Числові методи

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ

ЧЕРНІВЕЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМ. Ю. ФЕДЬКОВИЧА

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

з дисципліни " Числові методи "

Варіант 16.

Виконав

студент 2-го курсу

кафедри ЕОМ

Перевірив

м. Чернівці

Завдання 1

 

Задана СЛАР

а) розв^язати цю систему методом Гауса за схемою з частковим вибором головного елементу;

б)розв^язати цю систему за формулою

.

– вектор невідомих, – вектор вільних членів, – обернена матриця до матриці  з коєфіцієнтів при невідомих.

Обернену матрицю знай ти методом Гауса - Жордана за схемою з частковим вибором головного елемента.

Рішення.

а) Прямий хід методу Гауса.

()

Запишемо матрицю .

1-й крок.

Серед елементів першого стовпчика шукаємо максимальний:

  

Перше і друге рівняння міняємо місцями.

Розділимо рівняння (1) на 2.5

 (1)

Від рівняння (2) віднімемо 1.7Р1 .

 (2)

 (3)

Таким чином в кінці першого кроку отримуємо систему

2-й крок.

Порядок рівнянь зберігається.

  (2)

 (3)

Після другого кроку система рівнянь стала такою:

Зворотній хід.

З рівняння (3) ;

з рівняння (2)  ;

з рівняння (1)  ;

Для рішення системи лінійних рівнянь методом Гауса призначена програма Work1_1.

//------------------------------------------------------------

// Work1_1.cpp

//------------------------------------------------------------

// "Числові методи"

// Завдання 1

// Рішення системи лінійних рівнянь методом Гауса

#include

#include

#include

const int nMax=5; // максимальна кількість рівнянь

const float ZERO=.0000001;

int fGaus(float A[nMax][nMax],float B[nMax],int n,float X[nMax])

/* Функція розв"язує систему лінійних рівнянь методом Гауса за схемою з

частковим вибором головного елементу.

Вхідні дані:

A- масив з коефіцієнтами при невідомих;

В- масив з вільними членами СЛАР;

n- порядок матриці А(кількість рівнянь системи);

Вихідні дані:

Х- масив з коренями системи;

функція повертає код помилки:

0- сисетма успішно розв^язана;

1- матриця А вироджена. */

{float aMax,t; // максимальний елемент , тимчасова змінна

int i,j,k,l;

for(k=0; k

{aMax=A[k][k]; l=k;

for (i=k+1; i

if (fabs(A[i][k])>fabs(aMax))

{aMax=A[i][k];

l=i;}

// якщо модуль головного елементу aMax менший за програмний 0 (ZERO)

if ( fabs(aMax)

// якщо потрібно, міняємо місцями рівняння Pk i Pl

if ( l!=k)

{for( j=0; j

{ t=A[l][j]; A[l][j]=A[k][j]; A[k][j]=t; }

t=B[l]; B[l]=B[k]; B[k]=t;}

// ділимо k-те рівняння на головний елемент

for (j=0; j

B[k]/=aMax;

// обчислюємо коефіцієнти A[i][j] та вільні члени решти рівнянь

for (i=k+1; i

{t=A[i][k]; B[i]-=t*B[k];

for (j=0; j

} // for (k)

// Зворотній хід

for ( k=n-1; k>=0; k--)

{X[k]=0;

for (l=k+1; l

X[k]=B[k]-X[k];}

return 0;

} // fGaus()

void main()

{float A[nMax][nMax];

float B[nMax];

float X[nMax];

int n,i,j;

char *strError=" Error of file !";

FILE *FileIn,*FileOut;

FileIn=fopen("data_in.txt","r"); // відкриваємо файл для читання

if (FileIn==NULL)

{cout << " "Data_in.txt": Error open file or file not found !!! ";

goto exit;}

FileOut=fopen("data_out.txt","w"); // відкриваємо файл для запису

if (FileOut==NULL)

{cout << " "Data_out.txt": Error open file !!! ";

goto exit;}

if(fscanf(FileIn,"%d",&n)==NULL)

{ cout << strError; goto exit;};

for (i=0; i

for(j=0; j

fscanf(FileIn,"%f",&(A[i][j]));

for (i=0; i

if(fscanf(FileIn,"%f",&(B[i]))==NULL)

{ cout << strError; goto exit;}

if(fGaus(A,B,n,X)!=0)

{ cout << " det|A|=0 !"; goto exit;}

// Вивід результатів

for (i=0; i

{printf(" x[%d]= %f ",i+1,X[i]);

fprintf(FileOut," x[%d]= %f ",i+1,X[i]);}

fclose(FileIn);

fclose(FileOut);

exit: cout << " Press any key ...";

getch();}

Результат роботи програми:

x[1]= 3.017808 x[2]= 0.356946 x[3]= -0.302131

б) Знайдемо обернену матрицю .

