, то выбор способа действия человека не является столь же определенным. В настоящее время, когда в проектировании все  более активно применяются компьютерная техника и технология, можно говорить о способах и действиях "человеко-машинных" систем. В основе осознанного рационального способа действия человека лежит метод.

Для существования метода необходимы:

·     правила поведения как описание способа действия;

·     осознание использования метода как основы действия;

·     строгое подчинение правилам поведения;

·     описание ситуаций, в которых целесообразен данный метод.

Анализируя проектную деятельность с позиции частного и общего, можно сказать, что в ее основе лежат:

действия – способы (принципы) – методы.

В зависимости от того, какие средства для реализации творческих действий применяет проектировщик, различают:

·     эвристические методы;

·     алгоритмические методы.

В эвристических методах определяющее значение имеют:

·     ассоциативные способности;

·     интуитивное мышление;

·     способы управления мышлением.

Эвристические методы основаны на использовании общих правил и рекомендаций. Они помогают при поиске различных понятий и утверждений, которые позволяют благодаря случайным или логическим ассоциациям открыть или создать абстрактное соотношение, способное дать решение задачи.

Алгоритмические методы основываются на алгоритме, который можно определить как последовательность указаний, касающихся процедур (операций), позволяющих решить задачу. Можно выделить логические алгоритмы и математические алгоритмы.

Проектирование может быть:

·     ручным – без применения компьютера;

·     автоматизированным – на основе взаимодействия человека и компьютера, когда  эвристические действия проектировщика дополняются вычислительным возможностями компьютера, реализованными посредством определенных алгоритмов;

·     автоматическим – без участия человека на промежуточных этапах проектирования.

Проектирование сложных технических объектов, к которым относятся и автомобильные дороги, выполняется, как правило, автоматизировано, то есть с помощью САПР – систем автоматизированного проектирования и моделирования (CAD – Computer Aided Design).

При проектировании и моделировании автомобильных дорог применяют блочно-иерархический подход, который заключается в декомпозиции проектных задач на иерархические уровни и установлении связей между этими уровнями. На данном этапе развития существующие САПР автомобильных дорог включают, как правило, следующие уровни:

·           формирование цифровых моделей местности зоны проектирования;

·         трассирование автомобильной дороги;

·         проектирование продольного профиля;

·        моделирование продольного профиля;

·        проектирование и моделирование поперечных профилей и дорожных одежд;

·        проектирование и моделирование искусственных сооружений и инженерно-сервисного обустройства дороги;

·         оценка проектных решений.

1.2.  Стадии процесса проектирования

В практике дорожного проектирования установлены следующие стадии работ.

Программа (концепция) развития сети автомобильных дорог, которая разрабатывается для определенной территории (региона, страны) и определяет последовательность развития дорог для обеспечения транспортной потребности населения на период 5-10 и более лет. При разработке программ используются специальные методики, базирующиеся на возможностях, в первую очередь, ГИС – геоинформационных систем (GIS – Geographic Information Systems). В настоящий момент развитие автомобильных дорог в Российской Федерации планируется на основе положений Программы "Транспортная стратегия Российской Федерации на 2002-2010 г.г.".

Обоснование инвестиций (ОИ) является основным предпроектным документом, обосновывающим целесообразность строительства (реконструкции) автомобильной дороги, ее  техническую категорию с учетом прогнозируемой интенсивности движения, выбор оптимального проложения трассы  и сроков ее строительства, а также стадийность и очередность этого строительства (реконструкции). Разработка ОИ осуществляется, как правило, на объекты, включенные в утвержденные федеральные и региональные целевые программы развития сети автомобильных дорог.  При разработке ОИ широко применяют геоинформационные технологии: как ГИС, так и САПР.

ОИ в строительство или реконструкцию дорог включает следующий комплекс инженерных работ:

·     сбор исходных данных;

·     рекогносцировочные обследования;

·     анализ и прогноз транспортных потоков;

·     проектные проработки с необходимым объемом инженерно-изыскательских работ;

·     экономические и экологические (ОВОС) расчеты;

·     определение социально-экономической и экологической эффективности проекта;

·     текстовые, табличные и графические материалы по обоснованию проектных решений.

