Математика и искусство

Содержание

Введение........................................................................ ........................................	3
1 Математика и поэзия.......................................................................... ..............	4
2 Математика и музыка.......................................................................... .............	6
3 Применение теории пропорций в живописи и архитектуре..........................	9
4 Математическое изобразительное искусство..................................................	12
4.1 Простые геометрические формы...................................................................	12
4.2 Многогранники................................................................... ...........................	13
4.3 Тесселляции..................................................................... ...............................	14
4.4 Невозможные фигуры.......................................................................... ..........	17
4.5 Лента Мебиуса......................................................................... .......................	18
4.6 Искаженные перспективы. Анаморфное искусство.....................................	20
4.7 Фракталы........................................................................ ................................	23
Заключение...................................................................... .....................................	28
Список используемых источников......................................................................	29

Введение

Математика и искусство – два основных начала в человеческой культуре, две дополняющие друг друга формы высшей творческой деятельности человека. В истории человечества были времена, когда эти начала дружно уживались, например, Древняя Греция, а были времена, когда они противоборствовали. Но видимо высшая их цель – быть взаимодополняющими гранями человеческой культуры, потому что даже в самой сердцевине науки есть элемент искусства, а всякое искусство несёт в себе частицу научной мудрости.

Этим обусловлена актуальность курсовой работы.

Исследованием данной темы занимались многочисленные исследователи  (А.В. Волошинов, Ф.В. Ковалёва, А.М. Кондратов) и математики, такие как Пифагор, Жан Д’Аламбер, Жюль Анри Пуанкаре, Софья Васильевна Ковалевская, Омар Хайям.

Казалось бы, что может быть общего между математикой и музыкой, поэзией, искусством и архитектурой, но оказалось, что все они не могут существовать друг без друга. Людям, которые с головой погружены в науку, нельзя замыкаться только на научных исследованиях, параллельно они должны развивать и свои творческие способности. Только тогда человек может выкладываться на все 100%, когда он разносторонняя, не зацикленная личность.

Курсовая работа состоит из введения, четырёх разделов, заключения и списка использованных источников.   

В первом разделе исследована связь между математикой и поэзией;

Второй раздел посвящён изучению математики и музыки;

В третьем разделе представлено применение теории пропорций в живописи и архитектуре;

В четвертом разделе рассмотрено математическое изобразительное искусство. В данном разделе подробно рассмотрены семь подтем: простые геометрические формы, многогранники, тесселяции, невозможные фигуры, лент Ме-биуса, искаженные перспективы, анаморфное искусство и о фракталы.

В заключении сформулированы основные выводы по данной теме. 

1       Математика и поэзия

Согласно толковому словарю В.И. Даля: «Математика – наука о величинах и количествах; все, что можно выразить цифрою, принадлежит математике».

У многих людей складывается впечатление, что это сухая, абстрактная наука, не имеющая ничего общего с искусством и красотой. Однако любой математик в море цифр всегда находит красоту и она, как правило, чаще всего и бывает приоритетной в выборе поиска математических истин. Как писал французский математик, физик, астроном и философ Жюль Анри Пуанкаре: «Могут вызывать удивление эмоции, пробуждаемые математическим доказательством, которое, как может показаться, интересно лишь интеллекту. Думать, что математика затрагивает лишь интеллект, означало бы забыть о красоте математики, элегантности геометрии, которые прекрасны в самом полном смысле этого слова».[3, стр. 29]

Фактов счастливого соединения художественного и математического талантов известно достаточно много. Но чаще всего, один из этих талантов становится более выраженным. Например, Омар Хайям завершил построение геометрической теории кубических уравнений. Математики стран ислама уделяли большое внимание развитию численных методов решения уравнений. Они были необходимы для развития астрономии, которая основывалась не только на наблюдениях, но и на вычислениях с использованием тригонометрических таблиц. Параллельно с занятиями наукой Хайям создавал свои четверостишия («Рубаи»). Научные труды Хайям писал на арабском языке, стихотворения на персидско-таджикском наречии.