0-й крок.

А  Е

1-й крок.

 

 

 ;

 

2-й крок.

 

 ;

 

3-й крок.

;  ;

 

.

Даний алгоритм рішення системи лінійних рівнянь реалізований в програмі Work1_2.

//------------------------------------------------------------

// Work1_2.cpp

//------------------------------------------------------------

// "Числові методи"

// Завдання 1

// Рішення системи лінійних рівнянь методом Гауса-Жордана

#include

#include

#include

const int nMax=5; // максимальна кількість рівнянь

const float ZERO=.0000001;

int fGausJordan(int n,float A[nMax][nMax],float Ainv[nMax][nMax])

/* Функція знаходить обернену матрицю

Вхідні дані:

A- масив з коефіцієнтами при невідомих;

n- порядок матриці А(кількість рівнянь системи);

Вихідні дані:

Ainv- матриця обернена до матриці А;

функція повертає код помилки:

0- помилки немає;

1- матриця А вироджена. */

{float aMax,t; // максимальний елемент , тимчасова змінна

int i,j,k,l;

// формуємо одиничну матрицю

for(i=0; i

for (j=0; j

Ainv[i][j] = (i==j)? 1. : 0.;

for (k=0; k

{// знаходимо мах по модулю елемент

aMax=A[k][k]; l=k;

for (i=k+1; i

if (fabs(A[i][k])>fabs(aMax))

{ aMax=A[i][k]; l=i; }

// якщо модуль головного елементу aMax менший за програмний 0 (ZERO)

if ( fabs(aMax)

// якщо потрібно, міняємо місцями рівняння Pk i Pl

if ( l!=k)

for( j=0; j

{t=A[l][j]; A[l][j]=A[k][j]; A[k][j]=t;

t=Ainv[l][j]; Ainv[l][j]=Ainv[k][j]; Ainv[k][j]=t;}

// ділимо k-й рядок на головний елемент

for (j=0; j

// обчислюємо елементи решти рядків

for (i=0; i

if( i!=k )

{t=A[i][k];

for (j=0; j

{A[i][j]-=t*A[k][j];

Ainv[i][j]-=t*Ainv[k][j];}}}

return 0;

} // fGausJordana()

void fDobMatr(int n, float A[nMax][nMax], float B[nMax],float X[nMax])

// функція знаходить добуток матриці А на вектор В і результат повертає в

// векторі Х

{int i,j;

float summa;

for (i=0; i

{summa=0;

for (j=0; j

{summa+=A[i][j]*B[j];

X[i]=summa;}}

} // fDobMatr

void main()

{float A[nMax][nMax],Ainv[nMax][nMax];

float B[nMax];

float X[nMax];

int n,i,j;

char *strError=" Error of file !";

FILE *FileIn,*FileOut;

FileIn=fopen("data_in.txt","r"); // відкриваємо файл для читання

if (FileIn==NULL)

{cout << " "Data_in.txt": Error open file or file not found !!! ";

goto exit;}

FileOut=fopen("data_out.txt","w"); // відкриваємо файл для запису

if (FileOut==NULL)

{cout << " "Data_out.txt": Error open file !!! ";

goto exit;}

if(fscanf(FileIn,"%d",&n)==NULL)

{ cout << strError; goto exit;};

for (i=0; i

for(j=0; j

fscanf(FileIn,"%f",&(A[i][j]));

for (i=0; i

if(fscanf(FileIn,"%f",&(B[i]))==NULL)

{ cout << strError; goto exit;}

if(fGausJordan(n,A,Ainv)!=0)

{ cout << " det|A|=0 !"; goto exit;}

fDobMatr(n,Ainv,B,X);

// Вивід результатів

for (i=0; i

{printf(" x[%d]= %f ",i+1,X[i]);

fprintf(FileOut," x[%d]= %f ",i+1,X[i]);}

fclose(FileIn);

fclose(FileOut);

exit: cout << " Press any key ...";

getch();}

Результат роботи програми:

x[1]= 3.017808 x[2]= 0.356946 x[3]= -0.302131

Завдання 2

 

Задана задача Коші

,

а) Знайти розв^язок  в табличній формі методом Рунге-Кутта:

, ,  .

