ПРИМЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ

РЕФЕРАТ

по дисциплине:

«МАТЕМАТИКА»

На тему: «ПРИМЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ

Подготовил

студент 2 курса,

группы 20-ТЗТ

Андрианов А. С.

ВВЕДЕНИЕ

Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решить многие задачи и парой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой самостоятельный интерес.

Понятие функции уходит своими корнями в ту далекую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Развитие математики со времён Древнего Египта, Вавилона, Греции прошло не малый путь, меняясь и преобразовываясь.

При изучении процессов реального мира (физических, химических, биологических, экономических и всевозможных других) мы постоянно встречаемся с характеризующими их величинами, меняющимися в течение рассматриваемых процессов. При этом часто бывает, что изменению одной величины сопутствует и изменение другой или даже, более того, изменение одной величины является причиной изменения другой. Взаимосвязанные изменения числовых характеристик рассматриваемых величин приводят к их функциональной зависимости в соответствующих математических моделях. Поэтому понятие функции является одним из самых важных понятий в математике и ее приложениях.

Произво́дная (функции в точке) - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс - нахождение первообразной - интегрирование.
ПРИМЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ.

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Если функция f (x)дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Обратное неверно: непрерывная функция может не иметь производной.

С л е д с т в и е. Если функция разрывна в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.

П р и м е р.

Функция y= |x| (рис.3) всюду непрерывна, но она не имеет производной при x= 0, так как в этой точке не существует касательной к графику этой функции.

Достаточные признаки монотонности функции.

Если f’(x)> 0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f(x)возрастает на этом интервале.

Если f’(x)< 0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f(x)убывает на этом интервале.

Теорема Дарбу. Точки, в которых производная функции равна 0 или не существует, делят область определения функции на интервалы, внутри которых производная сохраняет знак.

Используя эти интервалы, можно найти интервалы монотонности функций, что очень важно при их исследовании.

Следовательно, функция возрастает на интервалах (-,0) и (1, +)и убывает на интервале (0, 1). Точка x= 0 не входит в область определения функции, но по мере приближения x к 0 слагаемое x^-2 неограниченно возрастает, поэтому функция также неограниченно возрастает. В точке x = 1 значение функции равно 3. В соответствии с этим анализом мы можем построить график функции (рис.4 б).

Критические точки. Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Эти точки очень важны при анализе функции и построении её графика, потому что только в этих точках функция может иметь экстремум (минимум или максимум, рис.5а, б).

В точках x₁ ,x₂ (рис.5a) и x₃ (рис.5b) производная равна 0; в точках x₁ , x₂ ( рис.5б) производная не существует. Но все они точки экстремума.

Необходимое условие экстремума. Если x₀ - точка экстремума функции f(x) и производная f’ существует в этой точке, то f’(x₀)=0.

Эта теорема – необходимое условие экстремума. Если производная функции в некоторой точке равна 0, то это не значит, что функция имеет экстремум в этой точке. Например, производная функции f (x) = x³равна 0 при x = 0, но эта функция не имеет экстремум в этой точке (рис.6).

С другой стороны, функция y= |x| , представленная на рис.3, имеет минимум в точке x= 0 , но в этой точке производной не существует.

Достаточные условия экстремума.

Если производная при переходе через точку x₀ меняет свой знак с плюса на минус, то x₀ - точка максимума.

Если производная при переходе через точку x₀ меняет свой знак с минуса на плюс, то x₀ - точка минимума.

План исследования функции. Для построения графика функции нужно:

1) найти область определения и область значений функции,

2) установить, является ли функция чётной или нечётной,

3) определить, является ли функция периодической или нет,

4) найти нули функции и её значения при x= 0,

5 найти интервалы знакопостоянства,

6) найти интервалы монотонности,

7) найти точки экстремума и значения функции в этих точках,

8) проанализировать поведение функции вблизи «особых» точек и при больших значениях модуля x.

П р и м е р . Исследуйте функцию f (x) =x³+ 2x²-x-2 и постройте график.

Р е ш е н и е . Исследуем функцию по вышеприведенной схеме.

1) область определения xR (x– любое действительное число);область значений yR, так как f (x) – многочлен нечётной степени;

2) функция f (x) не является ни чётной, ни нечётной;

3) f (x) – непериодическая функция (докажите это сами);

4) график функции пересекается с осью Y в точке (0, – 2),

так как f (0) =-2; чтобы найти нули функции нужно решить уравнение: x³+ 2x²-x-2= 0, один из корней которого (x= 1) очевиден. Другие корни находятся (если они есть!) из решения квадратного уравнения: x²+ 3x+ 2 = 0, которое получено делением многочлена

x³+ 2x²-x-2 на двучлен (x– 1). Легко проверить, что два других корня:x₂=-2 и x₃=-1. Таким образом, нулями функции являются:-2,-1 и 1.

5) Это значит, что числовая ось делится этими корнями на четыре интервала знакопостоянства, внутри которых функция сохраняет свой знак :

Этот результат может быть получен разложением многочлена на множители:

x³+ 2x²-x-2 = (x+ 2) (x+ 1 (x– 1) и оценкой знака произведения методом интервалов.

6) Производная f’(x) = 3x²+ 4x-1 не имеет точек, в которых она не существует, поэтому её область определения R (все действительные числа ); нули f’(x) – это корни уравнения:3x²+ 4x-1 = 0 .

Полученные результаты сведены в таблицу: