Высшая математика
Основные теоремы и определения
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом.
При этом числа будем называть членами ряда, а un – общим членом ряда.
Определение. Суммы , n = 1, 2, … называются частными (частичными) суммами ряда.
Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S1, S2, …,Sn, …
Определение. Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм.
Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.
Свойства рядов.
1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.
2) Рассмотрим два ряда и , где С – постоянное число.
Теорема. Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд тоже сходится, и его сумма равна СS. (C ¹ 0)
3) Рассмотрим два ряда и . Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд , где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.
Теорема. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно S и s, то ряд тоже сходится и его сумма равна S + s.
Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.
Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.
О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.
При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.
Критерий Коши.
(необходимые и достаточные условия сходимости ряда)
Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал такой номер N, что при n > N и любом p > 0, где р – целое число, выполнялось бы неравенство:
.
1.3 Определение. Ряд называется равномерно сходящимся на отрезке [a,b], если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда.
Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)
Для равномерной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для любого числа e>0 существовал такой номер N(e), что при n>N и любом целом p>0 неравенство
выполнялось бы для всех х на отрезке [a,b].
Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)
(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)
Ряд сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке [a,b], если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами :
т.е. имеет место неравенство:
.
Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд мажорируется числовым рядом .
ряд называется положительным, если Un≥0, для всех n ? N
Интегральный признак Коши.
Если j(х) – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке [1;¥), то ряд j(1) + j(2) + …+ j(n) + … = и несобственный интеграл одинаковы в смысле сходимости.
Пример. Ряд сходится при a>1 и расходится a£1 т.к. соответствующий несобственный интеграл сходится при a>1 и расходится a£1. Ряд называется общегармоническим рядом.
Следствие. Если f(x) и j(х) – непрерывные функции на интервале (a, b] и то интегралы и ведут себя одинаково в смысле сходимости.
Степенные ряды.
Определение. Степенным рядом называется ряд вида
.
Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.
Пример. Исследовать на сходимость ряд
Применяем признак Даламбера:
.
Получаем, что этот ряд сходится при и расходится при .
Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.
При х = 1: ряд сходится по признаку Лейбница (см. Признак Лейбница. ).
При х = -1: ряд расходится (гармонический ряд).
1 теорема Абеля.
(Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) – норвежский математик)
Теорема. Если степенной ряд сходится при x = x1 , то он сходится и притом абсолютно для всех .
Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то
где k- некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство:
Из этого неравенства видно, что
при x
Поэтому на основании признака сравнения делаем вывод, что ряд сходится, а значит ряд сходится абсолютно.
Таким образом, если степенной ряд сходится в точке х1, то он абсолютно сходится в любой точке интервала длины 2 с центром в точке х = 0.
Следствие. Если при х = х1 ряд расходится, то он расходится для всех .
Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое положительное число R, что при всех х таких, что ряд абсолютно сходится, а при всех ряд расходится. При этом число R называется радиусом сходимости. Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости.
Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым.
Радиус сходимости может быть найден по формуле:
Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида:
или, короче,
Действительные числа ai, bi называются коэффициентами тригонометрического ряда.
Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида:
или, короче,
3,3
2 Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится для положительного значения х=х1 , то он сходится равномерно в любом промежутке внутри .
Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.
Пусть даны два ряда и при un, vn ³ 0.
Теорема. Если un £ vn при любом n, то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .
Доказательство. Обозначим через Sn и sn частные суммы рядов и . Т.к. по условию теоремы ряд сходится, то его частные суммы ограничены, т.е. при всех n sn < M, где М – некоторое число. Но т.к. un £ vn, то Sn £ sn то частные суммы ряда тоже ограничены, а этого достаточно для сходимости.
Пример. Исследовать на сходимость ряд
Т.к. , а гармонический ряд расходится, то расходится и ряд .
Пример. Исследовать на сходимость ряд
Т.к. , а ряд сходится ( как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд тоже сходится.
Также используется следующий признак сходимости:
Теорема. Если и существует предел , где h – число, отличное от нуля, то ряды и ведут одинаково в смысле сходимости.
Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.
Возможны различные способы разложения функции в степенной ряд. Такие способы как разложение при помощи рядов Тейлора и Маклорена были рассмотрены ранее. (См. Формула Тейлора. )
Существует также способ разложения в степенной ряд при помощи алгебраического деления. Это – самый простой способ разложения, однако, пригоден он только для разложения в ряд алгебраических дробей
Рассмотрим способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования.
С помощью интегрирования можно разлагать в ряд такую функцию, для которой известно или может быть легко найдено разложение в ряд ее производной.
Находим дифференциал функции и интегрируем его в пределах от 0 до х.
2) Теорема о почленном интегрировании ряда.
Равномерно сходящийся на отрезке [a,b] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [a,b] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.
3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.
Если члены ряда сходящегося на отрезке [a,b] представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.
На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х, можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями.
На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд.
Ряд Тейлора.
(Пьер Альфонс Лоран (1813 – 1854) – французский математик)
Функция f(z), аналитическая в круге , разлагается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням (z – z0).
Коэффициенты ряда вычисляются по формулам:
Степенной ряд с коэффициентами такого вида называется рядом Тейлора.
Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
где - многочлен степени m.
Тогда частное решение ищется в виде:
Здесь Q(x)- многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число a является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.
Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
Здесь Р1(х) и Р2(х) – многочлены степени m1 и m2 соответственно.
Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
где число r показывает сколько раз число является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, а Q1(x) и Q2(x) – многочлены степени не выше m, где m- большая из степеней m1 и m2.
Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию.
Т.е. если уравнение имеет вид: , то частное решение этого уравнения будет где у1 и у2 – частные решения вспомогательных уравнений
и
Предельный признак Даламбера.
Предельный признак Даламбера является следствием из приведенного выше признака Даламбера.
Если существует предел , то при r < 1 ряд сходится, а при r > 1 – расходится. Если r = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя.
Пример. Определить сходимость ряда .
Вывод: ряд сходится.
Пример. Определить сходимость ряда
Вывод: ряд сходится.
Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Определение. Совокупность соотношений вида:
где х- независимая переменная, у1, у2,…,уn – искомые функции, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка.
Определение. Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от неизвестных функций называется нормальной системой дифференциальных уравнений.
Такая система имеет вид:
(1)
Для примера можно сказать, что график решения системы двух дифференциальных уравнений представляет собой интегральную кривую в трехмерном пространстве.
Теорема. (Теорема Коши). Если в некоторой области (n-1) –мерного пространства функции … непрерывны и имеют непрерывные частные производные по , то для любой точки этой области существует единственное решение
системы дифференциальных уравнений вида (1), определенное в некоторой окрестности точки х0 и удовлетворяющее начальным условиям
Определение. Общим решением системы дифференциальных уравнений вида (1) будет совокупность функций , , … , которые при подстановке в систему (1) обращают ее в тождество
Ряды с неотрицательными членами.
При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами.
Теорема. Для сходимости ряда с неотрицательными членами необходимо и достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены.
Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.
Пусть даны два ряда и при un, vn ³ 0.
Теорема. Если un £ vn при любом n, то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .
Доказательство. Обозначим через Sn и sn частные суммы рядов и . Т.к. по условию теоремы ряд сходится, то его частные суммы ограничены, т.е. при всех n sn < M, где М – некоторое число. Но т.к. un £ vn, то Sn £ sn то частные суммы ряда тоже ограничены, а этого достаточно для сходимости.
Также используется следующий признак сходимости:
Теорема. Если и существует предел , где h – число, отличное от нуля, то ряды и ведут одинаково в смысле сходимости.
Признак Коши. (радикальный признак)
Если для ряда с неотрицательными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство
,
то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство
то ряд расходится.
Следствие. Если существует предел , то при r<1 ряд сходится, а при r>1 ряд расходится.
Интегральный признак Коши.
