Курсова робота
"Беселеві функції"
1. Беселеві функції з будь-яким індексом
Рівняння Лапласа в циліндричних координатах
Щоб пояснити походження Беселевих функцій, розглянемо рівняння Лапласа в просторі:
. (1)
Якщо перейти до циліндричних координат по формулах:
,
,
,
те рівняння (1) прикмет наступний вид:
. (2)
:
,
Нехай є рішення згаданого виду.
Підставляючи його в (2), одержимо:
,
звідки (після ділення на )
.
Записавши це у вигляді:
,
знайдемо, що ліва частина не
залежить від , права не залежить від
,
; отже,
загальна величина цих виражень є деяка постійна
. Звідси:
;
;
;
;
.
В останній рівності ліва частина
не залежить від , права не залежить від
; отже,
загальна величина цих виражень є деяка постійна
. Звідси:
,
;
,
.
Таким чином, ,
,
повинні задовольняти
лінійним диференціальним рівнянням другого порядку:
,
(3)
,
,
з яких друге й третє є найпростіші лінійні рівняння з постійними коефіцієнтами, а перше є лінійним рівнянням зі змінними коефіцієнтами нового виду.
Обернено, якщо ,
,
задовольняють рівнянням
(3), тобто
рішення
рівняння (2). Справді, підставляючи
в ліву частину (2) і ділячи потім
на
, одержимо:
.
Таким чином, загальний вид всіх
трьох рішень рівняння (2), які є добутком трьох функцій, кожна з яких залежить
від одного аргументу, є , де
,
,
– будь-які рішення рівнянь (3)
при будь-якому виборі чисел
,
.
Перше з рівнянь (3) у випадку ,
називається
рівнянням Беселя. Думаючи в цьому випадку
, позначаючи незалежну змінну
буквою
(замість
), а
невідому функцію – буквою
(замість
), знайдемо, що рівняння Беселя
має вигляд:
. (4)
Це лінійне диференціальне рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами відіграє більшу роль у додатках математики. Функції, йому задовольняючі, називаються Беселевими, або циліндричними, функціями.
Беселеві функції першого роду
Будемо шукати рішення рівняння Беселя (4) у вигляді ряду:
.
Тоді
,
,
,
.
Отже, приходимо до вимоги
або до нескінченної системи рівнянь
,
яка розпадається на дві системи:
Перша з них задовольниться, якщо
взяти … У
другій системі
можна взяти довільно; тоді
… однозначно
визначаються (якщо
не є цілим негативним числом).
Взявши
,
знайдемо послідовно:
,
,
,
і як рішення рівняння (4) одержимо ряд:
Цей ряд, що формально задовольняє
рівнянню (4), сходиться для всіх позитивних значень і, отже, є рішенням рівняння (4)
в області
(у
випадку цілого
в області
).
Функція
(5)
називається бесселевой функцією
першого роду з індексом . Вона є одним з рішень рівняння
Беселя (4). У випадку цілого ненегативного індексу
одержимо:
, (5`)
і, зокрема,
. (5``)
Загальне рішення рівняння Беселя
У випадку нецілого індексу функції
і
є рішеннями
рівняння (4). Ці рішення лінійно незалежні, тому що початкові члени рядів, що
зображують ці функції, мають коефіцієнти, відмінні від нуля, і містять різні
ступені
.
Таким чином, у випадку нецілого індексу загальне рішення рівняння Беселя є:
. (6)
Якщо (ціле негативне число), то
функція, обумовлена формулою (5) (з огляду на, що
дорівнює нулю для
…), приймає вид:
(5```)
або, після заміни індексу
підсумовування на
,
, (7)
звідки видно, що задовольняє разом з
рівнянню
Беселя
.
Але формула (6) у випадку цілого вже не дає
загального рішення рівняння (4).
Думаючи
(
– не ціле) (8)
і доповнюючи це визначення для (ціле число)
формулою:
, (8`)
одержимо функцію , що задовольняє
рівнянню Беселя (4) і у всіх випадках лінійно незалежну від
(у випадку
, де
– ціле).
Функція
називається
беселевою функцією другого роду з індексом
. Загальне рішення рівняння Беселя
(4) можна записати у всіх випадках у вигляді:
. (9)
2. Формули приведення для Беселевих функцій
Маємо:
;
;
,
;
.
