Золотое сечение

Текст:

Содержание


Введение
2.Золотоесечение–гармоническаяпропорция
3.Второезолотоесечение
4.Золотойтреугольник(пентаграмма)
5.Историязолотогосечения
6.РядФибоначчи
7.Обобщенноезолотоесечение
8.Принципыформообразованиявприроде
9.Золотоесечениеисимметрия
10.Разгадкатайнызолотогосечения
11.Золотоесечениевскульптуре
12.Золотоесечениевархитектуре
13.Золотоесечениевживописи.Золотаяспираль
14."Необходимопрекрасномузданиюбытьпостроенным
подобнохорошосложенномучеловеку"(ПавелФлоренский)
15.Закономерностипостроенияпространственнойкомпозициипарка
Литература


Введение

Человекразличаетокружающиеегопредметыпоформе.Интерескформекакого-либопредметаможетбытьпродиктованжизненнойнеобходимостью,аможетбытьвызванкрасотой
формы.Форма,восновепостроениякоторойлежатсочетаниесимметрииизолотогосечения,спосо
бствуетнаилучшемузрительномувосприятиюипоявлениюощущениякрасотыигармонии.Целоевсе
гдасостоитизчастей,частиразнойвеличинынаходятсявопределенномотношениидругкдругуик
целому.Принципзолотогосечения–высшеепроявлениеструктурногоифункциональногосоверше
нствацелогоиегочастейвискусстве,науке,техникеиприроде.

ЕщевэпохуВозрожденияхудожникиоткрыли,чтолюбаякартинаимеетопределенныеточки,невол
ьноприковывающиенашевнимание,такназываемыезрительныецентры.Приэтомабсолютноневажн
о,какойформатимееткартина-горизонтальныйиливертикальный.Такихточеквсегочетыре,ирасположеныонинарасстоянии3/8и5/8отсоответствующихкраевплоскости. 

Данноеоткрытиеухудожниковтоговремениполучилоназвание"золотоесечение"картины. Поэтому,длятогочтобыпривлечьвниманиекглавномуэлементуфотографии,необход
имосовместитьэтотэлементсоднимиззрительныхцентров.


2.Золотоесечение–гармоническаяпропорция

Вматематикепропорцией(лат.proportio)называютравенстводвухотношений:a:b=c:d.
ОтрезокпрямойАВможноразделитьнадвечастиследующимиспособами:
*надверавныечасти–АВ:АС=АВ:ВС;
*надвенеравныечастивлюбомотношении(такиечастипропорциинеобразуют);
*такимобразом,когдаАВ:АС=АС:ВС.
Последнееиестьзолотоеделениеилиделениеотрезкавкрайнемисреднемотношении.
Золотоесечение–этотакоепропорциональноеделениеотрезкананеравныечасти,прикоторомв
есьотрезоктакотноситсякбольшейчасти,каксамабольшаячастьотноситсякменьшей;илидруги
мисловами,меньшийотрезоктакотноситсякбольшему,какбольшийковсемуa:b=b:cилис:b=b:а.

Рис.1.Геометрическоеизображениезолотойпропорции

Практическоезнакомствосзолотымсечениемначинаютсделенияотрезкапрямойвзолотойпропо
рцииспомощьюциркуляилинейки.

Рис.2.Делениеотрезкапрямойпозолотомусечению.BC=1/2AB;CD=BC

ИзточкиВвосставляетсяперпендикуляр,равныйполовинеАВ.ПолученнаяточкаСсоединяетсял
иниейсточкойА.НаполученнойлинииоткладываетсяотрезокВС,заканчивающийсяточкойD.Отре
зокADпереноситсянапрямуюАВ.ПолученнаяприэтомточкаЕделитотрезокАВвсоотношениизолот
ойпропорции.
ОтрезкизолотойпропорциивыражаютсябесконечнойиррациональнойдробьюAE=0,618...,если
АВпринятьзаединицу,ВЕ=0,382...Дляпрактическихцелейчастоиспользуютприближенныезнач
ения0,62и0,38.ЕслиотрезокАВпринятьза100частей,тобольшаячастьотрезкаравна62,аменьш
ая–38частям.
Свойствазолотогосеченияописываютсяуравнением:
x2–x–1=0.
Решениеэтогоуравнения:

Свойствазолотогосечениясоздаливокругэтогочисларомантическийореолтаинственностиич
утьлинемистическогопоклонения.
3.Второезолотоесечение

Болгарскийжурнал«Отечество»(№10,1983г.)опубликовалстатьюЦветанаЦекова-Карандаша«Овторомзолотомсечении»,котороевытекаетизосновногосеченияидаетдругоеотн
ошение44:56.
Такаяпропорцияобнаруженавархитектуре,атакжеимеетместоприпостроениикомпозицийизоб
раженийудлиненногогоризонтальногоформата.



Рис.3.Построениевторогозолотогосечения

 
Делениеосуществляетсяследующимобразом.ОтрезокАВделитсявпропорциизолотогосечения.
ИзточкиСвосставляетсяперпендикулярСD.РадиусомАВнаходитсяточкаD,котораясоединяется
линиейсточкойА.ПрямойуголАСDделитсяпополам.ИзточкиСпроводитсялиниядопересечениясл
иниейAD.ТочкаЕделитотрезокADвотношении56 : 44.


Рис.3.1.Делениепрямоугольникалиниейвторогозолотогосечения

Нарисункепоказаноположениелиниивторогозолотогосечения.Онанаходитсяпосерединемежд
улиниейзолотогосеченияисреднейлиниейпрямоугольника.





4.Золотойтреугольник

Замечательныйпример«золотогосечения»представляетсобойправильныйпятиугольник–выпу
клыйизвездчатый(рис. 4).

ИзподобиятреугольниковACDиABEможемвывестиужеизвестнуюпропорцию:

Такимобразом,звездчатыйпятиугольниктакжеобладает«золотымсечением».Интересно,чтов
нутрипятиугольникаможнопродолжитьстроитьпятиугольники,иэтоотношениебудетсохранять
ся.
Звездчатыйпятиугольникназываетсяпентаграммой.Пифагорейцывыбралипятиконечнуюзвезд
увкачестветалисмана,онасчиталасьсимволомздоровьяислужилаопознавательнымзнаком.
Бытуетлегендаотом,чтоодинизпифагорейцевбольнымпопалвдомкнезнакомымлюдям.Онистара
лисьеговыходить,ноболезньнеотступала.Неимеясредствзаплатитьзалечениеиуход,больной
передсмертьюпопросилхозяинадоманарисоватьувходапятиконечнуюзвезду,объяснив,чтопоэ
томузнакунайдутсялюди,которыевознаградятего.Инасамомделе,черезнекотороевремяодини
зпутешествующихпифагорейцевзаметилзвездуисталрасспрашиватьхозяинадомаотом,какимоб
разомонапоявилисьувхода.Послерассказахозяинагостьщедровознаградилего.
ПентаграммабылахорошоизвестнаивДревнемЕгипте.Нонепосредственнокакэмблемаздоровья
онабылаприняталишьвДревнейГреции.
Внастоящеевремясуществуетгипотеза,чтопентаграмма–первичноепонятие,а«золотоесечен
ие»вторично.Пентаграммуниктонеизобретал,еетолькоскопировалиснатуры.Видпятиконечно
йзвездыимеютпяти-лепестковыецветыплодовыхдеревьевикустарников,морскиезвезды.Теидругиесозданияприр
одычеловекнаблюдаетужетысячилет.Поэтомуестественнопредположить,чтогеометрическийо
бразэтихобъектов–пентаграмма–сталаизвестнараньше,чем«золотая»пропорция.


Длянахожденияотрезковзолотойпропорциивосходящегоинисходящегорядовможнопользовать
сяпентаграммой.

Рис.5.Построениеправильногопятиугольникаипентаграммы
Дляпостроенияпентаграммынеобходимопостроитьправильныйпятиугольник.Способегопостр
оенияразработалнемецкийживописециграфикАльбрехтДюрер(1471...1528).ПустьO–центрокр
ужности,A–точканаокружностииЕ–серединаотрезкаОА.ПерпендикуляркрадиусуОА,восставле
нныйвточкеО,пересекаетсясокружностьювточкеD.Пользуясьциркулем,отложимнадиаметреот
резокCE=ED.ДлинасторонывписанноговокружностьправильногопятиугольникаравнаDC.Откла
дываемнаокружностиотрезкиDCиполучимпятьточекдляначертанияправильногопятиугольника
.Соединяемуглыпятиугольникачерезодиндиагоналямииполучаемпентаграмму.Вседиагоналип
ятиугольникаделятдругдруганаотрезки,связанныемеждусобойзолотойпропорцией.
Каждыйконецпятиугольнойзвездыпредставляетсобойзолотойтреугольник.Егостороныобраз
уютугол36°привершине,аоснование,отложенноенабоковуюсторону,делитеевпропорциизолот
огосечения.

Рис.6.Построениезолотого
треугольника
 
ПроводимпрямуюАВ.ОтточкиАоткладываемнанейтриразаотрезокОпроизвольнойвеличины,чер
езполученнуюточкуРпроводимперпендикулярклинииАВ,наперпендикуляревправоивлевоотточ
киРоткладываемотрезкиО.Полученныеточкиdиd1соединяемпрямымисточкойА.Отрезокdd1откл
адываемналиниюAd1,получаяточкуС.ОнаразделилалиниюAd1впропорциизолотогосечения.Лин
иямиAd1иdd1пользуютсядляпостроения«золотого»прямоугольника.

