РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
Метрология, стандартизация и технические измерения
Специфика проведения измерений и обработки результатов
Задание 1. Однократное измерение
Условие задания
При однократном измерении физической величины получено показание средства измерения X = 10. Определить, чему равно значение измеряемой величины, если экспериментатор обладает априорной информацией о средстве измерений и условиях выполнения измерений согласно данным таблицы 1.
Экспериментальные данные:
Информация о средстве измерения:
Вид закона распределения нормальный
Значение оценки среднего квадратичного отклонения
Доверительная вероятность
Мультипликативная поправка
Расчет
Предел, в котором находится значение измеряемой величины без учета поправки определяется как:
; ,
где Е - доверительный интервал. Значение Е определяется в зависимости от закона распределения вероятности результата измерения. Для нормального закона
,
где t - квантиль распределения для заданной доверительной вероятности. Его выбирают из таблицы интегральной функции нормированного нормального распределения , при этом следует учитывать, что . t = 1,64 при P=0,9
.
Используя правила округления, получим:
.
С учетом поправки значение измеряемой величины определяется как:
; .
Вносим мультипликативную поправку:
, ,.
Записываем результат:
; P=0,9
Задание 2. Многократное измерение
Условие задания
При многократном измерении одной и той же физической величины получена серия из 24 результатов измерений . Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице. Определить результат измерения.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
485 | 484 | 486 | 482 | 483 | 484 | 484 | 481 | |
9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
485 | 485 | 485 | 492 | 484 | 481 | 480 | 481 | |
17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | |
484 | 485 | 485 | 484 | 483 | 483 | 485 | 492 |
Для
обработки результатов измерений необходимо исключить ошибки. Число измерений
лежит в диапазоне 10…15
Определяем среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение результатов измерений.
Далее определяем значения критерия для каждого значения результата измерений по формуле:
В соответствии с доверительной вероятностью с учетом находим из соответствующей таблицы значение , которое зависит от числа измерений и .
При , следовательно значение 492 исключаем как ошибку.
Исключение ошибок продолжается до тех пор, пока не будет выполнятся условие .
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
485 | 484 | 486 | 482 | 483 | 484 | 484 | 481 | |
9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
485 | 485 | 485 | 484 | 481 | 480 | 481 | 484 | |
17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | |||
485 | 485 | 484 | 483 | 483 | 485 |
Заново определяем значения критерия для каждого значения результата измерений по формуле:
В соответствии с доверительной вероятностью с учетом находим из соответствующей таблицы значение , которое зависит от числа измерений и .
Условие выполняется для всех результатов измерений.
Следующим
шагом анализа является проверка гипотезы о нормальности распределения
оставшихся результатов измерений. Проверка выполняется по составному критерию,
так как количество результатов измерений лежит в диапазоне 10…15 Применяя
первый критерий, следует вычислить отношение: и
сравнить с и
. Задаемся
рекомендуемой доверительной вероятностью и для уровня значимости определяем из
соответствующей таблицы квантили распределения и . Значение
соответствует
условию .
Первый критерий выполняется. Применяя
второй критерий, задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью и для уровня
значимости с
учетом по
соответствующим таблицам определяем значения и . Для из таблицы для
интегральной функции нормированного нормального распределения определяем значение и рассчитываем E: , Используя правила
округления, получим: Далее
сравниваем значения и . Мы
видим, что не более m разностей превосходят , следовательно
второй критерий, а вместе с тем и составной критерий выполняется полностью.