Омар Хайям навсегда вошел в историю всемирной культуры не только как блестящий ученый – энциклопедист, но и как прекрасный поэт, который воспевал свободу, бичевал ханжество и лицемерие, высмеивал суеверия. Его мудрые лирические четверостишия, наполненные глубоким философским смыслом в XIX и XX веках, были переведены на все основные языки мира.

«Нам жизнь навязана; её водоворот

Ошеломляет нас, но миг один – и вот

Уже пора уйти, не зная цели жизни…

Приход бессмысленный, бессмысленный уход!». [9]

Или, например, советский математик А.Я. Хинчина. Он еще в юности опубликовал четыре книги стихов, но профессионально заниматься поэзией не стал. Любой, кто изучающий его математические произведения, отметит их высокую литературную культуру, строгость и изысканную простоту.

Софья Васильевна Ковалевская – первая в России и в Северной Европе женщина-профессор и первая в мире женщина – профессор математики. Благодаря своим выдающимся математическим дарованиям, Ковалевская достигла вершин ученого поприща, но её душе чего-то всё-таки не хватало. Духовная недостаточность пробудила в ней литературное дарование. Благодаря чему появились следующие литературные произведения: повесть «Нигилистка», произведение «Воспоминания о Джордже Эллиоте», семейная хроника «Воспоминания детства» и другие произведения.

2       Математика и музыка

«Музыка есть таинственная арифметика души; она вычисляет, сама того не сознавая» – Готфрид Лейбниц [8].

Слушая, музыку мы попадаем в волшебный мир звуков и открываем в ней совершенство, простоту и гармонию. Решая математические задачи, мы погружаемся в строгое пространство чисел. И не задумываясь о том, что мир звуков и пространство чисел издавна тесно связаны друг с другом.

С давних пор до нас дошел афоризм, что математика и музыка – сестры. Казалось бы, что общего между наукой, пользующейся строгой логикой доказательств, при изучении природы и музыки – одним из прекраснейших видов искусства, произведения которых создаются в порыве вдохновения?

Древнегреческий философ Пифагор, один из самых первых установил связь между музыкой и математикой. Он создал учение о звуке, изучал философскую математическую стороны звука, даже пытался связать музыку с астрономией. Используя особый инструмент – монохорд, Пифагор изучал интервалы, открывал математические соотношения между отдельными звуками.

Одним из достижений Пифагора и его последователей в математической теории музыки был разработанный ими «Пифагоров строй». Новая технология использовалась для настройки популярного в то время инструмента – лиры. Тем не менее, «Пифагоров строй» был несовершенен, как и древнегреческая арифметика. Расстояние между соседними звуками «Пифагорова строя» были неодинаковые. Он – неравномерный. Чтобы сыграть мелодию, от какой- либо другой ноты, лиру каждый раз нужно перенастраивать.

Исследованию музыки посвящали свои работы многие величайшие математики, такие как: Рене Декарт ( его первый труд – «Compendium Musicae» в переводе «Трактат о музыке» ), Готфрид Лейбниц, Христиан Гольдбах, Жан Д’Аламбер, Даниил Бернулли и другие.

Рассмотрим математику в длительности нот:

Длительности музыкальных нот заимствовали свои названия у дробей. Потому что длительности получаются так же как дроби: они возникают при делении целой на равные доли.

Поэтому длительность можно подсчитывать как дробные числа, например:

 

Равенство здесь понимать в том смысле, что длительность слева равна суммарной длительности справа. С помощью чисел то же равенство можно записать в виде 1/4 = 1/8 + 2/16.

Таким образом, мы можем наглядно увидеть, математика и музыка являются неразделимыми частями одного целого.

 «Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимосвязях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая и духовная деятельность человека. Что между ними размещается все, что человечество создало в области наук и искусства» – писал Г. Нейгауз.