5.Историязолотогосечения

Принятосчитать,чтопонятиеозолотомделенииввелвнаучныйобиходПифагор,древнегречески
йфилософиматематик(VIв.дон.э.).Естьпредположение,чтоПифагорсвоезнаниезолотогоделе
нияпозаимствовалуегиптянивавилонян.Идействительно,пропорциипирамидыХеопса,храмов,
барельефов,предметовбытаиукрашенийизгробницыТутанхамонасвидетельствуют,чтоегипетс
киемастерапользовалисьсоотношениямизолотогоделенияприихсоздании.Французскийархите
кторЛеКорбюзьенашел,чтоврельефеизхрамафараонаСетиIвАбидосеиврельефе,изображающемф
араонаРамзеса,пропорциифигурсоответствуютвеличинамзолотогоделения.ЗодчийХесира,из
ображенныйнарельефедеревяннойдоскиизгробницыегоимени,держитврукахизмерительныеинс
трументы,вкоторыхзафиксированыпропорциизолотогоделения.
Грекибылиискуснымигеометрами.Дажеарифметикеобучалисвоихдетейприпомощигеометричес
кихфигур.КвадратПифагораидиагональэтогоквадратабылиоснованиемдляпостроениядинамич
ескихпрямоугольников.

Рис.7.Динамическиепрямоугольники
Платон(427...347 гг.дон.э.)такжезналозолотомделении.Егодиалог«Тимей»посвященмате
матическимиэстетическимвоззрениямшколыПифагораи,вчастности,вопросамзолотогоделени
я.
ВфасадедревнегреческогохрамаПарфенонаприсутствуютзолотыепропорции.Приегораскопка
хобнаруженыциркули,которымипользовалисьархитекторыискульпторыантичногомира.ВПомпе
йскомциркуле(музейвНеаполе)такжезаложеныпропорциизолотогоделения.

Рис.8.Античныйциркульзолотогосечения
Вдошедшейдонасантичнойлитературезолотоеделениевпервыеупоминаетсяв«Началах»Евклид
а.Во2-йкниге«Начал»даетсягеометрическоепостроениезолотогоделенияПослеЕвклидаисследован
иемзолотогоделениязанималисьГипсикл(IIв.дон.э.),Папп(IIIв.н.э.)идр.Всредневековой
Европесзолотымделениемпознакомилисьпоарабскимпереводам«Начал»Евклида.ПереводчикДж
. КампаноизНаварры(IIIв.)сделалкпереводукомментарии.Секретызолотогоделенияревност
нооберегались,хранилисьвстрогойтайне.Онибылиизвестнытолькопосвященным.
ВэпохуВозрожденияусиливаетсяинтерескзолотомуделениюсредиученыхихудожниковвсвязис
егоприменениемкаквгеометрии,такивискусстве,особенновархитектуреЛеонардодаВинчи,ху
дожникиученый,видел,чтоуитальянскиххудожниковэмпирическийопытбольшой,азнаниймало.
Онзадумалиначалписатькнигупогеометрии,новэтовремяпоявиласькнигамонахаЛукиПачоли,и
Леонардооставилсвоюзатею.Помнениюсовременниковиисториковнауки,ЛукаПачолибылнастоя
щимсветилом,величайшимматематикомИталиивпериодмеждуФибоначчииГалилеем.ЛукаПачолиб
ылученикомхудожникаПьероделлаФранчески,написавшегодвекниги,однаизкоторыхназывалас
ь«Оперспективевживописи».Егосчитаюттворцомначертательнойгеометрии.
ЛукаПачолипрекраснопонималзначениенаукидляискусства.В1496гпоприглашениюгерцогаМо
роонприезжаетвМилан,гдечитаетлекциипоматематике.ВМиланепридвореМоровтовремяработа
лиЛеонардодаВинчи.В1509 г.вВенециибылаизданакнигаЛукиПачоли«Божественнаяпропорция
»сблестящевыполненнымииллюстрациями,ввидучегополагают,чтоихсделалЛеонардодаВинчи.
Книгабылавосторженнымгимномзолотойпропорции.Средимногихдостоинствзолотойпропорции
монахЛукаПачолинепреминулназватьиее«божественнуюсуть»каквыражениебожественноготри
единствабогсын,боготецибогдухсвятой(подразумевалось,чтомалыйотрезокестьолицетворе
ниебогасына,большийотрезок–богаотца,авесьотрезок–богадухасвятого).
ЛеонардодаВинчитакжемноговниманияуделялизучениюзолотогоделения.Онпроизводилсечен
иястереометрическоготела,образованногоправильнымипятиугольниками,икаждыйразполуча
лпрямоугольникисотношениямисторонвзолотомделении.Поэтомуондалэтомуделениюназвание
золотоесечение.Таконоидержитсядосихпоркаксамоепопулярное.
ВтожевремянасевереЕвропы,вГермании,надтемижепроблемамитрудилсяАльбрехтДюрер.Онде
лаетнаброскивведениякпервомувариантутрактатаопропорциях.Дюрерпишет.«Необходимо,чт
обытот,кточто-либоумеет,обучилэтомудругих,которыевэтомнуждаются.Этояивознамерилсясделать».
СудяпоодномуизписемДюрера,онвстречалсясЛукойПачоливовремяпребываниявИталии.Альбр
ехтДюрерподробноразрабатываеттеориюпропорцийчеловеческоготела.Важноеместовсвоейси
стемесоотношенийДюреротводилзолотомусечению.Ростчеловекаделитсявзолотыхпропорциях
линиейпояса,атакжелинией,проведеннойчерезкончикисреднихпальцевопущенныхрук,нижняя
частьлица–ртомит.д.ИзвестенпропорциональныйциркульДюрера.
ВеликийастрономXVIв.ИоганКеплерназвалзолотоесечениеоднимизсокровищгеометрии.Онпе
рвыйобращаетвниманиеназначениезолотойпропорциидляботаники(рострастенийиихстроение
).
Кеплерназывалзолотуюпропорциюпродолжающейсамусебя«Устроенаонатак,–писалон,–чтодв
амладшихчленаэтойнескончаемойпропорциивсуммедаюттретийчлен,алюбыедвапоследнихчлен
а,еслиихсложить,даютследующийчлен,причемтажепропорциясохраняетсядобесконечности».
Построениерядаотрезковзолотойпропорцииможнопроизводитькаквсторонуувеличения(возр
астающийряд),такивсторонууменьшения(нисходящийряд).
Еслинапрямойпроизвольнойдлины,отложитьотрезокm,рядомоткладываемотрезокM.Наоснова
нииэтихдвухотрезковвыстраиваемшкалуотрезковзолотойпропорциивосходящегоинисходящег
орядов:


Рис.9.Построениешкалыотрезковзолотойпропорции

Впоследующиевекаправилозолотойпропорциипревратилосьвакадемическийканони,когдасов
ременемвискусственачаласьборьбасакадемическойрутиной,впылуборьбы«вместесводойвыпл
еснулииребенка».Вновь«открыто»золотоесечениебыловсерединеXIXв.В1855 г.немецкийисс
ледовательзолотогосеченияпрофессорЦейзингопубликовалсвойтруд«Эстетическиеисследов
ания».СЦейзингомпроизошлоименното,чтоидолжнобылонеминуемопроизойтисисследователем
,которыйрассматриваетявлениекактаковое,безсвязисдругимиявлениями.Онабсолютизирова
лпропорциюзолотогосечения,объявивееуниверсальнойдлявсехявленийприродыиискусства.У
Цейзингабылимногочисленныепоследователи,нобылиипротивники,которыеобъявилиегоучени
еопропорциях«математическойэстетикой».

Рис.10.Золотыепропорциивчастяхтелачеловека




Рис.11.Золотыепропорциивфигуречеловека
 
Цейзингпроделалколоссальнуюработу.Онизмерилоколодвухтысяччеловеческихтелипришелк
выводу,чтозолотоесечениевыражаетсреднийстатистическийзакон.Делениетелаточкойпупа–
важнейшийпоказательзолотогосечения.Пропорциимужскоготелаколеблютсявпределахсредне
гоотношения13 : 8=1,625инесколькоближеподходяткзолотомусечению,чемпропорцииженско
готела,вотношениикоторогосреднеезначениепропорциивыражаетсявсоотношении8 : 5=1,6.
Уноворожденногопропорциясоставляетотношение1 : 1,к13годамонаравна1,6,ак21годуравн
яетсямужской.Пропорциизолотогосеченияпроявляютсяивотношениидругихчастейтела–длина
плеча,предплечьяикисти,кистиипальцевит.д.
 