Отже,
. (10)
Таким чином, операція (що складається
в диференціюванні з наступним множенням на
), застосована до
, підвищує в цьому
вираженні індекс
на одиницю й міняє знак.
Застосовуючи цю операцію
раз, де
– будь-яке натуральне число,
одержуємо:
. (10`)
Маємо:
;
Отже,
. (11)
Таким чином, операція , застосована
до
,
знижує в цьому вираженні індекс
на одиницю. Застосовуючи цю
операцію
раз,
одержуємо:
. (11`)
З виведених формул можна одержати деякі наслідки. Використовуючи (10), одержимо:
;
;
.
Звідси, зокрема, треба, що .
Використовуючи (11), одержимо:
;
;
.
По членне додавання й вирахування отриманих рівностей дає:
, (12)
. (13)
Формула (13) дозволяє виразити всі
Беселеві функції із цілими індексами через ,
. Дійсно, з (13) знаходимо
(думаючи
):
, (13`)
звідки послідовно одержуємо:
,
, …………………
3. Беселеві функції з напівцілим індексом
Беселеві функції, загалом кажучи,
є новими трансцендентними функціями, що не виражаються через елементарні
функції. Виключення становлять Беселеві функції з індексом , де
– ціле. Ці функції
можуть бути виражені через елементарні функції.
Маємо:
,
,
отже,
.
Але , значить:
. (14)
Далі
,
,
отже,
.
Але , тому
. (15)
За допомогою (10") знаходимо:
,
а з огляду на (14)
,
отже, при цілому позитивному
. (14`)
За допомогою (11") знаходимо:
,
але в силу (15)
,
і, отже, при цілому позитивному
. (15`)
4. Інтегральне подання Беселевих функцій із цілим індексом
Виробляюча функція системи функцій
Розглянемо систему функцій
(з будь-якою загальною
областю визначення), пронумерованих за допомогою всіх цілих чисел:
Складемо ряд
,
де – комплексна змінна. Припустимо,
що при кожному
(приналежному області визначення
розглянутих функцій) цей ряд має кільце збіжності, що містить усередині себе
одиничну окружність
. Зокрема, це кільце може являти
собою повну площину комплексної змінної без крапок 0 і?.
Функція
(16)
(де x лежить в області визначення
функцій системи ,
– усередині кільця збіжності, що
відповідає розглянутому значенню
) називається виробляючою функцією
системи
.
Обернено, нехай задана функція , де
пробігає деяку
множину,
перебуває
усередині деякого кільця, що залежить від
, із центром 0 і утримуючого
усередині себе одиничну окружність. Тоді, якщо
при кожному
аналітичне відносно
усередині
відповідного кільця, тобто
виробляюча функція деякої системи
функцій.
Справді, розклавши при кожному
функцію
в ряд Лорана по ступенях
:
,
знайдемо, що система коефіцієнтів цього ряду
буде шуканою системою
.
Формули для коефіцієнтів ряду
Лорана дозволяють виразити функції розглянутої системи через
виробляючу функцію. Застосовуючи ці формули й перетворюючи потім інтеграл
уздовж одиничної окружності
в простий інтеграл, одержимо:
. (17)
Виробляюча функція системи Беселевих функцій із цілими індексами
Покажемо, що для системи Беселевих
функцій першого роду із цілими індексами (
…) виробляюча функція є:
.
Маємо:
,
,
звідки після по членного перемножування цих рівностей знайдемо:
(тому що в передостанній
внутрішній сумі й
були зв"язані залежністю
, то ми могли
покласти
,
одержавши підсумовування по одному індексі
). В останній внутрішній сумі
підсумовування виробляється по всіх цілих
, для яких
, отже, при
це буде
; при
це буде
. Таким чином,
у всіх випадках внутрішня сума є
в силу формул (5`) і (5```).
Отже,
, (18)
але це й доводить, що є виробляюча
функція для системи
.
Виведемо деякі наслідки з формули
(18). Думаючи в ній , одержимо:
,
звідки після поділу дійсної й
мнимої частини (з огляду на, що )
(18`)
(18``)
Заміняючи в (18`) і (18``) на
, знайдемо:
, (18```)
. (18````)
Інтегральне подання Jn(x)
Тому що, по доведеному, при маємо
, те по формулі
(17) одержуємо (використовуючи в перетвореннях формули Ейлера):
де прийнято в увагу, що є парна
функція від
є непарна функція від
. Отже,
доведено, що для будь-якого цілого числа
. (19)
Формула (19) дає подання Беселевих
функцій із цілим індексом у вигляді певного інтеграла, що залежить від
параметра .