В прошлом были неоднократные попытки рассматривать музыку, как один из объектов изучения математики. Таким образом, многие учёные в древности считали, что гармония чисел является сродни гармонии звуков и дополняет друг друга, музыку и математику.

Следуя теории Пифагора, числа обладают абсолютной властью над всеми событиями, над всеми живыми существами, а значит, числа правят музыкой. В своих работах он утверждал, что музыка подчиняется высшему закону (математике) и вследствие этого восстанавливает в организме человека гармонию.

Попробуем установить связь между числами и музыкой.

Исследуя данную тему, я нашла очень интересную теорию: звучание даты рождения определяет тип особенностей человека.

Суть теории:

Дата рождения влияет на характер и увлечения человека. Каждая дата рождения звучит по-своему. Если получившаяся мелодия является консонансом, то Вы человек творческий; Если мелодия является диссонансом, то Вы математик или физик.

Исследуем данную теорию на дате моего рождения (18.09.1996): для этого переложим цифры на ноты. Каждой ноте мы присвоим свой номер ступени: До – 0, ре –1, ми – 2, фа – 3, соль – 4, ля – 5, си – 6, до – 7, ре – 8, ми – 9.

Таким образом, моя мелодия будет состоять из следующего ряда нот:

Ре – ре – до – ми – ре – ми – ми – си

Получившаяся мелодия является консонансом, т. е. является мелодичной.

На моём примере данная теория подтверждена. Я действительно являюсь творческим человеком.

Математика и музыка – это неразлучные вещи. Ведь для того, что бы записать ноты произведения нужно знать арифметику.

В заключение исследования, мне хочется процитировать слова известного философа, математика 19 – 20 вв. Бертрана Рассела «Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой – красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства» [8].

3       Применение теории пропорций в живописи и архитектуре

Спор о том, должна или не должна наука вторгаться в заповедные области искусства, идет давно. Во все эпохи процветания искусство вступало в союз с наукой. Художники-мыслители, теоретики и педагоги, размышлявшие над проблемами обучения молодых, всегда приходили к выводу, что без науки искусство развиваться и процветать не может. Художник и педагог Н. П. Крымов писал: «Говорят: искусство не наука, не математика, что это творчество, настроение и что в искусстве ничего нельзя объяснить  – глядите и любуйтесь. По-моему, это не так. Искусство объяснимо и очень логично, о нем нужно и можно знать, оно математично... Можно точно доказать, почему картина хороша и почему плоха» [10]. В. И. Суриков утверждал, что в композиции есть какой-то непреложный закон, когда в картине нельзя ничего ни убрать, ни добавить, даже лишнюю точку поставить нельзя, это настоящая математика.

Прежде чем определить золотое сечение, необходимо ознакомиться с понятием пропорции. В математике пропорция (лат. proportio) – это равенство между двумя отношениями четырех величин: а : b = с : d. Далее, для примера обратимся к отрезку прямой на рисунке 1.

Рисунок 1

Отрезок АВ можно разделить на две равные части (/). Это будет соотношение равных величин  –  АВ : АС = АВ : ВС. Эту же прямую (2, 3) можно разделить на две неравные части в любом отношении. Эти части пропорции не образуют. Отношение малого отрезка к большому или меньшего к большему есть, а соотношения (пропорции) – нет. И, наконец, прямую АВ(4) можно разделить по золотому сечению, когда АВ : АС, как АС : ВС. Это и есть золотое деление или деление в крайнем и среднем отношении.

Из вышеизложенного следует вывод, что золотое сечение – это такое пропорциональное гармоническое деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему, т. е. a : b = b : с или с b = b : а (рисунок 2).

Рисунок 2

Определение «деление в крайнем и среднем отношении» становится более понятным, если мы выразим его геометрически на рисунке 3, а именно а : b как b : с (рисунок 3).

Рисунок 3

Фигура А. С. Пушкина в картине И. Е. Репина «А. С. Пушкин на акте в Лицее 8 января 1815 г.» помещена художником на линии золотого сечения в правой части картины (рисунок 4).