СправедливостьсвоейтеорииЦейзингпроверялнагреческихстатуях.Наиболееподробноонраз
работалпропорцииАполлонаБельведерского.Подверглисьисследованиюгреческиевазы,архит
ектурныесооруженияразличныхэпох,растения,животные,птичьияйца,музыкальныетона,стих
отворныеразмеры.Цейзингдалопределениезолотомусечению,показал,каконовыражаетсявотр
езкахпрямойивцифрах.Когдацифры,выражающиедлиныотрезков,былиполучены,Цейзингувидел
,чтоонисоставляютрядФибоначчи,которыйможнопродолжатьдобесконечностиводнуивдругуюс
торону.Следующаяегокнигаимеланазвание«Золотоеделениекакосновнойморфологическийзак
онвприродеиискусстве».В1876г.вРоссиибылаиздананебольшаякнижка,почтиброшюра,сизлож
ениемэтоготрудаЦейзинга.АвторукрылсяподинициаламиЮ.Ф.В.Вэтомизданиинеупомянутонио
днопроизведениеживописи.
ВконцеXIX–началеXX вв.появилосьнемалочистоформалистическихтеорииоприменениизолот
огосечениявпроизведенияхискусстваиархитектуры.Сразвитиемдизайнаитехническойэстети
кидействиезаконазолотогосеченияраспространилосьнаконструированиемашин,мебелиит.д.

6.РядФибоначчи

СисториейзолотогосечениякосвеннымобразомсвязаноимяитальянскогоматематикамонахаЛе
онардоизПизы,болееизвестногоподименемФибоначчи(сынБоначчи).Онмногопутешествовалпо
Востоку,познакомилЕвропусиндийскими(арабскими)цифрами.В1202гвышелвсветегоматемати
ческийтруд«Книгаобабаке»(счетнойдоске),вкоторомбылисобранывсеизвестныенатовремяза
дачи.Однаиззадачгласила«Сколькопаркроликовводингодотоднойпарыродится».Размышляяна
этутему,Фибоначчивыстроилтакойрядцифр:
 
Месяцы
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
ит.д.
Парыкроликов
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
ит.д.
 
Рядчисел0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55ит.д.известенкакрядФибоначчи.Особенностьпоследо
вательностичиселсостоитвтом,чтокаждыйеечлен,начинаястретьего,равенсуммедвухпредыд
ущих2+3=5;3+5=8;5+8=13,8+13=21;13+21=34ит.д.,аотношениесмежныхчиселрядаприближает
сякотношениюзолотогоделения.Так,21 : 34=0,617,а34 : 55=0,618.Этоотношениеобознача
етсясимволомФ.Толькоэтоотношение–0,618 : 0,382–даетнепрерывноеделениеотрезкапрямо
йвзолотойпропорции,увеличениеегоилиуменьшениедобесконечности,когдаменьшийотрезокт
акотноситсякбольшему,какбольшийковсему.
Фибоначчитакжезанималсярешениемпрактическихнуждторговли:спомощьюкакогонаименьшег
околичествагирьможновзвеситьтовар?Фибоначчидоказывает,чтооптимальнойявляетсятакаясистемагирь:1,2,4,8,16...

7.Обобщенноезолотоесечение

РядФибоначчимогбыостатьсятолькоматематическимказусом,еслибынетообстоятельство,чт
овсеисследователизолотогоделенияврастительномивживотноммире,неговоряужеобискусств
е,неизменноприходиликэтомурядукакарифметическомувыражениюзаконазолотогоделения.
УченыепродолжалиактивноразвиватьтеориючиселФибоначчиизолотогосечения.Ю. Матиясев
ичсиспользованиемчиселФибоначчирешает10-юпроблемуГильберта.Возникаютизящныеметодырешениярядакибернетическихзадач(теориип
оиска,игр,программирования)сиспользованиемчиселФибоначчиизолотогосечения.ВСШАсозд
аетсядажеМатематическаяФибоначчи-ассоциация,котораяс1963годавыпускаетспециальныйжурнал.
ОднимиздостиженийвэтойобластиявляетсяоткрытиеобобщенныхчиселФибоначчииобобщенных
золотыхсечений.
РядФибоначчи(1,1,2,3,5,8)иоткрытыйимже«двоичный»рядгирь1,2,4,8,16...напервыйвзгл
ядсовершенноразные.Ноалгоритмыихпостроениявесьмапохожидругнадруга:впервомслучаека
ждоечислоестьсуммапредыдущегочислассамимсобой2=1+1;4=2+2...,вовтором–этосуммадвух
предыдущихчисел2=1+1,3=2+1,5=3+2....Нельзялиотыскатьобщуюматематическуюформулу,из
которойполучаютсяи«двоичный»ряд,ирядФибоначчи?Аможетбыть,этаформуладастнамновыечисловыемножества,обладающиекакими-тоновымиуникальнымисвойствами?
Действительно,зададимсячисловымпараметромS,которыйможетприниматьлюбыезначения:0,
1,2,3,4,5...Рассмотримчисловойряд,S+1первыхчленовкоторого–единицы,акаждыйизпослед
ующихравенсуммедвухчленовпредыдущегоиотстоящегоотпредыдущегонаSшагов.Еслиn-йчленэтогорядамыобозначимчерез?S(n),тополучимобщуюформулу?S(n)=?S(n–1)+?S(n–S–1).
Очевидно,чтоприS=0изэтойформулымыполучим«двоичный»ряд,приS=1–рядФибоначчи,приS=2
,3,4.новыерядычисел,которыеполучилиназваниеS-чиселФибоначчи.
ВобщемвидезолотаяS-пропорцияестьположительныйкореньуравнениязолотогоS-сеченияxS+1–xS–1=0.
Нетруднопоказать,чтоприS=0получаетсяделениеотрезкапополам,априS=1–знакомоекласси
ческоезолотоесечение.
ОтношениясоседнихS-чиселФибоначчисабсолютнойматематическойточностьюсовпадаютвпределесзолотымиS-пропорциями!Математикивтакихслучаяхговорят,чтозолотыеS-сеченияявляютсячисловымиинвариантамиS-чиселФибоначчи.
Факты,подтверждающиесуществованиезолотыхS-сеченийвприроде,приводитбелорусскийученыйЭ.М. Сороковкниге«Структурнаягармонияси
стем»(Минск,«Наукаитехника»,1984).Оказывается,например,чтохорошоизученныедвойныес
плавыобладаютособыми,ярковыраженнымифункциональнымисвойствами(устойчивывтермическ
омотношении,тверды,износостойки,устойчивыкокислениюит.п)тольковтомслучае,еслиудел
ьныевесаисходныхкомпонентовсвязаныдругсдругомоднойиззолотыхS-пропорций.Этопозволилоавторувыдвинутьгипотезуотом,чтозолотыеS-сеченияестьчисловыеинвариантысамоорганизующихсясистем.Будучиподтвержденнойэкспер
иментально,этагипотезаможетиметьфундаментальноезначениедляразвитиясинергетики–нов
ойобластинауки,изучающейпроцессывсамоорганизующихсясистемах.
СпомощьюкодовзолотойS-пропорцииможновыразитьлюбоедействительноечисловвидесуммыстепенейзолотыхS-пропорцийсцелымикоэффициентами.
Принципиальноеотличиетакогоспособакодированиячиселзаключаетсявтом,чтооснованияно
выхкодов,представляющиесобойзолотыеS-пропорции,приS>0оказываютсяиррациональнымичислами.Такимобразом,новыесистемысчислениясиррационал
ьнымиоснованиямикакбыставят«сголовынаноги»историческисложившуюсяиерархиюотношений
междучисламирациональнымиииррациональными.Деловтом,чтосначалабыли«открыты»числана
туральные;затемихотношения–числарациональные.Илишьпозже–послеоткрытияпифагорейцам
инесоизмеримыхотрезков–насветпоявилисьиррациональныечисла.Скажем,вдесятичной,пяте
ричной,двоичнойидругихклассическихпозиционныхсистемахсчислениявкачествесвоеобразн
ойпервоосновыбыливыбранынатуральныечисла–10,5,2,–изкоторыхужепоопределеннымправил
амконструировалисьвседругиенатуральные,атакжерациональныеииррациональныечисла.
Своегородаальтернативойсуществующимспособамсчислениявыступаетновая,иррациональна
ясистема,вкачествепервоосновы,началасчислениякоторойвыбраноиррациональноечисло(яв
ляющееся,напомним,корнемуравнениязолотогосечения);черезнегоужевыражаютсядругиедей
ствительныечисла.
Втакойсистемесчислениялюбоенатуральноечисловсегдапредставимоввидеконечной,–анебе
сконечной,какдумалиранее!–суммыстепенейлюбойиззолотыхS-пропорций.Этооднаизпричин,почему«иррациональная»арифметика,обладаяудивительнойма
тематическойпростотойиизяществом,какбывобралавсебялучшиекачестваклассическойдвоич
нойи«Фибоначчиевой»арифметик.



8.Принципыформообразованиявприроде

Все,чтоприобреталокакую-тоформу,образовывалось,росло,стремилосьзанятьместовпространствеисохранитьсебя.Эт
остремлениенаходитосуществлениевосновномвдвухвариантах–роствверхилирасстиланиепоп
оверхностиземлиизакручиваниепоспирали.
Раковиназакрученапоспирали.Еслиееразвернуть,тополучаетсядлина,немногоуступающаяд
линезмеи.Небольшаядесятисантиметроваяраковинаимеетспиральдлиной35см.Спиралиоченьр
аспространенывприроде.Представлениеозолотомсечениибудетнеполным,еслинесказатьоспи
рали.

Рис.12.СпиральАрхимеда
ФормаспиральнозавитойраковиныпривлеклавниманиеАрхимеда.Онизучалееивывелуравнение
спирали.Спираль,вычерченнаяпоэтомууравнению,называетсяегоименем.Увеличениееешагав
сегдаравномерно.ВнастоящеевремяспиральАрхимедаширокоприменяетсявтехнике.
ЕщеГетеподчеркивалтенденциюприродыкспиральности.Винтообразноеиспиралевидноераспо
ложениелистьевнаветкахдеревьевподметилидавно.Спиральувиделиврасположениисемянподс
олнечника,вшишкахсосны,ананасах,кактусахит.д.Совместнаяработаботаниковиматематико
впролиласветнаэтиудивительныеявленияприроды.Выяснилось,чтоврасположениилистьевнав
етке(филотаксис),семянподсолнечника,шишексосныпроявляетсебярядФибоначчи,асталобыт
ь,проявляетсебязаконзолотогосечения.Паукплететпаутинуспиралеобразно.Спиральюзакру
чиваетсяураган.Испуганноестадосеверныхоленейразбегаетсяпоспирали.МолекулаДНКзакру
ченадвойнойспиралью.Гетеназывалспираль«кривойжизни».
Средипридорожныхтраврастетничемнепримечательноерастение–цикорий.Приглядимсякнему
внимательно.Отосновногостебляобразовалсяотросток.Тутжерасположилсяпервыйлисток.Ри
с.13.Цикорий

Отростокделаетсильныйвыбросвпространство,останавливается,выпускаетлисток,ноужеко
рочепервого,сноваделаетвыбросвпространство,ноужеменьшейсилы,выпускаетлистокещемен
ьшегоразмераисновавыброс.Еслипервыйвыброспринятьза100единиц,товторойравен62единиц
ам,третий–38,четвертый–24ит.д.Длиналепестковтожеподчиненазолотойпропорции.Вросте,
завоеваниипространстварастениесохранялоопределенныепропорции.Импульсыегоростапост
епенноуменьшалисьвпропорциизолотогосечения.

Рис.14.Ящерицаживородящая
Вящерицеспервоговзглядаулавливаютсяприятныедлянашегоглазапропорции–длинаеехвоста
такотноситсякдлинеостальноготела,как62к38.
Иврастительном,ивживотноммиренастойчивопробиваетсяформообразующаятенденцияприрод
ы–симметрияотносительнонаправленияростаидвижения.Здесьзолотоесечениепроявляетсявп
ропорцияхчастейперпендикулярнокнаправлениюроста.
Природаосуществиладелениенасимметричныечастиизолотыепропорции.Вчастяхпроявляется
повторениестроенияцелого.

Рис.15.Яйцоптицы
ВеликийГете,поэт,естествоиспытательихудожник(онрисовалиписалакварелью),мечталосо
зданииединогоученияоформе,образованииипреобразованииорганическихтел.Этоонввелвнау
чныйобиходтерминморфология.
ПьерКюривначаленашегостолетиясформулировалрядглубокихидейсимметрии.Онутверждал,ч
тонельзярассматриватьсимметриюкакого-либотела,неучитываясимметриюокружающейсреды.
Закономерности«золотой»симметриипроявляютсявэнергетическихпереходахэлементарныхч
астиц,встроениинекоторыххимическихсоединений,впланетарныхикосмическихсистемах,вге
нныхструктурахживыхорганизмов.Этизакономерности,какуказановыше,естьвстроенииотдел
ьныхоргановчеловекаителавцелом,атакжепроявляютсявбиоритмахифункционированииголовн
огомозгаизрительноговосприятия.



9.Золотоесечениеисимметрия

Золотоесечениенельзярассматриватьсамопосебе,отдельно,безсвязиссимметрией.Великий
русскийкристаллографГ.В. Вульф(1863...1925)считалзолотоесечениеоднимизпроявленийс
имметрии.
Золотоеделениенеестьпроявлениеасимметрии,чего-топротивоположногосимметрииСогласносовременнымпредставлениямзолотоеделение–этоас
имметричнаясимметрия.Внаукуосимметриивошлитакиепонятия,какстатическаяидинамическа
ясимметрия.Статическаясимметрияхарактеризуетпокой,равновесие,адинамическая–движен
ие,рост.Так,вприродестатическаясимметрияпредставленастроениемкристаллов,авискусст
вехарактеризуетпокой,равновесиеинеподвижность.Динамическаясимметриявыражаетактивн
ость,характеризуетдвижение,развитие,ритм,она–свидетельствожизни.Статическойсиммет
риисвойственныравныеотрезки,равныевеличины.Динамическойсимметриисвойственноувелич
ениеотрезковилиихуменьшение,ионовыражаетсяввеличинахзолотогосечениявозрастающегои
лиубывающегоряда.
 







10.Разгадкатайнызолотогосечения

Золотоесечение-этосечениеотрезканадвечаститак,чтодлинабольшейчастиотноситсякдлинеменьшейчастита
кже,какдлинавсегоотрезкакдлинебольшейчасти.
Золотойвурф-этопоследовательныйрядотрезков,когдасмежныеотрезкинаходятсявотношениизолотогосеч
ения.
Рассмотримгармоническийпроцессколебанийструны.
Наструнемогутсоздаватьсястоячиеволныосновнойивысшихгармоник(обертонов).Длиныполу
волнгармоническогорядасоответствуютфункции1/N,гдеN-натуральноечисло.Длиныполуволнмогутбытьвыраженывпроцентахотдлиныполуволныосновно
йгармоники:100%50%33%25%20%...Возбудитьтуилиинуюгармоникуможновоздействиемнасоответствующийучастокструны.Вс
лучаевоздействиянапроизвольныйучастокструныбудутвозбуждатьсявсегармоникисразличны
миамплитуднымикоэффициентами,которыезависятоткоординатыучастка,отшириныучасткаиот
частотно-временныххарактеристиквоздействия.
Введемфункциювосприимчивостиструныкимпульсномувоздействию.
Учитываяразныезнакифазчетныхинечетныхгармоник,получимзнакопеременнуюфункцию,кото
раявпервомприближениисоответствуетфункцииБесселя,апобольшомусчетуПси-функцииШредингера.
Выглядитонаприблизительноследующимобразом:


Еслиточкузакрепленияпринятьзаначалоотсчета,асерединуструныза100%,томаксимумвосприимчивостипо1-ойгармоникебудетсоответствовать100%,по2-й-50%,по3-ей-33%ит.д.
Посмотрим,гдебудетнашафункцияпересекатьосьабсцисс.
62%38%23.6%14.6%9%5,6%3.44%2.13%1.31%0.81%0.5%0.31%0.19%0.12%...
Этопропорциязолотоговурфа.Каждоеследующеечислов0.618разотличаетсяотпредыдущего.П
олучилосьследующее:
Возбуждениеструнывточке,делящейеевотношениизолотогосеченияначастотеблизкойкоснов
нойгармонике,невызоветколебанийструны,т.е.точказолотогосечения-этоточкакомпенсации,демпфирования.
Длядемпфированиянаболеевысокихчастотах,кпримеруна4-ойгармонике,точкукомпенсациинужновыбратьв4-омпересечениифункциисосьюабсцисс.
Еслимысоздадимпрямоугольныйплоскийрезонаторэлектромагнитныхколебаний,стороныкото
рогоотносятсявпропорциизолотогосечения,токолебаниявтакомрезонаторебудутразделенып
одвумстепенямсвободы,т.к.колебаниявдольбольшейсторонынесмогутвозбудитьколебанийвд
ольменьшейстороны,т.к.дляменьшейстороныдлинабольшейсторонысоответствуетточкекомпе
нсации.
Теперьстановитсяпонятнойпричина,побудившаясоздатьпрямоугольныеячейкиспропорциейз
олотогосеченияналетательныхаппаратахсэлектромагнитнымиисточникамиэнергии.Этопозво
лилосориентироватьэлектромагнитныеколебанияпонужномунаправлению(вертикальноилигор
изонтально).Далее,этипропорцииужебылиотраженывархитектурекультовыхсооруженийистал
иканонамиискусства.





 11.Золотоесечениевскульптуре


Скульптурныесооружения,памятникивоздвигаются,чтобыувековечитьзнаменательныесобыт
ия,сохранитьвпамятипотомковименапрославленныхлюдей,ихподвигиидеяния.
Известно,чтоещевдревностиосновускульптурысоставлялатеорияпропорций.Отношениячаст
ейчеловеческоготеласвязывалисьсформулойзолотогосечения.
Пропорции«золотогосечения»создаютвпечатлениегармониикрасоты,поэтому

скульпторыиспользовалиихвсвоихпроизведениях.
Скульпторыутверждают,чтоталияделитсовершенноечеловеческоетеловотношении«золотого
сечения».Так,например,знаменитаястатуяАполлонаБельведерскогосостоитизчастей,делящ
ихсяпозолотымотношениям.
ВеликийдревнегреческийскульпторФидийчастоиспользовал«золотоесечение»в

своихпроизведениях.СамымизнаменитымиизнихбылистатуяЗевсаОлимпийского(котораясчит
аласьоднимизчудессвета)иАфиныПарфенос.
Измерениянесколькихтысяччеловеческихтелпозволилиобнаружить,чтодлявзрослыхмужчинэ
тоотношениеравно=1,625,адлявзрослыхженщиноносоставляет=1,6.Такчтопропорциимужчинб
лижек«золотомусечению»,чемпропорцииженщин.Былопроведенобольшоечислоизмеренийнапом
ещенныхвжурналахкрупныхпортретахмужчиниженщин,намногихизнихуказанныеотношенияпред
ставляют«золотоесечение».