б) Інтерполювати цю функцію кубічним сплайном. Систему рівнянь для моментів кубічного сплайну розв^язати методом прогонки. Вибрати крайові умови для кубічного сплайну у вигляді

.

в) Використовуючи кубічний сплайн з пункту б) обчислити  методом Сімпсона .

Взяти  (– кількість відрізків розбиття).

Рішення.

а) Метод Рунге-Кутта

Розрахунок будемо проводити за наступними формулами :

;

;

;

;

;

.

Цей алгоритм реалізовується в програмі Work2_1.

//------------------------------------------------------------

// Work2_1.cpp

//------------------------------------------------------------

// "Числові методи"

// Завдання 2

// Рішення задачі Коші методом Рунге-Кутта

#include

#include

#include

typedef float (*pfunc)(float,float); // pfunc - вказівник на функцію

const int nMax=5; // максимальна кількість відрізків розбиття

void fRunge_Kutta(pfunc f, float x0, float y0,float h, int n, float Y[nMax])

/* Функція знаходить табличне значення функції методом Рунге-Кутта

Вхідні дані:

f - функція f(x,y)

x0,y0 - початкова точка;

h - крок;

n- кількість точок розбиття;

Вихідні дані:

Y- вектор значень функції*/

{float k1,k2,k3,k4,x; // максимальний елемент , тимчасова змінна

int i;

x=x0; Y[0]=y0;

for (i=0; i

{k1=f(x,Y[i]);

k2=f(x+h/2, Y[i]+k1*h/2);

k3=f(x+h/2, Y[i]+k2*h/2);

k4=f(x+h, Y[i]+h*k3);

Y[i+1]=Y[i]+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);

x+=h;}}

float Myfunc(float x,float y)

{return log10(cos(x+y)*cos(x+y)+2)/log10(5);}

void main()

{float Y[nMax],h,x0,y0;

int n,i;

char *strError=" Error of file !";

FILE *FileIn,*FileOut, *FileOut2;

FileIn=fopen("data2_in.txt","r"); // відкриваємо файл для читання

if (FileIn==NULL)

{cout << " "Data2_in.txt": Error open file or file not found !!! ";

goto exit;}

FileOut=fopen("data2_out.txt","w"); // відкриваємо файл для запису

if (FileOut==NULL)

{cout << " "Data2_out.txt": Error open file !!! ";

goto exit;}

FileOut2=fopen("data2_2in.txt","w"); // відкриваємо файл для запису

if (FileOut==NULL)

{cout << " "Data2_2in.txt": Error open file !!! ";

goto exit;}

if(fscanf(FileIn,"%d%f%f%f,",&n,&h,&x0,&y0)==NULL)

{ cout << strError; goto exit;};

fRunge_Kutta(Myfunc,x0,y0,h,n,Y);

// Вивід результатів

for (i=0; i

{printf(" x[%d]= %4.2f ",i,Y[i]);

fprintf(FileOut," x[%d]= %4.2f ",i,Y[i]);

fprintf(FileOut2,"%4.2f ",Y[i]);}

fclose(FileIn);

fclose(FileOut);

exit: cout << " Press any key ...";

getch();}

Результат роботи програми (файл "data2_out.txt"):

x[0]= 1.00 x[1]= 1.05 x[2]= 1.10 x[3]= 1.14 x[4]= 1.18

б) В загальному вигляді кубічний сплайн виглядає наступним чином:

,

Параметри кубічного сплайну будемо обчислювати , використовуючи формули:

; ;

; , де

– моменти кубічного сплайну.

Моменти мають задовольняти такій системі рівнянь:

 .

Для  ; ; .

Якщо прийняти до уваги граничні умови , то систему можна записати так

  .

В даному випадку матриця з коефіцієнтів при невідомих є тридіагональною

 ,

тому для знаходження моментів кубічних сплайнів застосуємо метод прогонки.

На прямому ході обчислюємо такі коефіцієнти.