Если j(х) – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке [1;¥), то ряд j(1) + j(2) + …+ j(n) + … = и несобственный интеграл одинаковы в смысле сходимости.
Пример. Ряд сходится при a>1 и расходится a£1 т.к. соответствующий несобственный интеграл сходится при a>1 и расходится a£1. Ряд называется общегармоническим рядом.
Следствие. Если f(x) и j(х) – непрерывные функции на интервале (a, b] и то интегралы и ведут себя одинаково в смысле сходимости.
Знакочередующиеся ряды.
Знакочередующийся ряд можно записать в виде:
где
Признак Лейбница.
Если у знакочередующегося ряда абсолютные величины ui убывают и общий член стремится к нулю , то ряд сходится.
Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.
Пусть - знакопеременный ряд.
Признак Даламбера. Если существует предел , то при r<1 ряд будет абсолютно сходящимся, а при r>1 ряд будет расходящимся. При r=1 признак не дает ответа о сходимости ряда.
Признак Коши. Если существует предел , то при r<1 ряд будет абсолютно сходящимся, а при r>1 ряд будет расходящимся. При r=1 признак не дает ответа о сходимости ряда.
Пример. Разложить в ряд функцию
при помощи интегрирования.
При получаем по приведенной выше формуле:
Разложение в ряд функции может быть легко найдено способом алгебраического деления аналогично рассмотренному выше примеру.
Тогда получаем:
Окончательно получим:
Абсолютная и условная сходимость рядов.
Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков).
(1)
и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):
(2)
Теорема. Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).
Доказательство. Ряд (2) является рядом с неотрицательными членами. Если ряд (2) сходится, то по критерию Коши для любого e>0 существует число N, такое, что при n>N и любом целом p>0 верно неравенство:
По свойству абсолютных величин:
То есть по критерию Коши из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).
Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд .
Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают.
Определение. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд расходится.
Свойства абсолютно сходящихся рядов.
1) Теорема. Для абсолютной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы его можно было представить в виде разности двух сходящихся рядов с неотрицательными членами.
Следствие. Условно сходящийся ряд является разностью двух расходящихся рядов с неотрицательными стремящимися к нулю членами.
2) В сходящемся ряде любая группировка членов ряда, не изменяющая их порядка, сохраняет сходимость и величину ряда.
3) Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму.
Перестановкой членов условно сходящегося ряда можно получить условно сходящийся ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.
4) Теорема. При любой группировке членов абсолютно сходящегося ряда (при этом число групп может быть как конечным, так и бесконечным и число членов в группе может быть как конечным, так и бесконечным) получается сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда.
5) Если ряды и сходятся абсолютно и их суммы равны соответственно S и s, то ряд, составленный из всех произведений вида взятых в каком угодно порядке, также сходится абсолютно и его сумма равна S×s - произведению сумм перемножаемых рядов.
Если же производить перемножение условно сходящихся рядов, то в результате можно получить расходящийся ряд.
Тригонометрический ряд.
Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида:
или, короче,
Действительные числа ai, bi называются коэффициентами тригонометрического ряда.
Если ряд представленного выше типа сходится, то его сумма представляет собой периодическую функцию с периодом 2p, т.к. функции sinnx и cosnx также периодические функции с периодом 2p.
Пусть тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке [-p; p], а следовательно, и на любом отрезке в силу периодичности, и его сумма равна f(x).
Определим коэффициенты этого ряда.
Для решения этой задачи воспользуемся следующими равенствами:
Справедливость этих равенств вытекает из применения к подынтегральному выражению тригонометрических формул. Подробнее см. Интегрирование тригонометрических функций.
Т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [-p; p], то существует интеграл
Такой результат получается в результате того, что .
Получаем:
Далее умножаем выражение разложения функции в ряд на cosnx и интегрируем в пределах от -p до p.
Отсюда получаем:
Аналогично умножаем выражение разложения функции в ряд на sinnx и интегрируем в пределах от -p до p.
Получаем:
Выражение для коэффициента а0 является частным случаем для выражения коэффициентов an.