Последующее проектирование выполняется на основании решений, принятых и утвержденных в ОИ, обосновывающих хозяйственную необходимость и экономическую целесообразность строительства (реконструкции) автомобильной дороги.

Порядок разработки проектно-сметной документации в одну стадию – инженерный проект или в две стадии – проект и рабочая документация, также определяется в ОИ. В одну стадию проектируют технически не сложные и не капиталоемкие объекты, а также объекты, сооружение которых будет осуществляться по типовым и повторно применяющимся проектным решениям.

Рабочая документации для строительства (реконструкции), как правило, содержит:

·     рабочие чертежи, разрабатываемые в соответствии с государственными стандартами  системы проектной документации (СПДС);

·     ведомости объемов строительных и монтажных работ;

·     сборники спецификаций оборудования, необходимого для реализации проекта;

·     сметная документация.

Основанием для выполнения проекта служит Задание на его разработку. В Задании должны быть отражены следующие положения:

·     основание для проектирования (перечень целевых программ и ОИ);

·     начало и конец проектируемого участка дороги;

·     перечень и объем инженерных изысканий, полнота проектно-технических решений, перечень согласующих проект государственных и общественных органов;

·     основные технические параметры проектируемого объекта (категория дороги, расчетная нагрузка, параметры земляного и проезжей части, тип дорожной одежды, специальные и особые требования;

·     требования  к составу работ, содержанию и оформлению проекта.

Если речь идет о новом объекте проектирования, то выполняется проект строительства автомобильной дороги. В то же время для действующих дорог, в процессе их эксплуатации периодически возникает потребность повторного проектирования с целью их реконструкции, модернизации или ремонта. Следует отметить, что в зависимости от стадии проектирования, капитальности объекта проектирования и глубины проектных преобразований объекта, методы и информационно-инструментальные средства проектирования могут существенно различаться.

Технология автоматизированного проектирования относится, в первую очередь, к этапу проекта (инженерного проекта) строительства (реконструкции) автомобильных дорог.

1.3.        Проектирование и моделирование автомобильных дорог
на основе САПР АД

Рынок IT-технологий предлагает множество программных продуктов класса САПР, которые различаются между собой по комплексности, удобству интерфейса, соответствию сложившемся технологиям проектирования и пр. Выбор наиболее приемлемых программ для  проектирования и моделирования дорог целесообразно вести, в первую очередь, среди перечня сертифицированных программных средств.

С 1999 году, в соответствии с Распоряжением Госстроя РФ "О сертификации программных средств", всем организациям, выполняющим проектно-изыскательские работы для строительства, а также осуществляющим экспертизу проектов на строительство объектов различного назначения,  рекомендовано использовать сертифицированные программные продукты. В этом же Распоряжении рекомендовано организациям – разработчикам программных средств (как отечественным, так и зарубежным) осуществлять сертификацию программной продукции на соответствие требованиям нормативных документов, действующих на территории РФ.

Далее рассмотрим сертифицированные САПР автомобильных дорог, зарегистрированных в перечне фонда программных средств Гоcстроя РФ по состоянию на начало 2004 года.

САПР АД PLATEIA (в переводе с древнегреческого – дорога, путь)разрабатывается с начала 90-х годов словенской фирмой CGS. PLATEIA использует в качестве графического ядра AutoCAD и состоит из модулей: Местность, Оси, Продольный профиль, Поперечные сечения, Транспорт.

Модуль Местность (Layout) – набор инструментов для работы с ЦММ и картами. Модуль обладает средствами импорта данных из электронных геодезических тахеометров и из файлов различных форматов. На основе этих данных Layout генерирует трехмерную модель рельефа, которую можно импортировать в специализированные программы визуализации и в ГИС (AutoCAD Map, Autodesk World).