 ; ;

На зворотньому ході обчислюємо значення моментів кубічного сплайну.

; .

Для знаходження коефіцієнті вкубічного сплайну призначена програма Work2_2.

//------------------------------------------------------------

// Work2_2.cpp

//------------------------------------------------------------

// "Числові методи"

// Завдання 2

// Інтерполювання функції кубічним сплайном

#include

#include

#include

const int nMax=4; // максимальна кількість відрізків розбиття

const float x0=0.;// початкова точка сітки

const float h=0.1;// крок розбиття

// вектори матриці А

float a[]={0., 0.5, 0.5};

float b[]={2., 2., 2.};

float c[]={0.5, 0.5, 0.};

//void fMetodProgonku( int n,float a[nMax],float b[nMax],float c[nMax],float d[nMax], float M[nMax+1])

/* Функція знаходить моменти кубічного сплайну методом прогонки

Вхідні дані:

a,b,c -вектори матриці А ;

d - вектор вільних членів;

n- степінь матриці А;

Вихідні дані:

М- вектор моментів кубічного сплайну.*/

{float k[nMax],fi[nMax];

int i;

// прямий хід

for (i=0; i

{k[i] = (i==0)? -c[i]/b[i] : -c[i]/(b[i]+a[i]*k[i-1]);

fi[i] = (i==0)? d[i]/b[i] : (-a[i]*fi[i-1]+d[i])/(b[i]+a[i]*k[i-1]);}

//зворотній хід

for (i=n; i>0; i--)

M[i] = (i==n)? fi[i-1] : k[i-1]*M[i+1]+fi[i-1];}

void fSplain( int n,float h,float Y[nMax+1],float M[nMax+1],float Ak[nMax][4])

/* Функція обчислює коефіцієнти кубічного сплайну

Вхідні дані:

n- кількість відрізків розбиття;

H - крок розбиття відрізку [X0; Xn]]

М- вектор моментів кубічного сплайну.

Y- вектор значень функції f(x,y) в точках x[0],x[1],...x[n].

Вихідні дані:

Ak- матриця коефіцієнтів кубічного сплайну.*/

{int i;

for (i=0; i

{Ak[i][0] = Y[i];

Ak[i][1] = (Y[i+1]-Y[i])/h-h/6*(2.*M[i]+M[i+1]);

Ak[i][2] = M[i]/2;

Ak[i][3] = (M[i+1]-M[i])/6*h;}}

void main()

{float Y[nMax+1],d[nMax],M[nMax+1],Ak[nMax][4];

int n,i,j;

n=nMax;

M[0]=0; M[n]=0; //крайові умови

char *strError=" Error of file !";

FILE *FileIn,*FileOut,*FileOut2;

FileIn=fopen("data2_2in.txt","r"); // відкриваємо файл для читання

if (FileIn==NULL)

{ cout << " "Data2_2in.txt": Error open file or file not found !!! ";

goto exit; }

FileOut=fopen("data2_2ou.txt","w"); // відкриваємо файл для запису

if (FileOut==NULL)

{ cout << " "Data2_2ou.txt": Error open file !!! ";

goto exit; }

FileOut2=fopen("data2_3in.txt","w"); // відкриваємо файл для запису

if (FileOut2==NULL)

{ cout << " "Data2_3in.txt": Error open file !!! ";

goto exit; }

// читаємо вектор Y

for (i=0; i<=n; i++)

if(fscanf(FileIn,"%f,",&(Y[i]))==NULL)

{ cout << strError; goto exit;};

// обчислюємо вектор d

for (i=1; i

//fMetodProgonku(n-1,a,b,c,d,M);

fSplain( n,h,Y,M,Ak);

// Вивід результатів в тому числі і для наступного завдання

fprintf(FileOut2,"%d ",n); // n - кількість відрізків

// координати точок сітки по Х

for(float xi=x0,i=0; i

fprintf(FileOut2," ");

for (i=0; i

{for (j=0; j<4; j++)