12.Золотоесечениевархитектуре


Вкнигахо«золотомсечении»можнонайтизамечаниеотом,чтовархитектуре,какивживописи,вс
езависитотположениянаблюдателя,ичто,еслинекоторыепропорциивзданиисоднойстороныкаж
утсяобразующими«золотоесечение»,тосдругихточекзренияонибудутвыглядетьиначе.«Золот
оесечение»даетнаиболееспокойноесоотношениеразмеровтехилииныхдлин.

ОднимизкрасивейшихпроизведенийдревнегреческойархитектурыявляетсяПарфенон(V в.дон
. э.).
Парфенонимеет8колоннпокороткимсторонами17подлинным.выступысделаныцеликомизквадра
товпентилейскогомрамора.Благородствоматериала,изкоторогопостроенхрам,позволилоогр
аничитьприменениеобычнойвгреческойархитектурераскраски,онатолькоподчеркиваетдетал
ииобразуетцветнойфон(синийикрасный)дляскульптуры.Отношениевысотызданиякегодлинера
вно0,618.ЕслипроизвестиделениеПарфенонапо«золотомусечению»,тополучимтеилииныевыст
упыфасада.
ДругимпримеромизархитектурыдревностиявляетсяПантеон.
ИзвестныйрусскийархитекторМ.Казаковвсвоемтворчествеширокоиспользовал«золотоесече
ние».

Еготалантбылмногогранным,новбольшейстепенионраскрылсявмногочисленныхосуществленн
ыхпроектахжилыхдомовиусадеб.Например,«золотоесечение»можнообнаружитьвархитектурез
даниясенатавКремле.ПопроектуМ. КазаковавМосквебылапостроенаГолицынскаябольница,ко
тораявнастоящеевремяназываетсяПервойклиническойбольницейимениН.И. Пирогова(Ленинс
кийпроспект,д. 5).


ЕщеодинархитектурныйшедеврМосквы–домПашкова–являетсяоднимизнаиболеесовершенныхпр
оизведенийархитектурыВ.Баженова.
ПрекрасноетворениеВ.БаженовапрочновошловансамбльцентрасовременнойМосквы,обогатил
оего.Наружныйвиддомасохранилсяпочтибезизмененийдонашихдней,несмотрянато,чтоонсиль
нообгорелв1812 г.
Привосстановлениизданиеприобрелоболеемассивныеформы.Несохраниласьивнутренняяплан
ировказдания,окоторойдаютпредставлениятолькочертежнижнегоэтажа.
Многиевысказываниязодчегозаслуживаютвниманиеивнашидни.ОсвоемлюбимомискусствеВ.Ба
женовговорил:«Архитектура–главнейшиеимееттрипредмета:красоту,спокойностьипрочност
ьздания...Кдостижениюсегослужитруководствомзнаниепропорции,перспектива,механикаил
ивообщефизика,авсемимобщимвождемявляетсярассудок».


13.Золотоесечениевживописи
 
Переходякпримерам«золотогосечения»вживописи,нельзянеостановитьсвоеговниманиянатв
орчествеЛеонардодаВинчи.Еголичность–однаиззагадокистории.СамЛеонардодаВинчиговори
л:«Пустьникто,небудучиматематиком,недерзнетчитатьмоитруды».
Онснискалславунепревзойденногохудожника,великогоученого,гения,предвосхитившегомн
огиеизобретения,которыенебылиосуществленывплотьдоXX в.

Нетсомнений,чтоЛеонардодаВинчибылвеликимхудожником,этопризнавалиужеегосовременни
ки,ноеголичностьидеятельностьостанутсяпокрытымитайной,таккаконоставилпотомкамнесв
язноеизложениесвоихидей,алишьмногочисленныерукописныенаброски,заметки,вкоторыхгов
орится«обовсемнасвете».
Онписалсправаналевонеразборчивымпочеркомилевойрукой.Этосамыйизвестныйизсуществую
щихобразецзеркальногописьма.
ПортретМонныЛизы(Джоконды)долгиегодыпривлекаетвниманиеисследователей,которыеобна
ружили,чтокомпозициярисункаосновананазолотыхтреугольниках,являющихсячастямиправил
ьногозвездчатогопятиугольника.Существуеточеньмноговерсийобисторииэтогопортрета.Во
тоднаизних.
ОднаждыЛеонардодаВинчиполучилзаказотбанкираФранческоделеДжокондонаписатьпортретм
олодойженщины,женыбанкира,МонныЛизы.Женщинанебылакрасива,новнейпривлекалапростота
иестественностьоблика.Леонардосогласилсяписатьпортрет.Егомодельбылапечальнойигрус
тной,ноЛеонардорассказалейсказку,услышавкоторую,онасталаживойиинтересной.
 
Сказка
Жил-былодинбедныйчеловек,былоунегочетыресына:триумных,аодинизнихитак,исяк.Ивотпришла
заотцомсмерть.Передтем,какрасстатьсясжизнью,онпозвалксебедетейисказал:«Сынымои,ск
орояумру.Кактольковысхоронитеменя,запритехижинуиидитенакрайсветадобыватьсебесчаст
ья.Пустькаждыйизвасчему-нибудьнаучится,чтобымогкормитьсамсебя».Отецумер,асыновьяразошлисьпосвету,договор
ившисьспустятригодавернутьсянаполянуроднойрощи.
Пришелпервыйбрат,которыйнаучилсяплотничать,срубилдеревоиобтесалего,сделализнегож
енщину,отошелнемногоиждет.Вернулсявторойбрат,увиделдеревяннуюженщинуи,таккаконбыл
портной,воднуминутуоделее:какискусныймастеронсшилдлянеекрасивуюшелковуюодежду.Тре
тийсынукрасилженщинузолотомидрагоценнымикамнями–ведьонбылювелир.Наконец,пришелчет
вертыйбрат.Оннеумелплотничатьишить,онумелтолькослушать,чтоговоритземля,деревья,тр
авы,зверииптицы,зналходнебесныхтелиещеумелпетьчудесныепесни.Онзапелпесню,откоторо
йзаплакалипритаившиесязакустамибратья.Песнейэтойоноживилженщину,онаулыбнуласьивзд
охнула.
Братьябросилиськнейикаждыйкричалодноитоже:«Тыдолжнабытьмоейженой».Ноженщинаответ
ила:«Тыменясоздал–будьмнеотцом.Тыменяодел,атыукрасил–будьтемнебратьями.Аты,чтовдо
хнулвменядушуинаучилрадоватьсяжизни,тыодинмненуженнавсюжизнь».
Кончивсказку,ЛеонардовзглянулнаМоннуЛизу,еелицоозарилосьсветом,глазасияли.Потом,
точнопробудившисьотсна,онавздохнула,провелаполицурукойибезсловпошланасвоеместо,сл
ожиларукиипринялаобычнуюпозу.Ноделобылосделано–художникпробудилравнодушнуюстатую;
улыбкаблаженства,медленноисчезаясеелица,осталасьвуголкахртаитрепетала,придаваялиц
уизумительное,загадочноеичутьлукавоевыражение,какучеловека,которыйузналтайнуи,бер
ежноеехраня,неможетсдержатьторжество.
Леонардомолчаработал,боясьупуститьэтотмомент,этотлучсолнца,осветившийегоскучнуюм
одель...
Трудноотметить,чтозамечаливэтомшедевреискусства,новсеговорилиотомглубокомзнанииЛ
еонардостроениячеловеческоготела,благодарякоторомуемуудалосьуловитьэту,какбызагад
очную,улыбку.Говорилиовыразительностиотдельныхчастейкартиныиопейзаже,небываломспу
тникепортрета.Толковалиоестественностивыражения,опростотепозы,окрасотерук.Художни
ксделалещенебывалое:накартинеизображенвоздух,онокутываетфигурупрозрачнойдымкой.
Несмотрянауспех,Леонардобылмрачен,положениевоФлоренциипоказалосьхудожникутягостн
ым,онсобралсявдорогу.Непомоглиемунапоминанияонахлынувшихзаказах.

ЗолотоесечениевкартинеИ.И.Шишкина"Сосноваяроща"
НаэтойзнаменитойкартинеИ.И.Шишкинасочевидностьюпросматриваютсямотивызолотогосече
ния.Яркоосвещеннаясолнцемсосна(стоящаянапервомплане)делитдлинукартиныпозолотомусе
чению.Справаотсосны-освещенныйсолнцемпригорок.Онделитпозолотомусечениюправуючастькартиныпогоризонтал
и.Слеваотглавнойсоснынаходитсямножествососен-прижеланииможносуспехомпродолжитьделениекартиныпозолотомусечениюидальше.


Наличиевкартинеяркихвертикалейигоризонталей,делящихеевотношениизолотогосечения,п
ридаетейхарактеруравновешенностииспокойствия,всоответствиисзамысломхудожника.Когд
ажезамыселхудожникаиной,если,скажем,онсоздаеткартинусбурноразвивающимсядействием,
подобнаягеометрическаясхемакомпозиции(спреобладаниемвертикалейигоризонталей)стано
витсянеприемлемой.

ЗолотоесечениевкартинеЛеонардодаВинчи"Джоконда"

ПортретМоныЛизыпривлекаеттем,чтокомпозициярисункапостроенана"золотыхтреугольниках"(точнеенатреугольниках,являющихсякускамиправильногозвездчатогопятиугольника).