Модуль Ось (Axes) позволяет трассировать осевые линии проектируемой дороги. Трассирование выполняется с помощью прямых, круговых и переходных кривых. В модуле Axes хорошо развит блок контроля параметров проектируемой трассы в соответствии с заданной категорией дороги и расчетной скоростью движения.

Модуль Продольный профиль (Longitudinal Sections) включает инструменты формирования проектной линии, водоотводных канав и приближенного расчета объемов земляных масс. Расчет проектной линии осуществляется по методу тангенсов.

Рис. 1. Система Plateia в среде AutoCAD 2000

Модуль Поперечные сечения (Cross Sections) позволяет производить параметрическую отрисовку откосов, канав, растительного слоя, слоя подсыпки и др. Построение поперечников обеспечивает возможность точного расчета объемов всех элементов земляного полотна дороги.

Модуль Транспорт (Traffic) – это набор инструментов для проектирования пересечений, разметки дорожных знаков. Уникальная функция Динамическая траектория (Dynamicle Vehicle Curves) позволяет в интерактивном режиме анализировать траектории движения транспорта с учетом их габаритов и заносов на поворотах.

Российским дистрибьютором, осуществляющим распространение и поддержку программы PLATEIA, является компания "Прин".

Программа PYTHAGORASбыла создана бельгийской фирмой ADW Software в 1992 году и названа в честь греческого математика и философа Пифагора, чья одноименная теорема положила начало базовым геодезическим принципам. PYTHAGORAS, в первую очередь, это программа для подготовки высококачественных чертежей  на основе принципов координатной геометрии. Благодаря хорошо развитому  пакету обработки данных геодезии PYTHAGORAS востребован при выполнении инженерно-геодезических работ, составлению топографических и кадастровых планов, а также в дорожном проектировании и ГИС-приложениях.

Рис. 2 Система PYTHAGORAS – общий вид

Программа имеет простой и дружественный интерфейс. Рабочая область программы разделена на три основные части: окно чертежа, в котором выполняются построения; главное меню, содержащее простые и комплексные процедуры; панель управления, на которой отображается необходимая для работы информация и набор кнопок  для быстрого вызова чертежных и вычислительных функций.

PYTHAGORAS обладает открытой архитектурой. Эта открытость реализуется посредством создания макросов на языке программирования VBA (Visual Basic for Application).

К недостаткам программы можно отнести отсутствие возможности корректировать триангуляционные поверхности посредством структурных линий, что существенно снижает точность построения таких поверхностей.

Поддержку русскоязычной версии программы PYTHAGORAS осуществляет московская компания Прин.

САПР АД MXRoad является одним из модулей семейства продуктов MX от фирмы Infrasoft (США). Помимо MXRoad в состав модулей входит система моделирования железных дорог и их инфраструктуры (MXRail), система планировки земельных участков под застройку (MXSite), система моделирования модернизации и ремонта улиц и дорог (MXRenew) и редактор подготовки проектной документации (MXDraw).

В начале 90-х годов этот программный продукт, но под маркой английской компании MOSS, чьи технологии впоследствии были приобретены компанией Infrasoft, позиционировался на российском рынке. Но тогда он не получил широкого распространения как из-за высокой стоимости, так и из-за плохой адаптации к требованиям российских нормативных документов. Следует также отметить, чтоInfrasoft в 2003 г. вошла в состав компании Bentley Systems, одного из мировых лидеров в разработке программ класса САПР и ГИС.

Рис. 3. САПР MXRoad – элементы примыканий

В настоящее время программы серии MX полностью совместимы с MS Windows и способны работать с Windows либо как самостоятельные приложения, либо  в среде наиболее популярных САПР AutoCAD и MicrоStation.  MX в AutoCAD и MX в MicrоStationпривносят новые возможности в 3D-моделирование, которые обеспечиваются за счет использования последних достижений объектно-ориентированной технологии. MX-модели, созданные в одной среде, могут быть открыты и использованы без какой-либо трансляции в другой среде.

Главной концепцией, которая лежит в основе продуктов MX, является моделирование стрингами (струнами). Струны – эта трехмерные ломаные линии, которые представляют собой модель проектируемого объекта. Каждая струна должна иметь свое наименование  и быть связана с определенными характеристиками.