{printf("a[%d,%d]= %4.4f ",i,j,Ak[i][j]);

fprintf(FileOut,"a[%d,%d]= %4.4f ",i,j,Ak[i][j]);

fprintf(FileOut2,"%4.4f ",Ak[i][j]);}

cout << endl;

fprintf(FileOut," ");

fprintf(FileOut2," ");}

fclose(FileIn);

fclose(FileOut);

exit: cout << " Press any key ...";

getch();}

Результат роботи програми (" data2_2uo.txt"):

a[0,0]= 1.0000 a[0,1]= 0.5104 a[0,2]= 0.0000 a[0,3]= -0.0104

a[1,0]= 1.0500 a[1,1]= 0.4793 a[1,2]= -0.3107 a[1,3]= 0.0118

a[2,0]= 1.0960 a[2,1]= 0.4525 a[2,2]= 0.0429 a[2,3]= -0.0068

a[3,0]= 1.1410 a[3,1]= 0.4407 a[3,2]= -0.1607 a[3,3]= 0.0054

в) Розіб^ємо відрізок  на  частин.

Складова формула Сімпсона буде мати вигляд:

;

де - крок розбиття, – значення функції  в точках сітки.

Замінимо  значеннями кубічних сплайнів із пункту б) цього завдання.

Для оцінки похибки використаємо правило Рунге. Для цього обчислимо наближені значення інтегралу з кроком  (), а потім з кроком  ().

За наближене значення інтегралу, обчисленого за формулою Сімпсона з поправкою по Рунге приймемо: .

//------------------------------------------------------------

// Work2_3.cpp

//------------------------------------------------------------

// "Числові методи"

// Завдання 2

// Обчислення інтегралу методом Сімпсона з використанням кубічного сплайну

#include

#include

#include

#include

// визначення сплайнового класу

class Tsplain

{public:

int kol; // кількість рівнянь (відрізків розбиття)

float ** Ak; // масив коефіцієнтів

float * Xi; // вектор початків відрізків

float vol(float x); // функція повертає значення сплайну в точці х

Tsplain(int k); // constructor};

Tsplain::Tsplain(int k)

{kol=k;

Xi=new float[kol];

Ak=new float*[kol];

for(int i=0; i

float Tsplain::vol(float x)

{float s=0.;

int i,t;

// шукаємо відрізок t де знаходиться точка х

for (i=0; i=Xi[i]) { t=i; break; }

s=Ak[t][0];

for (i=1; i

s+=Ak[t][i]*pow((x-Xi[t]),i);

return s;}

float fSimps(float down,float up, int n, Tsplain *spl)

/* Функція обчислює інтеграл методом Сімпсона з використанням кубічного сплайну

Вхідні дані:

down,up -границі інтегрування ;

n- число відрізків , на яке розбиваєтьться відрізок інтегрування ;

spl - вказівник на об^єкт класу Tsplain ( кубічний сплайн );

Вихідні дані:

функція повертає знайдене значення інтегралу.*/

{float s=0;

float h=(up-down)/(float)n;

int i;

s=spl->vol(down)+spl->vol(up-h);

for (i=2; i

s+=2*(spl->vol(down+i*h));

for (i=1; i

s+=4*(spl->vol(down+i*h));

return s*h;}

void main()

{int kol; // кількість рівняннь кубічного сплайну

float down,up;

float I1,I2,I,eps;

int n,i,j;

char *strError=" Error of file !";

FILE *FileIn,*FileOut;

FileIn=fopen("data2_3in.txt","r"); // відкриваємо файл для читання

if (FileIn==NULL)

{ cout << " "Data2_3in.txt": Error open file or file not found !!! ";

goto exit; }

FileOut=fopen("data2_3ou.txt","w"); // відкриваємо файл для запису

if (FileOut==NULL)

{ cout << " "Data2_3ou.txt": Error open file !!! ";

goto exit; }

// читаємо kol

if(fscanf(FileIn,"%d,",&kol)==NULL)

{ cout << strError; goto exit;};

Tsplain *sp;

sp=new Tsplain(kol);

// читаємо вектор Xi

for(i=0; iXi[i]));

// читаємо масив Ak

for (i=0; i

for (j=0; jAk[i][j]));

// читаємо n - кількість відрізків розбиття відрізку інтегрування

if(fscanf(FileIn,"%d,",&n)==NULL)

{ cout << strError; goto exit;};

down=sp->Xi[0];

up=sp->Xi[sp->kol-1]+(sp->Xi[sp->kol-1]-sp->Xi[sp->kol-2]);

I1=fSimps(down,up, n, sp);

I2=fSimps(down,up, 2*n, sp);

eps=(I2-I1)/15;

I=I2+eps;

// Вивід результатів

printf("I= %5.5f ",I);

printf("EPS= %5.5f ",eps);

fprintf(FileOut,"I= %5.5f ",I);

fprintf(FileOut,"EPS= %5.5f ",eps);

fclose(FileIn);

fclose(FileOut);

exit: cout << " Press any key ...";

getch();}

Результат роботи програми ("data2_3ou.txt")

I= 1.32213

EPS= 0.00004

 

Завдання 3

 

Знайти розв^язок системи нелінійних рівнянь

 ,

 

Рішення.