ЗолотаяспиральвкартинеРафаэля"Избиениемладенцев"

Вотличииотзолотогосеченияощущениединамики,волненияпроявляется,пожалуй,сильнейвсе
говдругойпростойгеометрическойфигуре-спирали.
Многофигурнаякомпозиция,выполненнаяв1509-1510годахРафаэлем,когдапрославленныйживописецсоздавалсвоифрескивВатикане,какразо
тличаетсядинамизмомидраматизмомсюжета.Рафаэльтакинедовелсвойзамыселдозавершения,о
днако,егоэскизбылгравированнеизвестнымитальянскимграфикомМаркантиниоРаймонди,кото
рыйнаосновеэтогоэскизаисоздалгравюру"Избиениемладенцев".

НаподготовительномэскизеРафаэляпроведеныкрасныелинии,идущиеотсмысловогоцентраком
позиции-точки,гдепальцывоинасомкнулисьвокруглодыжкиребенка,-вдольфигурребенка,женщины,прижимающейегоксебе,воинасзанесенныммячомизатемвдольфи
гуртакойжегруппывправойчастиэскиза.Еслиестественнымобразомсоединитьэтикускикривой
пунктиром,тосоченьбольшойточностьюполучается...золотаяспираль!Этоможнопроверить,и
змеряяотношениедлинотрезков,высекаемыхспиральюнапрямых,проходящихчерезначалокриво
й.
Мынезнаем,рисоваллинасамомделеРафаэльзолотуюспиральприсозданиикомпозиции"Избиениемладенцев"илитолько"чувствовал"ее.Однакосуверенностьюможносказать,чтограверРаймондиэтуспиральувидел.Обэтомсвиде
тельствуютдобавленныеимновыеэлементыкомпозиции,подчеркивающиеразворотспираливтехм
естах,гдеонаунасобозначеналишьпунктиром.Этиэлементыможноувидетьнаокончательнойгра
вюреРаймонди:аркамоста,идущаяотголовыженщины,-влевойчастикомпозицииилежащеетелоребенка-веецентре.ПервоначальнуюкомпозициюРафаэльвыполнилврассветесвоихтворческихсил,ког
даонсоздавалсвоинаиболеесовершенныетворения.Главашколыромантизмафранцузскийхудожн
икЭженДелакруа(1798-1863)писалонем:"Всочетаниивсехчудесграцииипростоты,познанийиинстинктавкомпозицииРафаэльдостигтак
огосовершенства,вкоторомснимещениктонесравнился.
Всамыхпростых,какивсамыхвеличественных,композицияхповсюдуегоумвноситвместесжизнь
юидвижениемсовершенныхпорядоквчарующуюгармонию".Вкомпозиции"Избиениемладенцев"оченьяркопроявляютсяэтичертывеликогомастера.Внейпрекрасносочетаютсядинамизмигарм
ония.ЭтомусочетаниюспособствуетвыборзолотойспирализакомпозиционнуюосновурисункаРа
фаэля:динамизмемупридаетвихревойхарактерспирали,агармоничность-выборзолотогосечениякакпропорции,определяющейразвертываниеспирали.
14."Необходимопрекрасномузданиюбытьпостроеннымподобнохорошосложенномучеловеку"
(ПавелФлоренский)


Можноли“поверитьалгебройгармонию”?“Да”,–считалЛеонардоиуказал,какэтосделать.“Золотоесечение”–несередина,апропорция
–несложноематематическоесоотношение,содержащеевсебе“законзвездыиформулуцветка”,ри
сунокнахитиновомпокровеживотных,длинуветвейдерева,пропорциичеловеческоготела.Види
шьгармоничнуюкомпозицию,пропорциональноетелосложениеилиздание,радующееглаз,–измер
ьипридешькоднойитойжеформуле.ВовременаВозрождениядляпроверки“законагармонии”измер
ялиантичныестатуи,полторавеканазадпропорции“золотогосечения”проверяли,соотносядли
нуногиитуловищагвардейскихсолдат,–всесовершенноточно.
ХудожникАлександрПанкинисследуетзаконыкрасоты…назнаменитыхквадратахКазимираМалев
ича.
–Вначале80-хналекцииоМалевичепросятпоказатьслайд“Черногоквадрата”.Послетогокакизображениепо
являетсянаэкране,лекторстрогопроизносит:“Переверните,пожалуйста”.Мысмеялись:трудн
опонятьпростомучеловеку,зачемтакоерисовать.Этокрасиво?
–ИсследуякартиныМалевичасциркулемислинейкой,япришелквыводу,чтоониудивительногарм
оничны.Здесьнетниодногослучайногоэлемента.Взявединственныйотрезок,–скажем,размерх
олстаилисторонуквадрата,–можнопооднойформулевыстроитьвсюкартину.Естьквадраты,всеэ
лементыкоторыхсоотносятсявпропорции“золотогосечения”,азнаменитый“Черныйквадрат”на
рисованвпропорцииквадратногокорняиздвух.
–Авырисуетеэтипропорциинаполяхдляполногосходствасошкольнойзадачейпогеометрии?
–То,чемязанимаюсь,можноназвать“объективнымискусством”.Напервыйвзглядкакоежеэтотв
орчество,еслинеставитсязадачавыразитьсвоюиндивидуальность?Существуетдажетакоевыражение–“художникузнаваем”.Нояобнаружилудивительнуюзакономе
рность:чемменьшестремлениясамовыразиться,тембольшетворчества.Там,гдерамкислишкомш
ироки,гдевсеможно,мыпостепенноприходимктому,чтолюдиначинаютпортитьполотна(скажем,
БренерподошелккартинеМалевичасбаллончикомкраски),некоторыеиконырежутиговорят:“Аят
аквижу”.Важенканон.Неслучайновиконописионтакстрогособлюдается.Длятворчествалучшен
енастежьоткрытыедвери,ачтобынадобылопролезатьвщель.Меняинтересуетформа,каконаобра
зуетсяиразвиваетсясамапосебе.
–Этожекомпьютерныйалгоритм,причемтутживопись?
–В1918годуМалевичсказал,чтоживописькончилась,–осталасьтолькогеометрия.Втомгодуон
нарисовалбелыйквадратнабеломфоне.Нопотомслучилось“возвращениеМалевичанаЗемлю”,его
живописьопредметилась.Науканепоглотилаискусство,новтеисторическиепериоды,когдагео
метрияиискусствосближались,этодавалоимпульскразвитиютогоидругого.Такбылововремена
Возрождения,когдаЛеонардоисследовалпропорции“золотогосечения”,ивначалеХХвека,когд
аПольСезаннсказал:“Трактуйтеприродупосредствомцилиндра,шара,конуса”.Еслиимпрессио
нистырисовалинечтоличное,изменчивое,токубистов,наоборот,интересовалформообразующи
йэлемент–каркас.Сейчаспроходятконференции“Математикаиискусство”исеминары,гдевстре
чаютсяученыеихудожники,случаютсянастоящиеоткрытия.СовременЛеонардоизвестентакназы
ваемыйчисловойрядФибоначчи:0,1,1,2,3,5,8,13,21,34...Это“золотая”последовательност
ьчисел,поэтомузаконурасполагаютсялистьяцветкаисемечкивподсолнухе.Яизобразилэтотря
днаплоскостиввидетреугольников.Получиласьудивительнаявещь.ЧленырядаФибоначчиочень
быстрорастут:треугольникпревращалсявстрелу,двестороныуходятвбесконечность,аодиниз
катетоввсевремяостаетсяравнымпяти!Доэтогоянепонимал,чтотакое“конечнаябесконечност
ь”!Посмотревнаэтукартину,профессорАлександрЗенкинматематическидоказал:такаясистем
атреугольников–этоядрорядаФибоначчи.Обнаружилсяновыйматематическийобъект!
–ТреугольникиПанкина?
–Наодномсеминаребылипредложениятакихиназвать,потомучтоэтуматематическуюзакономер
ностьпочему-тораньшениктонезамечал.
–Можетбыть,выисследуетегармониюМалевичанепотому,чтовидитевеготворчествеособыйсмы
сл,апотому,чтодругиекартинысложнееподформулуподогнать?
–Почемуже!Последнеевремямнехочетсятакжеисследовать“Незнакомку”Крамского.Япосмотр
ел:тамтожевосновележит“золотоесечение”.Тежеправилаизакономерности,которыеянащупал
вкартинахМалевича,можноприложитьикдругимкартинам,оченьинтересныевещиполучатся.Кар
тиныМалевича–этокраеугольныйкаменьформообразования,мимонегонельзяпройти.“Черныйкв
адрат”–точкаотсчета,космическаяворонка,кудаискусствопопадаетивыходитизмененным.По
являютсяновыепространства.УпередвижниковилиунатуралистовтипаШиловакартина–этоокно
,закоторымвобычнойпрямойперспективерасполагаютсятрехмерныеобъекты.УСезаннапростра
нствалежатнахолсте.Виконаходновременноприсутствуютдветочкизрения:смотришьсосвоего
местаиодновременнобудтонаходишьсявнутрипроисходящего.Пространствоопредмечивается,
незряиконамненужнырамки.Мнекажется,вбудущемпространствокартиныбудетлежатьнезахолс
том,апередним…
–Недавновмагазинеяувиделаплакатс“Чернымквадратом”.Обрадоваласьикупила,хотелапове
ситьдома,апотомпередумала.Неуютноспать,когданадкроватью“Черныйквадрат”висит.Авыхо
телибыусебянадкроватьюповеситьквадратМалевича?
–Честноговоря,уменянадкроватьюмоикартинывисят,ониуменявсюдувисят.Ахотелбы…наверн
ое,Иванова–“ЯвлениеХристанароду”.Удивительнаякомпозиция–фигураХриставцентреиотнее
будтолучирасходятся.Раньшеяпочему-тоэтогонезамечал…


