Длина дуги кривой в прямоугольных координатах

Контрольная работа

По дисциплине:

«Высшая математика»

 

Тема:

 

«Длина дуги кривой в прямоугольных координатах»

1. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу

Сформулируем следующее свойство определенных интегралов:

Пусть функция  непрерывна на . Составим для нее определенный интеграл . Пусть для определенности  на всем отрезке. Тогда с геометрической точки зрения составленный интеграл не что иное, как площадь криволинейной трапеции с основанием , которая ограничена линией .

Если в рассматриваемом интеграле заменить переменную интегрирования  на , то величина его, очевидно, не изменится. Поэтому в дальнейшем для удобства будем считать, что площадь трапеции определяется интегралом .

Величина определенного интеграла зависит от значений верхнего и нижнего пределов интегрирования, то есть от длины основания криволинейной трапеции. Рассмотрим поэтому теперь случай, когда нижний предел интеграла фиксирован и равен , а верхний может меняться, принимая значения , где . В этом случае определенный интеграл будет соответствовать площади криволинейной трапеции, величина которой меняется. Зависеть эта площадь будет от значения , то есть . Если  будет меняться непрерывно, то и площадь трапеции будет меняться непрерывно, то есть  – непрерывная функция, которую можно дифференцировать.

Теорема. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, у которой переменная интегрирования заменена этим верхним пределом, то есть  или .

Для вычисления производной проделаем все стандартные операции. Зададим приращение аргументу: , что, в свою очередь, приведет к приращению функции: . Так как , а , то приращение функции определяется выражением:

.

Применим к полученному выражению теорему о среднем в определенном интеграле:

, где .

Составим отношение . Чтобы получить производную , перейдем в составленном отношении к пределу: . Так как , то при стремлении  точка  будет стремиться к . Следовательно, вычисление предела приведет к выражению: .

Из доказанной теоремы следует, что  – это первообразная от , следовательно, определенный интеграл  также является первообразной от , и вычислять его, очевидно, необходимо с помощью тех же приемов, что и неопределенный интеграл.

2. Формула Ньютона–Лейбница

Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы представляет собой довольно сложную задачу и может быть выполнено лишь в некоторых наиболее простых случаях. Однако полученная в п. 1 связь между определенным интегралом и первообразной позволяет получить простой метод для вычисления этих интегралов.

Теорема. Если  какая-либо первообразная от непрерывной функции , то справедлива формула: .

В предыдущем пункте было показано, что  – это первообразная от функции . Но как было показано при изучении неопределенного интеграла, любая непрерывная функция имеет бесконечное множество первообразных, отличающихся друг от друга на постоянное слагаемое. Поэтому, если  какая-то другая первообразная от той же функции , то .

Оказывается, что в случае определенного интеграла постоянную  можно вычислить. Действительно, так как  может принимать любые значения между  и  (п. 1), то пусть . Тогда: . Но определенный интеграл с равными пределами равен нулю, следовательно, . Значит,

.

Положим теперь, что , тогда

.

Полученное выражение называется формулой Ньютона – Лейбница. Другая форма записи этого выражения следующая:

.

Обычно в полученных выражениях переменная интегрирования обозначается буквой .

Таким образом, чтобы вычислить определенный интеграл, необходимо найти любую первообразную от  и вычислить разность ее значений в верхнем и нижнем пределах интегрирования. Полученная простая формула позволяет легко находить решения многих математических и прикладных задач, связанных с вычислением определенного интеграла.

3. Замена переменной в определенном интеграле

При изучении неопределенного интеграла было показано (п. 5.4), что одним из наиболее часто встречающихся методов его вычисления является замена переменных. Так как вычисление определенного интеграла, согласно формуле Ньютона – Лейбница, также связано с нахождением первообразной, то метод замены переменной применим и в нем, однако при этом имеются некоторые особенности. В неопределенном интеграле замена переменной приводила в конце вычислений к обратной замене, в определенном же, оказывается, можно обойтись без этого.

Теорема. Если в определенном интеграле , где  непрерывна на , сделать замену переменной  и при этом:

1) , ;

2)  и  непрерывны на ;

3)  непрерывна на  и при изменении  от  до  не выходит за пределы отрезка ,

 

то .

Пусть  – какая-то первообразная от , тогда . Согласно формуле Ньютона – Лейбница, получим соответствующий определенный интеграл: . Но, как было показано в п. 5.4, в неопределенном интеграле можно сделать замену переменной , тогда . В этом случае соответствующий определенный интеграл будет иметь вид:

.

У обоих определенных интегралов правые части равны, следовательно, равны и левые части:

,

что и требовалось доказать.

Из доказанной теоремы следует, что при замене переменной в определенном интеграле должны поменяться пределы интегрирования, и обратная замена здесь уже не нужна, так как и при старой и при новой переменной в ответе получается одно и то же число.

4. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Пусть даны функции  и , которые непрерывны со своими производными на . Составим их произведение и продифференцируем его:

.

Возьмем от обеих частей полученного равенства определенные интегралы:

.

Но , , . Следовательно, , откуда: . Так же как и в неопределенном интеграле, данная формула требует правильного выбора множителей  и .

5. Длина дуги кривой в прямоугольных координатах

При вычислении длины кривой линии может быть использована та же методика, что и при вычислении площадей криволинейных трапеций, то есть кривую разбивают на такие малые участки, длину которых можно посчитать геометрическими методами.