Умову завдання перепишемо наступним чином

 .

Приймаючи що  і  то коротко систему рівнянь можна записати так

.

Якщо відомо деяке наближення  кореня  системи рівнянь, то поправку  можна знайти рішаючи систему

.

Розкладемо ліву частину рівняння по степеням малого вектору , обмежуючись лінійними членами

   .

== – матриця похідних (матриця Якобі) ().

Складемо матрицю похідних (матрицю Якобі):

Якщо  , то  ,

де  – матриця обернена до матриці Якобі.

Таким чином послідовне наближення кореня можна обчислити за формулою

 або

.

Умовою закінчення ітераційного процесу наближення корення вибираємо умову

,

– евклідова відстань між двома послідовними наближеннями ;– число, що задає мінімальне наближення.

Для рішення систем нелінійних рівнянь за даним алгоритмом призначена програма

Work3.cpp

//------------------------------------------------------------

// Work3.cpp

//------------------------------------------------------------

// "Числові методи"

// Завдання 3

// Розв^язування системи нелінійних рівнянь методом Ньютона

#include

#include

#include

#include

#include "matrix.h"

const int N=2; // степінь матриці Якобі (кількість рівнянь)

typedef void (*funcJ) (float[N], float[N][N]);

void fJakobi(float X[N],float J[N][N])

// функції , які складають матрицю Гессе

{J[0][0]=cos(X[0]); J[0][1]=cos(X[1]);

J[1][0]=2*X[0]; J[1][1]=-2*X[1]+1;}

typedef void (*funcF) (float[N], float[N]);

void fSist(float X[N],float Y[N])

{Y[0]=sin(X[0])+sin(X[1])-1;

Y[1]=X[0]*X[0]-X[1]*X[1]+X[1];}

//int NelinSist(float X[N], funcJ pJakobi, funcF pSist,float eps)

/* Функція знаходить кореня системи нелінійних рівнянь методом Ньютона.

Вхідні дані:

X[N] - вектор значень початкового наближення

pSist - вказівник на функцію, яка обчислює по

заданим значенням X[] значення функції f(X) ;

pJakobi - вказівник на функцію, яка обчислює по

заданим значенням X[] елементи матриці W ;

Вихідні дані:

X[N] - вектор наближеного значення мінімуму.

Функція повертає код помилки

0 - система рівнянь успішно розв^язана

1 - det W=0 */

{int n=N;

float len;

float W[N][N],Winv[N][N],Y[N],deltaX[N];

do

{pJakobi(X,W);

if(invMatr(n,W,Winv)) return 1;

pSist(X,Y);

DobMatr(n,Winv,Y,deltaX);

X[0]-=deltaX[0];

X[1]-=deltaX[1];

len=sqrt(deltaX[0]*deltaX[0]+deltaX[1]*deltaX[1]);}

while (len>eps);

return 0;}

//int main()

{float X[N],eps;

// початкові умови

eps=.0001;

X[0]=0.0; X[1]=1.0;

if (NelinSist(X,fJakobi,fSist,eps))

{ cout << "Error of matrix: detW=0"; return 1;}

printf("X= %5.4f Y= %5.4f ",X[0],X[1]);

cout << " Press any key ...";

getch();}

Результат роботи програми:

X= 0.1477 Y= 1.0214

Завдання 4

 

Знайти точку мінімуму та мінімальне значення функції

 ,

методом Ньютона.

Рішення.

;

Матриця Гессе

.

Ітераційний процес послідовного наближення мінімуму функції буде таким:

,

де – матриця обернена до матриці Гессе.

Для закінчення ітераційного процесу використаємо умову

 або

.