15.Закономерностипостроенияпространственнойкомпозициипарка

Соотношенияпарковыхобъемныхформ

Соотношенияобъемныхэлементовпарка-декоративнойдревеснойикустарниковойрастительности,малыхархитектурныхформ,фонтано
в,террас-образуюткомпозициюобъемныхформ.Композицияформыможетбытьтрехвидов:фронтальной,объ
емнойиглубинно-пространственной.Фронтальнаякомпозицияхарактеризуетсяпреобладаниемгоризонтальных
ивертикальныхэлементовнадглубинойформы,приобъемной-всетриизмеренияимеютпримерноодинаковозначение,априглубинно-пространственной-плоскостииобъемыорганизуюттак,чтобывсевидыипанорамыраскрывалисьпопринципувозраст
ающейэмоциональнойнагрузки.Композицияпаркадолжнаиметьчеткуювнутреннююпространстве
ннуюориентацию,позволяющуюпосетителюлегконаходитькомпозиционныецентры.Декоративна
ядревеснаяикустарниковаярастительность,малыеархитектурныеформыидругиеобъемныеэлем
ентысадово-парковойкомпозициинаходятсявопределенныхсоотношениях,которыеприрациональномихисп
ользованииусиливаютхудожественнуювыразительностьпарковыхпейзажей.Огромноеразнообр
азиесоотношенийформпарковыхэлементов,естественныхиискусственных,обусловливаетсяве
личиной,геометрическимстроением,положениемвпространстве,освещенностью,цветом,факт
урой.Ккомпозиционнымсредствам,используемымприформированиибольшихпарковыхпространс
тв,относятсялинейнаяивоздушнаяперспективы,членениеглубинногопространства,синтезис
кусствидругие.Соотношениеформповеличине(высоте,ширине,длине).Величины"высота,ширина,длина"выражаютсявметрическойсистемеизаписываютсяцелымиилииррациональнымичислами.Совоку
пностьпространственныхсоотношенийвеличин,объединенныхопределеннойкомпозиционнойза
висимостью,называетсяпропорцией.Нопонятиепропорциивсадово-парковомискусственельзяотождествлятьспонятиемпропорциявматематике.Пропорциитесне
йшимобразомсвязанысрешениеконкретныхкомпозиционныхзадач,обусловленыхудожественным
вкусомикомпозиционнымопытомавтора.Спомощьюхудожественныхпропорцийможетбытьвыражен
амонументальность,торжественность,или,наоборот,скромность,простота.Пропорциивсадо
во-парковойкомпозиции-этокакбыеевнутренняякрасота.Онаневидиманепосредственно,новсегдаощутима,подобноду
ховнойкрасотечеловека.Внастоящеевремяхудожникичащевсегопользуютсядвумяпропорциона
льнымисоотношениями:модульнойсистемойпропорцийи"золотымсечением".Основоймодульнойсистемыпроектированияявляетсянекотораяисходнаявеличина,котораяс
лужитмеройвсехчастейкомпозициииназываетсямодулем.Модуль-этонемерадлины,аразмеркакой-либочастисооружения.Например,ширинупарковойдорожкичастоопределяютпоколичествубет
онныхплит,укладываемыхнанее,авысотудерева-ширинойегокроны.Универсальныммодулемпарковыхпространствявляетсячеловек.Интересно
еусовершенствованиемодульнойсистемыпропорцийдляархитектуры(модулор)предложилвелик
ийфранцузЛеКорбюзье.Метр-этоцифрыбезреальногосодержания;сантиметр,дециметр,метр-этотолькообозначениядесятичнойсистемы.Цифрымодулора-этодействительныеразмеры.Они-факты.Ониявляютсярезультатомвыборамеждубесконечнымколичествомвеличин.Модулор-этотакаяизмерительнаясистема,восновукоторойположенчеловеческийростиматематика.(Р
ис.Стр.122).Исходныеединицыизмерениявмодулоресвязанысусловнымчленениемростачелове
ка.Понятно,чтотакаяизмерительнаясистемаимеетособоезначениеприсозданиисадовипарков
,тоестьспециальнооборудованныхместдляотдыхалюдей.Модулор-гамма,этоещенемузыка,ноправильноиспользуяэтусистемумодульныхпропорций,можнотвори
тьмузыкусадовипарков,музыкуприроды.
Модулор

ВмодулореЛеКорбюзьекаждоепоследующеечленениесвязаноспредыдущим"золотымсечением".Понятие"золотогосечения"восходитизглубокойдревности.ВгеометрииЭвклидаоноопределенокакделениеотрезкавкрай
немисреднемотношениях,тоестьделениеотрезка,прикоторомвеличинабольшейегочастиявляе
тсясреднейпропорциональнойвсегоотрезкаиегоменьшейчасти.Введемобозначения:целое-С,большаячасть-а,меньшая-b.Правило"золотогосечения"выступиткаксоотношениеС/а=а/b.Этосоотношениеявляетсяиррациональным.Распространеннымидостаточноточнымвыражени
емегоявляютсятакиевеличины:a=0,618;b=0,382.Приближенныецелочисленныезначения"золотогосечения"можнополучитьприпомощичиселрядаФибоначчи,вкоторомкаждоепоследующеечислоравносумм
едвухпредыдущих:1,2,3,5,8,13,21….Изэтихчислесоставляетсярядцелочисленныхотношений
:1:2;2:3;3:5;5:8;8:13;13:21;…Вряду,начинаясотношения5:8,всепоследующиевыражает"золотоесечение".Любоетело,предмет,вещь,геометрическаяфигура,соотношениекоторыхсоответствует"золотомусечению",отличаютсястрогойпропорциональностьюипроизводятнаиболееприятноезрительноевпечат
ление.Всадово-парковомискусствеприменениеправилпропорциональныхсоотношенийзатрудненовсвязистем
,чторастительность,развиваясь,увеличивается.Но,темнеменее,соотношениявысотырастит
ельнойгруппировкииплощадиэкспозиции,атакжерастенийвнутригруппировки,растительност
ииархитектурныхсооружений,шириндорожекицветников,мельчайшихдеталейкомпозициидолжн
ыстроитьсявсоответствиисправиламиприменяемыхсистемпропорций.

"Золотоесечение"

Соотношенияформпогеометрическомустроению.Этоттипсоотношенийвозникаетприсопоставл
ениипрямолинейных(геометрических)икриволинейных(живописных)форм,тоестьприродныхии
скусственныхформ.Соотношенияпогеометрическомустроениюхарактеризуютсяпонятиемпласт
ичности,или,другимисловами,гармоничнымсоотношениемформилиний.Примеромпластическог
орешениявсадово-парковомискусствеявляетсяумелаявертикальнаяпланировка,илигеопластика,спомощьюкот
оройдостигаетсягармоническоесочетаниеособенностейрельефа,дорог,малыхархитектурных
формирастительности.Соотношенияформпоихположениювпространствепарка.Ониимеютрешающ
еезначениевсозданииглубинно-пространственнойкомпозиции,ибосадово-парковоестроительство-этоискусствобольшихпространств.Соотношенияэтоготипарегулируютсячередованиемоткры
тыхизакрытыхпространств,глубиннымпостроениемпейзажей,линейнойивоздушнойперспектив
ами.Открытиеизакрытиепространстваследуетчередовать.Приэтомнеобходимоучитывать,что
открытыепространствадействуютвозбуждающе,азакрытые-успокаивающе.Полноценноевосприятиепространствавдвиженииобеспечиваетсяприусловии,
чтоегопротяженностьравна150-200м.Глубиннаямногоплановаякомпозиция,воспринимаемаясвидовойточки,называетсяпейз
ажемпарка.Наиболееэффектенпейзаж,которыйукладываетсявполенормальноговидения,тоест
ьвпределыконуса,образованноготреугольником,уголкоторогоравен15-18,5.
Впейзажеразличаютпередний,среднийидальнийпланы.Переднийплан-началоперспективы.Оночерчиваетсяалей,террасой,беседкой,видовойплощадкой,одиночны
мидеревьямиилидревеснымигруппами.Среднийпланоформляетсяглавнымобразомопушкоймасси
ва,древеснымигруппамиилиодиночнымидеревьями.Надальнемпланеобычнодоминируетхаракте
рныйобъект,декоративнаярастительнаягруппаилиопушкамассивасвертикальновыделяющимся
силуэтом.Силуэтвсадово-парковойкомпозиции-этоконтурноеочертаниедекоративныхрастительныхгруппировокнафоненебаилигородскойза
стройки,воспринимаемоепространственноизвнеилиизнутри,новсегданадальнемплане.Паркб
езвыразительногосилуэтабезликиуныл.Вертикальныеакцентыидоминантынеобходимыдлясозд
аниязапоминающегосяобразапарка,отличающегоегоотвсехдругих.Большоезначениеимеетофо
рмлениевидовойточкипейзажа.Обычнообрамлениеперспективы,называемоерамкой,образуютз
еленыекулисы.Длясосредоточениявниманиязрителянаопределенномпейзаженеобходимосозда
ниефокусапейзажа.Этоможетбытьактивноевэстетическомотношениидерево,садово-парковоесооружениеилидекоративныйэлемент.Взависимостиотвзаимногорасположенияразл
ичныхплановперспективыпейзажимогутбытьмалой(50-100м),средней(100-400м)ибольшей(свыше500м)глубины.
Пейзажиразличнойглубинысоздаютнаосновезаконовлинейнойивоздушнойперспектив.Закона
милинейнойперспективыобусловленыизменениявеличиныиформыпарковыхэлементовирастител
ьныхгруппировоквзависимостиотрасстояниямеждузрителемиобъектом.Судалениемпредметыу
меньшаютсявразмере,превращаясьвточкунагоризонте.Учитываяэто,можноуменьшатьилиувел
ичиватьглубинупарковогопейзажа,изменятьразмерыегоотдельныхэлементов.Использование
линейноперспективывпостроениипарковыхкомпозицийограничено.Чащеееприменяютвпроцесс
епроектированиядляпространственногоизображенияпейзажей.Законамивоздушнойперспекти
выобусловленыизмененияяркостиосвещенияицветавзависимостиотрасстояниямеждунаблюдат
елемиразличнымипланамипарковогопейзажа.Яркостьцветаисветаизменяетсявсвязисзапылен
ностьювоздуха,имеющегослегкасиневатуюокраску.Мягкие,плавные,ссиневатымоттенкомэле
ментыпейзажаоптическиудаляютсяотнаблюдателя,ачеткие,контрастные,наоборот,кажутсяб
лиже.Всетонаокраскирастительностииархитектурныхэлементовизменяютсявзависимостиотт
олщиныслоявоздушногопространства:красныепереходятвфиолетовые,авдалиприобретаюттем
но-синийцвет;желтыеболеепостоянны,носбольшимудалениемкажутсязеленоватыми,зеленыенар
асстояниипереходятвголубые,итолькосинийцветостаетсябезизменения.Изменениецветапре
дметовназываетсяколоритнойперспективой.