Левая часть картины, в свою очередь, тоже разделена в пропорции золотого сечения: от головы А. С. Пушкина до головы Г. Р. Державина и от нее до левого края картины. Расстояние от головы Державина до правого края картины разделено на две равные части линией золотого сечения. В нижней части картины глаз улавливает деление на три равные части. Они образуют стол в левой части картины, нога Пушкина правее линии золотого сечения и правый край картины.

Если необходимо найти линию золотого сечения на картине или эскизе по горизонтали, то производить новое деление высоты картины геометрическим

Рисунок 4

способом нет необходимости. Достаточно  провести диагонали картины.  Их пересечения с линиями золотого сечения по вертикали укажут точки, через которые следует провести горизонтальные линии золотого сечения (рисунок 5).

Рисунок 5

Эти линии могут понадобиться при построении пейзажа. Художники-пейзажисты из опыта знают, что нельзя отводить половину плоскости холста под небо или под землю и воду. Лучше брать или больше неба, или больше земли, тогда пейзаж «лучше смотрится».

4       Математическое изобразительное искусство

Темы, наиболее часто использующиеся в математическом изобразительном искусстве включают в себя использование многогранников, тесселляций, лент Мебиуса, невозможных фигур, фракталов и искаженных перспектив. Отдельные работы часто включают в себя одновременно несколько тем. Каждая из этих тем приведена ниже с описанием и примерами использования.

4.1 Простые геометрические формы

Некоторые известнейшие художники XX века активно использовали математику в искусстве. Пит Мондриан (Piet Mondriaan) (1872-1944) - голландский художник, известный своими геометрическими абстракциями; несколько его работ изображают цветные блоки, разделенные черными линиями (рисунок 6).

Рисунок 6

Виктор Васарели (1908 – 1997) – художник, родившийся в Венгрии, известен как пионер и практик направления оптического искусства Оп-арт (Op Art). Он использовал окрашенные простые геометрические формы, часто объединенные в массивы, для создания эффекта движения (рисунок 7), выпуклости или вогнутости на плоском рисунке.

Рисунок 7

4.2 Многогранники

Многогранник – это трехмерное тело, гранями которого являются многоугольники. Существует всего пять правильных многогранников, у которых все стороны являются правильными многоугольниками и все вершины одинаковы. Они известны как многоугольники Платона или Платоновы тела. Также существует 13 выпуклых многогранников, гранями которых являются один, два или три правильных многоугольника, и у которых все вершины одинаковы. Они известны как тела Архимеда. Кроме этого существует бесконечное множество призм и антипризм с гранями в виде правильных многоугольников. Голландский художник М.К. Эшер (1898 – 1972) использовал многогранники во многих своих работах, включая «Рептилии» (1949), «Двойной планетоид» (1949) (рисунок 8) и «Гравитация» (1952). Эшер в некотором роде является отцом математического искусства. Математические идеи играют центральную роль в большинстве его картин за исключением лишь ранних работ. Большинство идей, часто используемых современными математическими художниками, были использованы Эшером.

Рисунок 8

4.3 Тесселляции

Тесселляции, известные также как покрытие плоскости плитками (tiling), являются коллекциями фигур, которые покрывают всю математическую плоскость, совмещаясь друг с другом без наложений и пробелов. Правильные тесселляции состоят из фигур в виде правильных многоугольников, при совмещении которых все углы имеют одинаковую форму. Существует всего три многоугольника, пригодные для использования в правильных тесселляциях. Это – правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник. Полуправильными тесселляциями называют такие тесселляции, в которых использованы правильные многоугольники двух или трех типов и все вершины одинаковы. Существует всего 8 полуправильных тесселляций. Вместе три правильных тесселляции и восемь полуправильных носят название Архимедовых. Тесселляции, в которых отдельные плитки являются узнаваемыми фигурами, являются одной из основных тем творчества Эшера. В его записных книгах содержатся более 130 вариантов тесселляций. Он использовал их в огромном количестве своих картин, среди которых «День и ночь» (1938), серия картин «Предел круга» I – IV, и знаменитые «Метаморфозы» (рисунок 9) I – III (1937 – 1968).

