Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

Министерство образования Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Самарский государственный университет» механико-математический факультет

кафедра дифференциальных уравнений и теории управления специальность прикладная математика

Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

Курсовая работа

Выполнил студент

2 курса 1222 группы

Труфанов Александр Николаевич

Научный руководитель

Долгова Ольга Андреевна

__________

работа защищена

«___»___________200_г.

Оценка _______________ зав. Кафедрой профессор д.ф.-м.н.

Соболев В.А.

Самара 2004

Теорема существования и единственности решения уравнения

Пусть дано уравнение

[pic]

с начальным условием

[pic]

Пусть в замкнутой области R [pic]функции [pic]и [pic]непрерывны). Тогда на некотором отрезке [pic]существует единственное решение, удовлетворяющее начальному условию [pic].

Последовательные приближения определяются формулами:

[pic] [pic] k = 1,2....

Задание №9

Перейти от уравнения

[pic]

к системе нормального вида и при начальных условиях

[pic], [pic], [pic]

построить два последовательных приближения к решению.

Произведем замену переменных

[pic]; [pic]

и перейдем к системе нормального вида:

[pic]

Построим последовательные приближения

[pic]

[pic]

Задание №10

Построить три последовательных приближения [pic] к решению задачи

[pic], [pic]

Построим последовательные приближения

[pic]

[pic]

Задание №11

а) Задачу

[pic], [pic] свести к интегральному уравнению и построить последовательные приближения [pic] б) Указать какой-либо отрезок, на котором сходятся последовательные приближения, и доказать их равномерную сходимость.

Сведем данное уравнение к интегральному :

[pic]

[pic]

[pic]

Докажем равномерную сходимость последовательных приближений

С помощью метода последовательных приближений мы можем построить последовательность

[pic] непрерывных функций, определенных на некотором отрезке [pic], который содержит внутри себя точку [pic]. Каждая функция последовательности определяется через предыдущую при помощи равенства

[pic] [pic]i = 0, 1, 2 …

Если график функции [pic] проходит в области Г, то функция [pic] определена этим равенством, но для того, чтобы могла быть определена следующая функция [pic], нужно, чтобы и график функции [pic] проходил в области Г. Этого удается достичь, выбрав отрезок [pic]достаточно коротким.
Далее, за счет уменьшения длины отрезка [pic], можно достичь того, чтобы для последовательности [pic] выполнялись неравенства:

[pic], i = 1, 2, …,

где 0 < k < 1. Из этих неравенств вытекает следующее:

[pic], i = 1, 2, …,

Рассмотрим нашу функцию на достаточно малом отрезке, содержащим [pic], например, на [pic]. На этом промежутке все последовательные приближения являются непрерывными функциями. Очевидно, что т.к. каждое приближение представляет из себя функцию от бесконечно малого более высокого порядка, чем предыдущее приближение, то выполняются и описанные выше неравенства. Из этих неравенств следует:

[pic]

что и является условием равномерной сходимости последовательных приближений.

С другой стороны, на нашем отрезке выполняется [pic], что также совершенно очевидно. А так как последовательность [pic] сходится, то последовательность приближений является равномерно сходящийся на этом отрезке.

Список использованной литературы

1. Л.С. Понтрягин. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.:

Государственное издательство физико-математической литературы, 1961

2. А.Ф. Филиппов «Сборник задач по дифференциальным уравнениям», М.:

Интеграл-Пресс, 1998

3. О.П. Филатов «Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям»,Самара: Издательство «Самарский университет», 1999

4. А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева «Дифференциальные уравнения», М.: Наука.

Физматлит, 1998