Определение. Длиной дуги кривой линии называют предел, к которому стремится длина вписанной в нее ломаной линии при неограниченном увеличении числа ее звеньев и при стремлении длины наибольшего звена к нулю.

Итак, пусть кривая линия  описывается функцией  на отрезке . При этом пусть  непрерывна на этом отрезке вместе со своей производной . Разобьем кривую  на  частичных дуг точками . Соединив начало и конец каждой частичной дуги хордой, получим в результате вписанную ломаную линию, длина которой равна сумме длин ее звеньев:

.

Обозначим: , ,…, ,…, . Кроме того, , ,…, ,…, . В таком случае  можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного треугольника и поэтому

.

Согласно теореме Лагранжа о среднем

, где ,

следовательно,

.

Отсюда длина ломаной линии равна

.

Переходя к пределу в данной интегральной сумме, когда число звеньев ломаной стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю, получаем длину кривой линии в прямоугольной системе координат:

.

Данный интеграл существует, поскольку по условию производная  непрерывна.

Из полученной формулы можно получить выражение для дифференциала дуги, которое используется как в математике, так и в некоторых задачах теоретической механики. Пусть положение правого конца кривой линии является переменной величиной, тогда ее длина будет функцией точки, в которой она заканчивается, то есть

.

Возьмем производную данного интеграла по переменному верхнему пределу (п. 1.):

.

Отсюда следует, что

.

6. Длина дуги кривой при ее параметрическом задании

Рассмотрим теперь случай, когда кривая, длину которой необходимо вычислить, задана параметрически, то есть  при этом изменение  от  до  приводит к изменению  от  до . Пусть функции  и  непрерывны вместе со своими производными на отрезке  и при этом . Тогда , а . Подставим значение данной производной и дифференциала в формулу для длины дуги в прямоугольной системе координат (п. 5):

.

В случае пространственной кривой ее параметрическое задание будет выглядеть следующим образом:

Если указанные функции непрерывны вместе со своими производными на отрезке , то можно доказать, что длина данной кривой вычисляется по формуле

.

7. Длина дуги в полярной системе координат

Если кривая задана в полярной системе координат, то она описывается функцией , где . Пусть  непрерывна вместе со своей производной на отрезке .

Перейдем от полярной к прямоугольной системе координат: . Но так как , то получаем, что . Иначе говоря,  и  выражены через параметр , поэтому можно воспользоваться формулой для длины дуги при ее параметрическом задании (п. 6.):

Возведя в квадрат выражения в скобках и выполнив элементарные преобразования, получаем:

.

Обычно данную формулу записывают следующим образом:

.

8. Вычисление объемов тел по известным площадям поперечных сечений

Определенный интеграл в некоторых случаях может быть использован и для вычисления объемов тел. Это можно сделать, когда известны площади всех их поперечных сечений.

Пусть некоторое тело, объем которого необходимо определить, расположено вдоль оси  между точками  и . Пусть это тело обладает тем свойством, что известна площадь  его любого поперечного сечения плоскостью , то есть плоскостью, перпендикулярной оси . Так как в общем случае величина этого сечения будет меняться, то . В случае, если поверхность тела является гладкой, а тело сплошным, то  будет непрерывной функцией.

Разобьем отрезок  точками  на частичные отрезки и в каждой полученной точке проведем плоскость, перпендикулярную оси . Все тело при этом разобьется на слои, а его объем будет равен сумме объемов всех полученных слоев: .

Найдем приближенно величину объема -ого слоя . Для этого рассмотрим отрезок , длина которого равна . Возьмем некоторую точку  и проведем в ней секущую плоскость, перпендикулярную оси . Если  достаточно мало, то слой, соответствующий объему , можно практически считать прямым цилиндром с поперечным сечением равным . Но в этом случае, как и у кругового цилиндра, . Отсюда следует, что

.

Полученное выражение является интегральной суммой. Так как функция  по условию непрерывна, то предел этой суммы при  и  существует и равен определенному интегралу:

.

Итак, объем тела с известными поперечными сечениями равен:

.

9. Объем тела вращения

Рассмотрим теперь тело, полученное в результате вращения криволинейной трапеции вокруг оси . Пусть основанием этой трапеции является отрезок , расположенный на оси , и она ограничена непрерывной кривой . В этом случае в любом сечении полученного тела плоскостью, перпендикулярной оси , будет круг, радиус которого совпадает со значением функции  в данной конкретной точке. Поэтому площадь сечения будет равна .

Подставив данное выражение в формулу для объема тела с известными площадями поперечных сечений, приведенную в предыдущем параграфе, получим:

.

Если трапеция вращается вокруг оси , то должна быть задана функция  на отрезке . В этом случае объем тела вращения равен:

.

Литература

 

1.  Крищенко Александр, Канатников Анатолий Аналитическая геометрия: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений. Изд-во «Академия», 2009. – 208c.

2.  Макарычев Юрий Тригонометрия. Издательство: ПРОСВЕЩЕНИЕ, 2004. – 360 с.

3.  Потапов Михаил Задачи по алгебре, тригонометрии и элементарными функциями. Издательство: ЭКЗАМЕН XXI, 2008. – 160 с.

4.  Тоом А., Гельфанд И., Львовский С. Тригонометрия. МЦМНО, 2003. – 200 с.