Рисунок 9 – М.К. Эшер «Небо и вода»

Среди современных авторов можно привести примеры картин Холлистера Девида (Hollister David) и Роберта Фатауэра (Robert Fathauer).

Холлистер Девид «Семь птиц» (рисунок 10). На этой картине изображены семь птиц, две из которых изображены в негативе на фоне ландшафта города Ахо в Аризоне. Последовательно уменьшающиеся фигуры птиц совмещаются друг с другом в виде фрактальной тесселляции. Хвостовые перья каждой птицы разделяют конструкцию напополам, отсекая примерно треть расстояния между кончиками крыльев. Каждая меньшая птица в свою очередь делит свою область аналогичным образом. Если этот процесс продолжать до бесконечности, получится набор точек, известный как множество Кантора или Канторова пыль.

Рисунок 10 – Холлистер Девид «Семь птиц»

Роберт Фатауэр «Фрактальные рыбы – сгруппированные группы» (рисунок 11). Это компьютерная работа, распечатанная на фотобумаге. Сквозь иллюминатор видны волны, но при ближайшем рассмотрении видно, что волны являются на самом деле фрактальной тесселляцией, состоящей из рыб.

Рисунок 11 – Роберт Фатауэр «Фрактальные рыбы – сгруппированные группы»

4.4 Невозможные фигуры

Невозможные фигуры – эти фигуры, изображенные в перспективе таким способом, чтобы выглядеть на первый взгляд обычной фигурой. Однако при более внимательном рассмотрении зритель понимает, что такая фигура не может существовать в трехмерном пространстве. Эшер изобразил невозможные фигуры на своих известных картинах «Бельведер» (1958), «Восхождение и спуск» (1960) и «Водопад» (1961). Одним из примеров невозможной фигуры служит картина современного венгерского художника Иштвана Ороса (Istvan Orosz).

Иштван Орос «Перекрестки» (1999) (рисунок 12). Репродукция гравюры по металлу. На картине изображены мосты, которые не могут существовать в трехмерном пространстве. Например, есть отражения в воде, которые не могут быть исходными мостами.

Рисунок 12 – Иштван Орос «Перекрестки»

4.5 Лента Мебиуса

Лента Мебиуса – это трехмерный объект, имеющий только одну сторону. Такая лента может быть легко получена из полоски бумаги, перекрутив один из концов полоски, а затем склеив оба конца друг с другом. Эшер изобразил ленту Мебиуса на работах «Всадники» (1946), «Лента Мебиуса II (Красные муравьи)» (1963) и «Узлы» (1965) (рисунок 13).

Рисунок 13 – М. К. Эшер «Узлы»

Макс Биль (Max Bill) (1908 – 1994) – художник-график и скульптор, обучавшийся в Баухаузе (Bauhaus), создавал скульптуры, основанные на ленте Мебиуса (рисунок 14), многие из которых выставлены в общественных местах.

Рисунок 14

Позднее, поверхности минимальной энергии стали вдохновением для многих математических художников. Брент Коллинз (Brent Collins), использует ленты Мебиуса и поверхности минимальной энергии, а также другие виды абстракций в скульптуре (рисунок 15).

Рисунок 15

4.6 Искаженные перспективы. Анаморфное искусство

Необычные системы перспективы, содержащие две или три исчезающие точки, также являются излюбленной темой многих художников. К ним также относится родственная область – анаморфное искусство. Эшер использовал искаженную перспективу в нескольких своих работах «Наверху и внизу» (1947), «Дом лестниц» (1951) и «Картинная галерея» (1956).