MXRoad обеспечивает:

1.     ввод исходных данных и их анализ;

2.     моделирование дороги с помощью динамического 3D-трассирования;

3.     использование 3D-осевых линий для определения всех элементов проезжей части дороги и обочин;

4.     автоматический расчет виражей и приведение уклонов виража в соответствие с местными стандартами;

5.     автоматическое моделирование перекрестков;

6.     проектирование земляных работ;

7.     интерактивное изменение поперечных сечений;

8.     моделирование дорожных одежд;

9.     подсчет объемов дорожных работ;

10.     автоматическая подготовка чертежей и визуализация.

Подготовку русскоязычной версии системы MXRoad осуществлял Иркутский государственный университет, а поддержку и распространение этой программы обеспечивает компания EMT.

САПР АД CREDO  развивается с 1989 г.  в научно-производственном объединении (НПО) Кредо-Диалог (Минск). Изначально это был пакет программ по проектированию ремонта дорожных покрытий. Название этой системы моделирования  сохранилась с тех времен по аббревиатуре слов: Капитальный РЕмонт Дорожных Одежд.

Руководителю НПО "Кредо-Диалог" Жуховицкому Г.Л. удалось создать сильный творческий коллектив специалистов дорожной отрасли из России, Украины, Белоруссии. Над разработкой системы работали и продолжают работать к.т.н. Величко Г. В. (генеральный конструктор), д.т.н. Филиппов В. В., к.т.н. Пигин А. Н.и др.

Рис. 4. САПР "Дороги" от НПО Кредо-Диалог

Система с самого начала была ориентирована на эксплуатацию в производственных условиях и получила широкое распространение ни только в дорожных проектных организациях, но и в организациях других отраслей, занимающихся проектированием и моделированием линейно-протяженных объектов (нефтегазовая, электроэнергетическая), а также при проектировании генеральных планов в промышленном и гражданском строительстве.

В 1999 г. Кредо-Диалог приступила к разработке системы CREDO 3-го поколения под управлением ОС Windows. Однако на начало 2004 г. эта работа еще не была завершена. Ряд модулей системы, в том числе и по моделированию дорог, до сих пор существует лишь в DOS-версии, что в значительной мере ослабляет позиции этой системы на рынке программных средств.

Но вклад системы CREDO в моделирование дорог трудно переоценить, поскольку именно с этой системы во многих дорожных  организациях начался процесс комплексной автоматизации работ. А многие расчетные схемы и алгоритмы системы CREDOи сегодня оцениваются, как новаторские и взяты на вооружение другими разработчиками программных средств.

В состав системы CREDO 3-го поколения вошли 4 подсистемы (ТОПОПЛАН, ЛИНЕЙНЫЕ ИЗЫСКАНИЯ, ГЕНЕРАЛЬНЫЙ ПЛАН, ДОРОГИ) и ряд пакетов прикладных программ (моделирование индивидуальных знаков, расчет нежесткой дорожной одежды и др.).

САПР АД IndorCAD/Road  развивается с начала 90-х годов. До 2003 г. система разрабатывалась в Инженерном дорожном центре "Индор" (г. Томск) и называлась ReCAD (по аббревиатуре слов РеКонструкция Автомобильных Дорог). На начальном этапе развития система ReCAD представляла собой исследовательскую систему, на которой отрабатывались новые подходы и алгоритмы автоматизированного моделирования автомобильных дорог.

В 2001 г. была завершена разработка системы ReCAD 3-го поколения под управлением ОС Windows, которая была анонсирована и сертифицирована как программный продукт для массового применения. С этого времени система ReCAD широко применяется в производственной практике в России и в странах СНГ.