Для пошуку мінімуму функції за методом Ньютона призначена програма Work4.cpp

//------------------------------------------------------------

// matrix.h

//-----------------------------------------------------------

const int nMax=2; // кількість рівнянь

const float ZERO=.00000001;

int invMatr(int n,float A[nMax][nMax],float Ainv[nMax][nMax])

/* Функція знаходить обернену матрицю

Вхідні дані:

A- масив з коефіцієнтами при невідомих;

n- порядок матриці А(кількість рівнянь системи);

Вихідні дані:

Ainv- матриця обернена до матриці А;

функція повертає код помилки:

0- помилки немає;

1- матриця А вироджена. */

{float aMax,t; // максимальний елемент , тимчасова змінна

int i,j,k,l;

// формуємо одиничну матрицю

for(i=0; i

for (j=0; j

Ainv[i][j] = (i==j)? 1. : 0.;

for (k=0; k

{// знаходимо мах по модулю елемент

aMax=A[k][k]; l=k;

for (i=k+1; i

if (fabs(A[i][k])>fabs(aMax))

{ aMax=A[i][k]; l=i; }

// якщо модуль головного елементу aMax менший за програмний 0 (ZERO)

if ( fabs(aMax)

// якщо потрібно, міняємо місцями рівняння Pk i Pl

if ( l!=k)

for( j=0; j

{t=A[l][j]; A[l][j]=A[k][j]; A[k][j]=t;

t=Ainv[l][j]; Ainv[l][j]=Ainv[k][j]; Ainv[k][j]=t;}

// ділимо k-й рядок на головний елемент

for (j=0; j

// обчислюємо елементи решти рядків

for (i=0; i

if( i!=k )

{t=A[i][k];

for (j=0; j

{A[i][j]-=t*A[k][j];

Ainv[i][j]-=t*Ainv[k][j];}}}

return 0;}

void DobMatr(int n, float A[nMax][nMax], float B[nMax],float X[nMax])

// функція знаходить добуток матриці А на вектор В і результат повертає в

// векторі Х

{int i,j;

float summa;

for (i=0; i

{summa=0;

for (j=0; j

{summa+=A[i][j]*B[j];

X[i]=summa;}}

} // DobMatr

//------------------------------------------------------------

// Work4.cpp

//------------------------------------------------------------

// "Числові методи"

// Завдання 4

// Пошук мінімуму функції методом Ньютона

#include

#include

#include

#include

#include "matrix.h"

const int N=2; // степінь матриці Гессе

float myFunc(float x[N])

{ return exp(-x[1])-pow(x[1]+x[0]*x[0],2); }

typedef void (*funcH) (float[N], float[N][N]);

void fHesse(float X[N],float H[N][N])

// функції , які складають матрицю Гессе

{H[0][0]=-4.*X[1]-6.*X[0]*X[0]; H[0][1]=-4.*X[0];

H[1][0]=-4; H[1][1]=exp(-X[1])-21;}

typedef void (*funcG) (float[N], float[N]);

void fGrad(float X[N],float Y[N])

{Y[0]=-4*X[1]*X[0]-3*X[0]*X[0]*X[0];

Y[1]=exp(-X[1])-2.*X[1]-2*X[0]*X[0];}

//int fMin(float X[N], funcG pGrad, funcH pHesse,float eps)

/* Функція знаходить точку мінімуму рівняння методом Ньютона.

Вхідні дані:

X[N] - вектор значень початкового наближення

pGrad - вказівник на функцію, яка обчислює по

заданим значенням X[] значення grad f(X) ;

pHesse - вказівник на функцію, яка обчислює по

заданим значенням X[] елементи матриці H ;

Вихідні дані:

X[N] - вектор наближеного значення мінімуму.

Функція повертає код помилки

0 - система рівнянь успішно розв^язана

1 - det H=0 */

{int n=N;

float modGrad;

float Hesse[N][N],HesseInv[N][N],Grad[N],deltaX[N];

do

{pHesse(X,Hesse);

if(invMatr(n,Hesse,HesseInv)) return 1;

pGrad(X,Grad);

DobMatr(n,HesseInv,Grad,deltaX);

X[0]-=deltaX[0];

X[1]-=deltaX[1];

modGrad=sqrt(deltaX[0]*deltaX[0]+deltaX[1]*deltaX[1]);}

while (modGrad>eps);

return 0;}

//int main()

{float X[N],eps;

// початкові умови

eps=.0001;

X[0]=0.5; X[1]=0.5;

if (fMin(X,fGrad,fHesse,eps))

{ cout << "Error of matrix: detH=0"; return 1;}

printf("X= %5.5f Y= %5.4f f(x,y)= %4.3f ",X[0],X[1],myFunc(X));

cout << " Press any key ...";

getch();}

Результат роботи програми:

x= -0.0000 y= 0.3523

f(x,y)= 0.579

 

Завдання 5

 

Розкласти в ряд Фурьє функцію  на відрізку [-1; 1].