Ця формула називається інтегральним поданням Беселя для
, права частина формули
називається інтегралом Беселя. Зокрема, при
знайдемо:
. (19`)
5. Ряди Фур"є-Беселя
Розглянемо на якому-небудь
інтервалі (кінцевому
або нескінченному) два диференціальних рівняння
,
, (20)
де й
– безперервні функції на
. Нехай
і
– ненульові
рішення цих рівнянь. Множення на
й на
й наступне вирахування дають
.
Нехай і
належать
і
, тоді після інтегрування в межах
від
до
одержимо
. (21)
Якщо З теореми порівняння Штурму
випливають нижченаведені наслідки. Якщо Викладене показує, що якщо Розглянемо рівняння Беселя на інтервалі Очевидно, причому Якщо на інтервалі (0, +∞).
Підстановка і, отже, звідки отже, Нехай тепер тобто звідки видно, що якщо Цим доведено, що при на інтервалі Переходячи до межі при і використовуючи правило Лопиталя,
одержимо при всякому отже, якщо Таким чином, при кожному поставлений у відповідність ряд
Фур"є-Беселя коефіцієнти якого визначаються
формулами Можна довести, що система функцій Можна показати, що якщо 6. Асимптотичне подання Беселевих
функцій із цілим індексом для більших значень аргументу Нехай означає, що найдуться такі числа Подібний запис уживається й в
інших аналогічних випадках. Наприклад, якщо означає, що найдуться такі числа Допоміжна лема Якщо має місце асимптотичне подання Доведемо цю лему. Заміняючи на Розглянемо інтеграл, що фігурує в
правої частини формули (20). Заміняючи але, замінивши на Якщо звідки Отже, одержуємо асимптотичне
подання: Розглянемо тепер інтеграл, що
фігурує в другому складати^ся правої частини формули (20). Маємо: Очевидно, де перший доданок правої частини який сходиться, тому що отже, другий доданок є теж Отже, маємо: З (26), (27), (28) одержуємо
шукане асимптотичне подання: Із цієї формули, переходячи до
сполучених величин, знайдемо ще: Формули (29) і (29`) вірні й для
функцій Висновок асимптотичної формули для
Jn(x) Заміняючи (з огляду на, що де і, заміняючи в першому із цих
інтегралів Тому що але Отже, маємо шукане асимптотичне
подання беселевої функції першого роду із цілим індексом для більших значень
аргументу: Ця формула показує, що Зокрема, Графіки цих функцій зображені ні
малюнках 1 і 2. Розглянемо кілька прикладів
рішення рівняння Беселя. 1. Знайти рішення рівняння Беселя
при задовольняючим початковим умовам
при Рішення. На підставі формули (5") знаходимо
одне приватне рішення: 2. Знайти одне з рішень рівняння: Рішення. Зробимо заміну При При Рівняння на Рисунок 1 – Графік функції y=J0 (x) Рисунок 2 – Графік функції y=J1 (x) Висновок Розглянуті усі рішення рівнянь,
які можуть бути представлені у вигляді добутку трьох функцій. Складені графіки
функцій. Список літератури 1. Пискунов Н.С.
Диференціальне й інтегральне вирахування, навчальний посібник для вузів. – К.,
2003 2. Романовський П.