Законылинейнойперспективы

Изучаязаконывоздушнойперспективы,мывплотнуюподошликсоотношениямформпоцвету.Цвето
выесоотношениянеобычайноразнообразны,поэтомуихможноподразделитьнатриосновныхвида:
поцветовомутону;понасыщенностицвета;посветлоститона.Соотношенияпоцветовомутонусоз
даютсянаосновеусловногоразделенияспектранасемьчастей.Условного,потомучтоввидимойч
астисолнечногоспектранетрезкихпереходовмеждутонами.Всеговспектреглазможетразличит
ь130различныхоттенков,аделениенасемьчастейвозниклопоаналогииссемиступенчатостьюму
зыкальнойгаммы.Основныхтоновтри(красный,желтыйисиний),остальныеявляютсядополнител
ьными(оранжевый,голубой,фиолетовый,зеленый).Дляудобствацветарасполагаютвцветовомк
руге.Цвета,находящиесядругпротивдруга,вцветовомкруге,создаютконтрастныесоотношени
я(красныйсзеленым,оранжевыйссиним,фиолетовыйсжелтым).Этисоотношениянаиболееэмоцио
нальноэффектны.Мягкими,гармоничныминазываютсоотношенияцветов,которыевцветовомкруг
ерасположены"черезодин"(красныйсжелтым,оранжевыйсзеленым,желтыйссиним,зеленыйсфиолетовым,фиолетовыйсора
нжевым).Дисгармоничнымиявляютсясочетаниясоседнихцветов(зеленогоссиним,красногосор
анжевымит.д.).Онинеприятны,иихследуетизбегать.
Физиологическиеипсихологическиевоздействиецветанаорганизмизвестноиздавна.Наприме
р,Гетесчитал,чтоцветадействуетнадушу,могутвызыватьчувства,пробуждатьэмоцииимысли,
успокаиватьиливолновать,печалитьилирадовать.Поэмоциональномувоздействиюцветаразде
ляютнатеплые,илиактивные(красный,оранжевый,желтый),которыевозбуждающе,ихолодные,и
липассивные(синий,зеленый,фиолетовый),которыеоказываютуспокаивающеевоздействие.Пр
ииспользованиивпарковойперспективесоотношенийпоцветунеобходиморуководствоватьсята
кимиправилами:
А)основнаяокраскарастительности-зеленыйтон,чтозатрудняетдостижениеколоритногоразнообразия,нонеисключаетиспользов
аниявсехоттенковрастительности:оттемно-зеленогодожелто-зеленого.Цветоваягаммадаетвозможностьподчеркнутьсоотношениепланов:переднего,сред
негоидальнего(темно-зеленыйцветотдаляет,желто-зеленыйприближает);
Б)колоритныепятнавкомпозициипарковогопейзажадолжныбытьмаксимальноукрупнены,особе
нно,особенноприбольшомудалении;
В)прикомбинациивравноймеренасыщенныхцветовыхпятенцветовыесоотношениянеобходимоба
лансироватьразмерамипятен;
Г)теплыетонарастительности(красный,оранжевый)уместнынахорошоосвещенных;
Д)светло-серыйисеребристыйтонаиспользуютсядлясмягченияслишкомсильныхконтрастов;
Е)белыйцветгармонируетсовсемидругимицветами.
Соотношениеформпоосвещенности.Богатствоколоритныхсочетанийвпарковомпейзажепроявл
яетсятолькоприусловиихорошейосвещенности.Глубинаперспективы,пространственнаявыраз
ительностьзеленыхнасаждений,соотношениеобъемныхформрастительныхгруппировокподчерк
иваетсяигройсветаитени.Выразительностьигрысветаитенизависитотинтенсивностисолнечн
ойрадиации,отпериодагодаивременидня.Свет-главныйфактор,создающийигрусветаитени.Онпроявляетконтурырастительности,помогаетс
оздаватьпластичныесоотношенияобъемов,выявлятьвпейзажесамыекрасивыеэлементы.
Неосвещеннаяповерхностьпредметаназываетсятенью.Значениетенивпарковомпространстве
,особенновюжныхрайонах,труднопереоценить.Тениподразделяютсянасобственныеипадающие
.Собственнаятеньнаходитсянатойчастиповерхностиосвещенногопредмета,котораяскрытаот
прямыхлучейисточникасвета.Тень,отбрасываемаяосвещеннымпредметомилиобразовывавшаяс
янаегоповерхностиотдругогопредмета,стоящегонапутисветовоголуча,называетсяпадающей
тенью.Формападающейтенизависитотформыосвещенногопредмета,отбрасывающеготень,атакж
ерельефаповерхности,накоторуютеньпадает.Интенсивностьтенизависитотяркостисвета,пл
отностипредметаивзаимногорасположенияпредметов.Освещенные(обычнонавозвышенности)и
затененные(внизинах)парковыепространстванеобходимогармоничнокомбинировать.
Динамичнаяиграсветотени-эффектноесредствоформированияпарка,влияющеенаразмещениерастительныхгруппировоким
алыхархитектурныхформ,насоотношениевысотырастительностииплощадиоткрытыхпространст
в.Наполянахнаиболееэффектнытениотконусообразныхимощныхажурныхкрон.Ширинаоткрытого
пространстваприэтомдолжнабытьнеменеетрехкратнойвысотыдерева.Контрастностьсветотен
иопределяетсяудалениемпредметаотнаблюдателя.Цветтениобусловливаетсяцветомповерхно
сти,накоторуюпадаеттень,нообычноонаимеетсинийоттенок.Вечероминочьюигрусветотенисо
здаютискусственныеисточникисвета,обогащающиесветопластикуночногопейзажа.Специалис
тыпосветовойархитектурерассматриваютискусственныйсветкакполноценноекомпозиционное
средство.Зеленьможноподсвечиватьнесколькимиспособами:спомощьюламп,скрытыхвкронеде
ревьев,ламп,скрытыхвземле,прожекторовсзащитнымиэкранами.Дляподсветкидорогиобознач
ениягазоновицветниковустанавливаютнизкиесветильникивысотойдо1м,использующиеотраже
нныйсвет.
Соотношенияформпофактуре.Фактура,тоестьразличныеповерхностидекоративнойраститель
ности,можетбытьгладкойилишероховатой,зеркальнойилиматовой.Разнообразныесочетанияр
азличныхпофактурерастенийзначительнообогащаютпарковыепейзажи.Видысоотношенийпрост
ранственныхформнеисчерпываютсяперечисленнымивыше.Здесьописанытолькоосновныеизних.
Ноипонимможносудитьобольшомразнообразиивидовсоотношенийпространственныхформ,являю
щихсядляпаркостроениясвоеобразнойпалитрой.
Литература:

1.Д.Пидоу.Геометрияиискусство.–М.:Мир,1989.
3.Журнал«Квант»,1973,№8.
4.Журнал«Математикавшколе»,1994,№2;№3.
5.КеплерИ.Ошестиугольныхснежинках.–М.,1982.
6.КовалевФ.В.Золотоесечениевживописи.К.:Выщашкола,1989.
7.ДюрерА.Дневники,письма,трактаты–Л.,М.,1957.
8.Цеков-КарандашЦ.Овторомзолотомсечении.–София,1983.
9.СтаховА.Кодызолотойпропорции.
10.Информацияизинтернета.