Рис. 7. Система IndorCAD/Road в режиме полиэкрана

В марте 2003 г. система ReCAD была передана для дальнейшего развития в специализированную фирму по разработке программного обеспечения "ИндорСофт. Инженерные сети и дороги", которая наряду с системами автоматизированного проектирования разрабатывает и геоинформационные системы. В этот период система ReCAD была переименована в системуIndorCAD/Road. IndorCAD, подобно MX, является ядром для целой линейки САПР объектов транспортного, промышленного и гражданского строительства, в которую помимо RoAD (Автомобильные дороги), также входят Topo (Топография), Rail (Железные дороги), Pipe (Трубопроводы), Site (Генеральные планы)

Теоретические основы, а также расчетные схемы и алгоритмы для системы IndorCAD/Road были разработаны д.т.н. Бойковым В. Н., д.т.н. Федотовым Г. А., д.т.н. Скворцовым А. В., д.ф.-м.н. Шумиловым Б. М., к.т.н. Крысиным С. П., инженерами Люстом С. Р., Петренко Д. А. (генеральный конструктор), Перфильевым А. В. и др.

Система IndorCAD/Road позволяет проектировать и моделировать автомобильные дороги всех категорий на стадии их строительства, реконструкции, модернизации и ремонта. В основу идеологии системы положены, в первую очередь, расчетные схемы для реконструкции дорог. Новое строительство здесь понимается как частный случай реконструкции, то есть в отсутствии фактора учета элементов существующей дороги.

В системе реализован принцип единой модели дороги и, как следствие, любые изменения в одной из проекций дороги (план, продольный и поперечный профили) приведут к немедленным изменениям в других проекциях. Такой подход позволяет получать непротиворечивые проектные решения, дает возможность одновременно корректировать все проекции моделируемого объекта и обеспечивает организацию коллективной работы над одним проектом.

Система автоматизированного проектирования и моделирования автомобильных дорог IndorCAD/Road совместно с системой подготовки чертежейIndorDraw является универсальным программным комплексом по проектированию и моделированию автомобильных и городских дорог.

Сравнительный анализ систем проектирования и моделирования транспортных сетей

Таблица 1 Сравнительный анализ систем моделирования

Заключение

Таким образом, можно сделать вывод, что  автомобильные дороги относятся к разряду капиталоемких линейно-протяженных инженерных объектов, изыскания и проектирование которых представляет во времени и пространстве сложный и многодельный процесс. В отличие от других продуктов человеческой деятельности (одежда, жилье, механизмы, машины и др.) их невозможно тиражировать по образцу – каждый титул дороги уникален и неповторим, поскольку становится неотъемлемой и взаимодействующей частью (элементом) конкретного ландшафта.

Экономичность и оптимальность принимаемых проектных решений по автомобильным дорогам достигается как за счет творческого потенциала инженера-проектировщика, так и благодаря методам математического моделирования и оптимизации, применение которых возможно лишь в условиях системной автоматизации проектных работ а так же эффективного программного обеспечения.

Список литературы

1.       Бабков В.Ф., Андреев О.В. Проектирование автомобильных дорог. Ч. 1: Учебник для вузов. – Изд. 2-е, перераб. и доп. – М.: Транспорт, 1987. – 368 с.

2.       Бабков В.Ф. Ландшафтное проектирование и моделирование автомобильных дорог. – М.: Транспорт, 1980. – 189 с.

3.       Бабков В.Ф. Дорожные условия и безопасность движения. – М.: Транспорт, 1988. – 288 с.

4.       Бойков В.Н. Оптимизация трассы в плане при реконструкции автомобильных дорог // Методы реконструкции автомобильных дорог. – М.: МАДИ, 1989. – С. 5-11.

5.       Бойков В.Н., Шумилов Б.М. Сплайны в трассировании автомобильных дорог. – Томск: Изд-во ГУ Томский ЦНТИ, 2001. – 164 с.

6.       Величко Г.В., Филиппов В.В. CREDO III. Особенности трассирования в системе дороги // Автомобильные дороги. – 2004. – №5. – C. 46-50.

7.       Голубин В.Ю. Моделирование трассы с использованием сплайн-функций // Совершенствование методов проектирования автомо­бильных дорог. – М.: МАДИ, 1986. – C. 68-76.