История возникновения теории графов

Тео́рия гра́фов — раздел дискретной математики, изучающий свойства графов. В общем смысле граф представляется как множество вершин (узлов), соединённых рёбрами. В строгом определении графом называется такая пара множеств. G=(V,E), где V есть подмножество любого счётного множества, а E — подмножество V×V.

История возникновения теории графов

Родоначальником теории графов считается Леонард Эйлер. В 1736 году в одном из своих писем он формулирует и предлагает решение задачи о семи кёнигсбергских мостах, ставшей впоследствии одной из классических задач теории графов.

Первые задачи теории графов были связаны с решением математических развлекательных задач и головоломок . Вот пересказ отрывка из письма Эйлера от 13 марта 1736 году: ” Мне была предложена задача об острове, расположенном в городе Кенигсберге и окруженном рекой, через которую перекинуто 7 мостов. Спрашивается, может ли кто-нибудь непрерывно обойти их, проходя только однажды через каждый мост. И тут же мне было сообщено, что никто еще до сих пор не смог это проделать, но никто и не доказал, что это невозможно. Вопрос этот, хотя и банальный, показался мне, однако, достойным внимания тем, что для его решения недостаточны ни геометрия, ни алгебра, ни комбинаторное искусство. После долгих размышлений я нашел лёгкое правило, основанное на вполне убедительном доказательстве, с помощью которого можно во всех задачах такого рода тотчас же определить, может ли быть совершен такой обход через какое угодно число и как угодно расположенных мостов или не может“. Кенигсбергские мосты схематически можно изобразить так:

Правило Эйлера:

1. В графе, не имеющем вершин нечетных степеней, существует обход всех рёбер (причем каждое ребро проходится в точности один раз) с началом в любой вершине графа.

2. В графе, имеющем две и только две вершины с нечетными степенями, существует обход с началом в одной вершине с нечетной степенью и концом в другой.

3. В графе, имеющим более двух вершин с нечетной степенью, такого обхода не существует.

Существует еще один вид задач, связанных с путешествиями вдоль графов. Речь идёт о задачах, в которых требуется отыскать путь, проходящий через все вершины, причем не более одного раза через каждую. Цикл, проходящий через каждую вершину один и только один раз, носит название гамильтоновой линии( в честь Уильяма Роуэна Гамильтона, знаменитого ирландского математика прошлого века, который первым начал изучать такие линии). К сожалению, пока еще не найден общий критерий, с помощью которого можно было бы решить, является ли данный граф гамильтоновым, и если да, то найти на нём все гамильтоновы линии.

Сформулированная в середине 19 в. проблема четырех красок также выглядит как развлекательная задача, однако попытки ее решения привели к появлению некоторых исследований графов, имеющих теоретическое и прикладное значение. Проблема четырех красок формулируется так: ”Можно ли область любой плоской карты раскрасить четырьмя цветами так, чтобы любые две соседние области были раскрашены в различные цвета?”. Гипотеза о том, что ответ утвердительный, была сформулирована в середине 19в. В 1890 году было доказано более слабое утверждение, а именно, что любая плоская карта раскрашивается в пять цветов. Сопоставляя любой плоской карте двойственный ей плоский граф, получают эквивалентную формулировку задачи в терминах графов: Верно ли, что хроматическое число любого плоского графа меньше либо равно четырёх? Многочисленные попытки решения задачи оказали влияние на развитие ряда направлений теории графов. В 1976 году анонсировано положительное решение задачи с использованием ЭВМ.

Другая старая топологическая задача, которая особенно долго не поддавалась решению и будоражила умы любителей головоломок, известна как “задача об электро -, газо - и водоснабжении”. В 1917 году Генри Э.Дьюдени дал ей такую формулировку. В каждый из трёх домов, изображенных на рисунке, необходимо провести газ, свет и воду.

Содержание

Тео́рия гра́фов. 1

История возникновения теории графов. 1

Правило Эйлера. 1

Литература

1.                 Белов Теория Графов, Москва, «Наука»,1968.

2.     Новые педагогические и информационные технологии Е.С.Полат, Москва, «Akademia» 1999 г.

3.     Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. – М.: Энергоатомиздат, 1988.

4.     Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. – М.: Наука, 1990.

5.     Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. – М.: Издательство МАИ, 1992.

6.     Оре О. Теория графов. – М.: Наука, 1980.

7.     Исмагилов Р.С., Калинкин А.В. Матеpиалы к пpактическим занятиям по куpсу: Дискpетная математика по теме: Алгоpитмы на гpафах. - М.: МГТУ, 1995