І. «Ряди Фур"є. Теорія поля. Аналітичні й спеціальні функції. Перетворення
Лапласа», навчальний посібник для вузів. – К., 2004 3. Самарський А.А.,
Гулін А.В. Чисельні методи. – К., 2003 4. Синіцин
О.К., Навроцкий А.А. Алгоритми обчислювальної математики. – К., 2003 й
– сусідні нулі рішення
, то між
і
зберігає постійний
знак, нехай, наприклад,
на (
,
) (у противному випадку варто
замінити
на
), тоді
,
(рівність нулю
виключено, тому що
– ненульове рішення диференціального
рівняння другого порядку). Якщо на
, то
повинна, принаймні, раз
звертатися в нуль між
і
, тому що інакше
збереже постійний знак
на (
,
). Нехай,
наприклад,
на
(
,
) (у противному
випадку заміняємо
на
), і тоді з (21) одержимо
протиріччя, тому що ліва частина ≤0, а права >0. У такий спосіб
доведена теорема порівняння Штурму: якщо P(x)
на
, то кожне ненульове рішення
рівняння
може
мати на
не
більше одного нуля (це легко бачити, якщо покласти
й взяти
). Якщо
на
(де
), то для всяких двох сусідніх
нулів
і
(
) кожного
ненульового рішення рівняння
маємо
(це легко бачити, якщо покласти
, взяти
й помітити,
що нулями
будуть
тільки числа виду
,
ціле). Якщо
на
(де
), то для всяких двох
сусідніх нулів кожного ненульового рішення рівняння
маємо
(це легко бачити, якщо покласти
й взяти
). Із сказаного
випливає, що якщо
на
, те для всяких двох сусідніх
нулів
і
(
) кожного
ненульового рішення рівняння
маємо
.
безперервно на
й
перевищує деяке позитивне число поблизу +∞, те кожне ненульове рішення
рівняння
має на
нескінченно
багато нулів. Якщо ще
поблизу
не звертається в нуль, то ці нулі
утворять нескінченну зростаючу послідовність
, що має межею +∞, а якщо,
крім того,
,
де
, те
.
. Підстановка
приводить до
рівняння
.
і
мають ті самі нулі. Тому що
, де
– ціла
функція, то
не
має нулів на
при досить малому
, і тому що
при
, те при
кожному
нулі
на
утворять
нескінченну зростаючу послідовність
.
, то
задовольнить рівнянню
приводить
до рівняння
задовольняє цьому рівнянню. Таким
чином, при будь-яких позитивних
і
маємо
, де
,
, де
,
,
, де
. (22)
. Розкладання
по ступенях
починається зі
члена, що містить
, розкладання
по ступенях
починається зі
члена, що містить
, тому що коефіцієнт при
дорівнює нулю,
що легко бачити, виходячи з формули (5). Отже, з (22) при
одержимо
,
, (23)
і
є різними
нулями функції
, те
. (23`)
система
функцій
є ортогональної щодо
ваги
.
в співвідношенні
, (24)
є нулем функції
, те
. (24`)
всякій
безперервній функції
на
, що задовольняє вимозі
,
, (25)
. (25`)
на
, ортогональна
щодо ваги
,
замкнута. Зокрема, якщо ряд Фур"є-Беселя (25) рівномірно сходиться до його
безперервної функції, що
породжує.
й
безперервна на
й
функція, то ряд Фур"є-Беселя цієї функції сходиться до неї при
.
– позитивна функція й
– яка-небудь
функція для досить більших значень
. Запис
при
й M, що при
маємо
.
– позитивна функція й
– яка-небудь
функція, визначені для досить малих позитивних значень
, то запис
при
й
, що
на
.
двічі безупинно диференцюєма на
, то для
функції
при
.
, одержимо:
.(26)
на
, знайдемо:
,
, одержимо:
.
позитивно, убуває й прагнути до
нуля при
,
то
й
, а отже, і
є
при
, тому
при
,
при
.
при
. (27)
,
.
двічі безупинно на
, але існують
і
, тому
стає безупинно
диференцуєма на
. Інтегрування вроздріб дає:
,
є
при
, а інтеграл у
другому мажорирується інтегралом, що складається при нижній межі
,
при
;
при
.
при
. (28)
при
. (29)
при
. (29")
.
на
, одержимо:
є парна функція від
, а
є непарна
функція від
).
Підстановка
дає:
,
є, мабуть, поліном n-й ступеня (поліном
Чебишева), тому що з формули Муавра видно, що
є поліном n-й ступеня відносно
. Але
на
,
одержимо:
й
на
мають похідні всіх порядків, то
до двох останніх інтегралів застосовні формули (29) і (29`), і ми одержуємо:
;
;
, отже,
.
при
. (30)
з точністю
складається до порядку, що,
є загасаючою гармонікою із хвилею
постійної довжини й амплітудою, що убуває обернено пропорційно квадратному
кореню з абсциси.
при
; (30`)
при
. (30"")
,
,
і
.
.
,
.
.
одержимо:
.
будемо шукати рішення у вигляді
узагальненого статечного ряду:
.
має вигляд
;
,
,
,
, тому
,
,
.