Рішення.

В загальному вигляді ряд Фурьє функції  виглядає так:

 , де =0, 1, 2, …

В нашому випадку відрізок розкладення функції – [-1; 1], тому проводимо лінійну заміну змінної : . Тоді умова завдання стане такою:

 

Для наближеного обчислення коефіцієнтів ряду Фурьє використаємо квадратурні формули, які утворюються при інтерполяції алгебраїчним многочленом підінтегральних функцій

 і :

 (1)

 (2)

 (3)

де – число вузлів квадратурної формули;

– вузли квадратурної формули , =0, 1, 2, …, 2

Для обчислення наближених значень коефіцієнтів ряду Фурьє по формулам (1), (2), (3) призначена процедура (функція) Fourier.

//---------------------------------------------------------

// Work5.h

//---------------------------------------------------------

#include

const double Pi=3.141592653;

// функція повертає і-й вузол квадратурної формули, 2N+1-кілікість вузлів

inline double FuncXi(int N, int i) {return -Pi+(2*Pi*i)/(2*N+1);}

typedef double (*Func)(double); // опис типу вказівника на функцію

char Fourier(Func F_name, int CountN, int CountK,double **Arr)

/* функція обчислює коефіцієнти ряду Фурьє

Вхідні дані:

F_mame - вказівник на функцію(функтор), яка обчислює значення функції

f(x) на відрізку [-п; п];

CountN - число, яке задає розбиття відрізка [-п; п] на рівні частини

довжиною 2п/(2*CountN+1);

CountK - кількість обчислюваних пар коефіцієнтів;

Вихідні дані:

Arr - двомірний масив розміру [CountK+1][2], в якому

знаходяться обчислені коефіцієнти ряду Фурьє.

Функція повертає значення коду помилки:

Fourier=0 - помилки немає;

Fourier=1 - якщо CountN

Fourier=2 - якщо CountK<0;*/

{double a,b,sumA,sumB;

int i,k;

if (CountN < CountK) return 1;

if (CountK < 0) return 2;

// обчислення а0

sumA=0;

for (i=0; i< 2*CountN+1; i++) sumA+=F_name(FuncXi(CountN,i));

a=1./(2*CountN+1)*sumA;

Arr[0][0]=a;

// обчислення коефіцієнтів аk,bk

for (k=1; k<=CountK; k++)

{sumA=sumB=0;

for (i=0; i<2*CountN+1; i++)

{sumA+=F_name(FuncXi(CountN,i))*cos(2*Pi*k*i/(2*CountN+1));

sumB+=F_name(FuncXi(CountN,i))*sin(2*Pi*k*i/(2*CountN+1));}

a=(2./(2*CountN+1))*sumA;

b=(2./(2*CountN+1))*sumB;

Arr[k][0]=a;

Arr[k][1]=b;}

return 0;}

//------------------------------------------------------------

// Work5.cpp

//------------------------------------------------------------

// "Числовы методи"

// Завдання 5

// Розрахунок коэфіцієнтів ряду Фурьє

#include "Work5.h"

#include

#include

#include

double f(double x)

// функція повертає значення функції f(x)

{return sqrt(Pi*Pi*x*x+1);}

const int N=20; // константа, яка визначає розбиття відрізка [-п; п]

// на рівні частини

const int CountF=15; // кількість пар коефіцієнтів ряду

void main()

{double **data;

data = new double *[CountF+1];

for ( int i=0; i<=CountF; i++) data[i] = new double [2];

if (Fourier(f,N,CountF,data) != 0)

{cout << " Помилка !!!";

return;}

// Вивід результатів

printf("a0= %lf ",data[0][0]);

for (int i=1;i<=CountF;i++)

printf("a%d = %lf , b%d = %lf ",i,data[i][0],i,data[i][1]);

cout << " Press any key ...";

getch();}

Результат роботи програми Work5.cpp