Граничные условия на стыке двух диэлектриков. Теорема о циркуляции

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Любая граница раздела двух сред может считаться плоской на достаточно малом участке. Кроме того, в пределах достаточно малого участка поле векторов , , можно считать однородным на каждой из сторон. Составляющие указанных векторов Dn, En, Pn, перпендикулярные к границе, называются нормальными, а , , , параллельные границе, - тангенциальными компонентами.

На незаряженной границе двух диэлектриков нормальные и тангенциальные компоненты преобразуются следующим образом:

Левое соотношение получается из теоремы Гаусса, примененной к области в форме очень тонкого параллелепипеда, серединной плоскостью которого является граница раздела диэлектриков. Для получения второго соотношения привлекается теорема о циркуляции

Контуром служит узкая прямоугольная рамка, плоскость которой перпендикулярна к границе раздела, рассекающей рамку пополам. Левая часть равенства есть , а правая равна нулю из электростатического уравнения Максвелла (). Эаметим, что теорема о циркуляции - это математический закон, применимый к любому векторному полю, как и теорема Гаусса.

Задача. Плоскость xy представляет собой границу раздела диэлектрик с проницаемостью ε1 (z<0) - воздух (z>0). Напряженность электрического поля в воздухе составляет E2, а вектор составляет угол θ с осью z и не имеет y-компоненты. Найти , в обеих средах и поверхностный связанный заряд. Вычислить также циркуляцию вектора по прямоугольному контуру длины L, лежащему в плоскости xz.

Решение: По условию,

откуда сразу

По правилам преобразования нормальных и тангенциальных компонент,

С учетом общего соотношения , получаем:

Теперь можно полностью выписать в диэлектрике:

Поляризованность в воздухе отсутствует, а в диэлектрике:

При вычислении поверхностного связанного заряда нужна только нормальная компонента, а именно:

Вычисление циркуляции вектора даст

Знак выбирается в зависимости от напрaвления обхода контура. Заметим, что если бы мы считали циркуляцию , то получили бы ноль. Так как мы знаем с обеих сторон плоскости xy, (в области z<0 ) можно записать окончательный ответ для циркуляции:

Проверка выполнения законов преобразования компонент и на границе служит в некоторых случаях дополнительным "тестом" на корректность того или иного решения.

Задача. Часть площади плоского конденсатора заполнена диэлектриком ε1, другая часть ε2. Найти , в обеих частях конденсатора при приложении напряжения U. Расстояние между обкладками d.

Ответ:  всюду; и в 1-й и 2-й частях, соответственно. Направление полей - всюду перпеидикулярно плоскостям обкладок.

Комментарий: граница раздела диэлектриков перпендикулярна обкладкам. По обе стороны этой границы поле параллельно границе и одинаково по величине: нормальная к данной границе составляющая при этом вообще отсутствует. Таким образом, выполнено условие для тангенциальных компонент вектора .

Обобщение данной задачи: пусть в плоском конденсаторе с обкладками x1 и x2, проницаемость изменяется как . Тогда эквипотенциалями являются плоскости x = const. Плотность заряда обкладки такого конденсатора зависит от координат; cуммарный же заряд равен

Частный случай - ε меняется только в направлении, перпендикулярном полю (например, кусочно). Аналогичную ситуацию можно рассмотреть в сферическом и цилиндрическом конденсаторах ( или ).

Задача. В вакууме на расстоянии l от плоской границы с диэлектриком проницаемости ε расположен небольшой шарик, заряженный зарядом q. Найти поверхностную плотность связанного заряда на границе раздела как функцию расстояния r от проекции центра шарика на плоскость.

Решение Вводим систему координат таким образом, что ось z перпендикулярна плоскости раздела сред xy. Тогда заряд q имеет координаты (0, 0, z).

Будем искать решение в виде

Значок 1 отвечает полупространству, в котором находится заряд.

Потенциал указанного вида подчиняется уравнению Пуассона. Действительно, для полупространства без заряда Δφ2 = 0, так как особенность функции φ2(z, r) находится вообще вне этого полупространства. Что касается φ1(z, r), то , поскольку первый член в точности соответствует потенциалу точечного заряда, а второй дает ноль, так как его особенность не попадает в полупространство содержащее заряд. Заметим, что, если бы полупространство с зарядом было заполнено диэлектриком (ε1), то это ε1 следовало бы поместить в знаменатель первого члена выражения для φ1.

Найдем z-компоненту поля, соответствущую введенному потенциалу:

Поскольку z-компонента является нормальной компонентой к границе раздела, для нее должно быть выполнено условие Dz1 = Dz2, то есть

Помимо этого требования, необходимо обеспечить непрерывность потенциала, а именно

Два вышеуказанных условия приводят к соотношениям

из которых имеем

Поверхностный связанный заряд найдется как

Проинтегрировав σ" по площади, получаем полный связанный заряд

Список литературы

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://edu.ioffe.ru/r