Дик Термес (Dick Termes) «Клетка для человека» (1978) (рисунок 16). Это разукрашенная сфера, в процессе создания которой использовалась шеститочечная перспектива. На ней изображения геометрическая структура в виде сетки, сквозь которую виден ландшафт. Три ветки проникают внутрь клетки, а также по ней ползают рептилии. В то время как одни изучают мир, другие обнаруживают себя, находящимися в клетке.

Рисунок 16 – Дик Термес «Клетка для человека»

Слово анаморфный (anamorthic) сформировано из двух греческих слов «ana» (снова) и morthe (форма). К анаморфным относятся изображения настолько сильно искаженные, что разобрать их без специального зеркала бывает невозможно. Такое зеркало иногда называют анаморфоскопом. Если смотреть в анаморфоскоп, то изображение «формируется снова» в узнаваемую картину. Европейские художники раннего Ренессанса были очарованы линейными анаморфными картинами, когда вытянутая картина становилась снова нормальном при обзоре под углом. Известный премер – картина Ханса Хольбейна (Hans Holbein) «Послы» («The Ambassadors») (1533) (рисунок 17.1), в которой изображен вытянутый череп. Картина может быть наклонена в верхней части лестницы так, что люди, поднимающиеся по лестнице, будут напуганы изображением черепа (рисунок 17.2).

Рисунок 17.1 – Ханс Хольбейн «Послы»

Анаморфные картины, для просмотра которых необходимы цилиндрические зеркала, были популярны в Европе и на Востоке в XVII – XVIII веках. Часто такие изображения несли сообщения политического протеста или были эротического содержания. Эшер не использовал в своей работе классические анаморфные зеркала, однако, в некоторых своих картинах он использовал сферические зеркала. Самая известная его работа в этом стиле «Рука с отражающей сферой» (1935) (рисунок 18).    

Рисунок 17.2 – Ханс Хольбейн «Послы»

Рисунок 18 – М. К. Эшер «Рука с отражающей сферой»

4.7 Фракталы

Фрактал – это объект, повторяющий сам себя в различных масштабах, которые связаны математическим способом. Фракталы формируются итерационно, многократно повторяя вычисления так, что получается объект высокой сложности с множеством мелких деталей.

Бенуа Мандельброт (Benoit Mandelbrot) (1924 – ...) – математик, в значительной степени ответственный за формализацию и популяризация концепции фракталов. Он открыл множество Мандельброта, наиболее известный фрактальный объект. Он также изобрел термин «фрактал» («fractal»), полученный из латинского слова «fractus», означающий «разбитый на куски», «сломанный». О его понимании эстетического содержания фракталов говорит следующая цитата: «Может ли чистая геометрия «человеку с улицы» показаться прекрасной? Точнее, может ли фигура, описываемая простым уравнением или правилом построения, быть воспринята человеком, не связанным с геометрией, как фигура, имеющая эстетическое значение, а именно, быть декоративной, а возможно и видом искусства? Если эта геометрическая фигура – фрактал, то ответ – да». [10]

Множество Мандельброта – черная область, имеющая бесконечно изрезанную границу. Копии всей структуры обнаруживаются при рассмотрении границы в любом масштабе, сколь угодно мелком

Рисунок 19 – Множество Мандельброта.

Рисунок 20 – Множество Мандельброта под увеличением

К сожалению, фракталы как таковые были недоступны Эшеру, потому что были формализованы и выделены в отдельную область математики лишь после его смерти. Эшер очень интересовался изображением бесконечного в пределах конечной области, в частности бесконечными тесселляциями. Он использовал сжимающиеся координатные сетки и гиперболическую геометрию для достижения этого эффекта, как показано в картинах «Предел круга» I – IV (1958 – 1960) и «Предел квадрата» (1964). Ниже приведены примеры современных художников Кэри Митчелл (Kerry Mitchell) и Роберта Фатауэра (Robert Fathauer).

Кэри Митчелл «Будда» (рисунок 21) – компьютерная картина основанная на множестве Мандельброта, исследованного Бенуа Мандельбротом (Benoit Mandelbrot).