Таким образом, если функция f(x) – любая периодическая функция периода 2p, непрерывная на отрезке [-p; p] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты
существуют и называются коэффициентами Фурье для функции f(x).
Определение. Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.
Функциональные ряды.
Определение. Частными (частичными) суммами функционального ряда называются функции
Определение. Функциональный ряд называется сходящимся в точке (х=х0), если в этой точке сходится последовательность его частных сумм. Предел последовательности называется суммой ряда в точке х0.
Определение. Совокупность всех значений х, для которых сходится ряд называется областью сходимости ряда.
Определение. Ряд называется равномерно сходящимся на отрезке [a,b], если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда.
Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)
Для равномерной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для любого числа e>0 существовал такой номер N(e), что при n>N и любом целом p>0 неравенство
выполнялось бы для всех х на отрезке [a,b].
Определение. Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.
Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье.
Теорема. (Теорема Дирихле) Если функция f(x) имеет период 2p и на отрезке
[-p;p] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок
[-p;p] можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция f(x) монотонна, то ряд Фурье для функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции f(x) его сумма равна f(x), а в точках разрыва его сумма равна , т.е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа. При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x).
Функция f(x), для которой выполняются условия теоремы Дирихле называется кусочно – монотонной на отрезке [-p;p].
Теорема. Если функция f(x) имеет период 2p, кроме того, f(x) и ее производная f^(x) – непрерывные функции на отрезке [-p;p] или имеют конечное число точек разрыва первого рода на этом отрезке, то ряд Фурье функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности его сумма равна f(x), а в точках разрыва она равна . При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x).
Функция, удовлетворяющая условиям этой теоремы, называется кусочно – гладкой на отрезке [-p;p].
Разложение в ряд Фурье непериодической функции.
Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции.
Допустим, функция f(x) задана на отрезке [a, b] и является на этом отрезке кусочно – монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно – монотонную функцию f1(x) c периодом 2Т ³ ïb-aï, совпадающую с функцией f(x) на отрезке [a, b].
y
f(x)
a - 2T a a b a+2T a + 4T x
Таким образом, функция f(x) была дополнена. Теперь функция f1(x) разлагается в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] совпадает с функцией f(x), т.е. можно считать, что функция f(x) разложена в ряд Фурье на отрезке [a, b].
Таким образом, если функция f(x) задана на отрезке, равном 2p ничем не отличается от разложения в ряд периодической функции. Если же отрезок, на котором задана функция, меньше, чем 2p, то функция продолжается на интервал (b, a + 2p) так, что условия разложимости в ряд Фурье сохранялись.
Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2p может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но они будут совпадать с заданной функцией f(x) на отрезке [a,b]
Свойства равномерно сходящихся рядов.
1) Теорема о непрерывности суммы ряда.
Если члены ряда - непрерывные на отрезке [a,b] функции и ряд сходится равномерно, то и его сумма S(x) есть непрерывная функция на отрезке [a,b].
2) Теорема о почленном интегрировании ряда.
Равномерно сходящийся на отрезке [a,b] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [a,b] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.
3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.
Если члены ряда сходящегося на отрезке [a,b] представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.
На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х, можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями.
На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд
Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)
(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)
Ряд сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке [a,b], если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами :
т.е. имеет место неравенство:
.
Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд мажорируется числовым рядом
Ряды Фурье для функций любого периода.
Ряд Фурье для функции f(x) периода Т = 2l, непрерывной или имеющей конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [-l, l] имеет вид:
Для четной функции произвольного периода разложение в ряд Фурье имеет вид:
Для нечетной функции:
Теорема. (Теорема Дирихле) Если функция f(x) имеет период 2p и на отрезке
[-p;p] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок
[-p;p] можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция f(x) монотонна, то ряд Фурье для функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции f(x) его сумма равна f(x), а в точках разрыва его сумма равна , т.е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа. При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x).
Список литературы
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.shpora-zon.narod.ru/