Рисунок 21 - Кэри Митчелл «Будда»

Роберта Фатауэра «Композиция кругов» (2001)  (рисунок 22) – не является вычисляемым фракталом, однако может быть получен графически, упаковывая меньшие круги в большие.

Рисунок 22 - Роберта Фатауэра «Композиция кругов»

Сальвадор Дали (Salvador Dali) (1904 – 1989) ­­– яркий и парадоксальный испанский художник, использовал математические идеи в некоторых своих картинах. На картине «La Visage de la Guerre» (1940) (рисунок 23) изображена фрактальная последовательность уменьшающихся гротескных лиц. Он также создал несколько эротических анаморфиных изображений.

Рисунок 23 - Сальвадор Дали «La Visage de la Guerre»

Математические изобразительное искусство процветает сегодня, и многие художники создают картины в стиле Эшера и в своем собственном стиле. Эти художники работают в различных направлениях, включая скульптуру, рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и компьютерную графику. А наиболее популярными темами математического искусства остаются многогранники, тесселляции, невозможные фигуры, ленты Мебиуса, искаженные системы перспективы и фракталы.

Заключение

В заключении приведём высказывание Бертрана Рассела «Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой – красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства».

Таким образом, математика и искусство тесно связаны между собой, потому что:

1. Многие художники и архитекторы использовали математические фигуры и формулы в своих картинах и скульптурах, а вся теория музыки целиком и полностью пронизана математикой. Из чего следует, что существование одного невозможно без другого. Когда искусство и математика находятся в гармонии, то и продукт, который мы получаем, становится великим и вечным.

2. Человек, который развивается разносторонне, не успевает стопориться на чем-то одном, так как творит не в одной области, а в разных.

Люди должны всегда помнить о том, что с помощью математики можно получить самые красивые картины, самые прекрасные скульптуры, услышать вдохновляющую и пробирающую до мурашек музыку, так как во всем должны быть свои идеальные пропорции, которые подарила нам такая великая наука, как математика.

Список используемых источников

1. Волошинов, А.В. Математика и искусство / А.В. Волошинов. – М. : Просвещение 2000. – 399с

2. Ковалев, Ф.В. Золотое сечение в живописи. Учеб. Пособие / Ф.В.Ковалев. – Киев : Выща школа, 1989. – 144 с.

3. Кондратов, A.M. Математика и поэзия / А.М. Кондратов. – М. : Знание, 1962. – 48 с.

4. Википедия [Электронный ресурс] : [сайт]. URL: 

http://ru.wikiquote.org/wiki/Математика_в_музыке (дата обращения 01.05.2015)

5.  Золотое сечение [Электронный ресурс] : [сайт]. URL: 

http://hudozhnikam.ru/zolotoe_sechenie/2.html (дата обращения 23.05.2015)

6. Математика и искусство [Электронный ресурс] : [сайт]. URL:  http://900igr.net/prezentatsii/mkhk/Iskusstvo-krasoty/005-Matematika-vladeet-ne-tolko-istinoj-no-i-vysshej-krasotoj-krasotoj.html (дата обращения 29.05.2015)

7. Математика и искусство [Электронный ресурс] : [сайт]. URL: 

http://www.slideshare.net/Gulenka160/ss-12322487 (дата обращения 21.05.2015)

8.  Музыка и математика [Электронный ресурс] : [сайт]. URL: 

 http://festival.1september.ru/articles/508853/ (дата обращения 20.04.2015)

9. Цитаты [Электронный ресурс] : [сайт]. URL: 

http://icite.ru/138194/citaty/khajyam_omar/nam_zhizn_navyazana_eyo_vodovorot#.VXQdHEZCaao (дата обращения 13.05.2015)

10. Частые темы математического изобразительного искусства [Электронный ресурс] : [сайт]. URL: 

http://imp-world-r.narod.ru/russian/articles/vis_math_art/index.html (дата обращения 15.05.2015)