Закон распределения можно признать нормальным с вероятностью . Определяем
стандартное отклонение среднего арифметического. Так как
закон распределения нормальный, то стандартное отклонение среднего
арифметического определяется следующим образом: Определяем
доверительный интервал Закон
распределения нормальный, следовательно доверительный интервал для заданной
доверительной вероятности определяется из распределения
Стьюдента ,
где определяется
из соответствующей таблицы. , Используя правила
округления, получим: Результат
измерений запишется в виде: Задание
3. Обработка результатов нескольких серий измерений Условие
задания При
многократных измерениях одной и той же величины получены две серии по 12 () результатов
измерений в каждой. Эти результаты после внесения поправок представлены в
таблице. Вычислить результат многократных измерений. Серия
измерений 1. Серия
измерений 2. Обработка
результатов производится для каждой серии отдельно. Для
обработки результатов серий измерений необходимо исключить ошибки. Число
измерений лежит в диапазоне 10…15 Серия
измерений 1. Определяем
среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение результатов серии
измерений 1. Далее
определяем значения критерия для каждого значения
результата серии измерений по формуле: В
соответствии с доверительной вероятностью с учетом находим из соответствующей
таблицы значение , которое зависит от числа
измерений и
. При , следовательно,
значение 492 исключаем как ошибку. Исключение
ошибок продолжается до тех пор, пока не будет выполнятся условие . Заново
определяем значения критерия для каждого значения
результата серии измерений по формуле: В
соответствии с доверительной вероятностью с учетом находим из соответствующей
таблицы значение , которое зависит от числа
измерений и
. Условие выполняется
для всех результатов серии измерений. Следующим
шагом анализа является проверка гипотезы о нормальности распределения
оставшихся результатов серии измерений. Проверка выполняется по составному
критерию, так как количество результатов серии измерений лежит в диапазоне
10…15 Применяя
первый критерий, следует вычислить отношение: и
сравнить с и
. Задаемся
рекомендуемой доверительной вероятностью и для уровня значимости определяем из
соответствующей таблицы квантили распределения и . Значение
соответствует
условию .
Первый критерий выполняется. Применяя
второй критерий, задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью и для уровня
значимости с
учетом по
соответствующим таблицам определяем значения и . Для из таблицы для
интегральной функции нормированного нормального распределения определяем значение и рассчитываем E: , . Используя правила
округления, получим: Далее
сравниваем значения и . Мы
видим, что не более разностей превосходят значение . Следовательно,
второй критерий, а вместе с тем и составной критерий выполняются полностью.
Закон распределения можно признать нормальным с вероятностью . Серия
измерений 2. Определяем
среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение результатов серии
измерений 2. Далее
определяем значения критерия для каждого значения
результата серии измерений по формуле: В
соответствии с доверительной вероятностью с учетом находим из соответствующей
таблицы значение , которое зависит от числа
измерений и
. При , следовательно значение
492 исключаем как ошибку. Исключение
ошибок продолжается до тех пор, когда не будет выполнятся условие . Заново
определяем значения критерия для каждого значения
результата серии измерений по формуле: В
соответствии с доверительной вероятностью с учетом находим из соответствующей
таблицы значение , которое зависит от числа
измерений и
. Условие выполняется
для всех результатов серии измерений. Следующим
шагом анализа является проверка гипотезы о нормальности распределения
оставшихся результатов серии измерений. Проверка выполняется по составному
критерию, так как количество результатов серии измерений лежит в диапазоне
10…15 Применяя
первый критерий, следует вычислить отношение: и сравнить
с и . Задаемся
рекомендуемой доверительной вероятностью и для уровня значимости определяем из
соответствующей таблицы квантили распределения и . Значение
соответствует
условию .
Первый критерий выполняется. Применяя
второй критерий, задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью и для уровня
значимости с
учетом по
соответствующим таблицам определяем значения и . Для из таблицы для
интегральной функции нормированного нормального распределения определяем значение и рассчитываем E: , . Используя правила
округления, получим: Далее
сравниваем значения и . Мы
видим, что не более разностей превосходят значение . Следовательно
второй критерий, а вместе с тем и составной критерий выполняется полностью.
Закон распределения можно признать нормальным с вероятностью . Далее
необходимо проверить значимость различия средних арифметических серий. Для
этого необходимо вычислить моменты закона распределения разности: Задавшись
доверительной вероятностью , определяем из соответствующих
таблиц интегральной функции нормированного нормального распределения значение и сравниваем с . Условие выполняется.
Различие между средними арифметическими в сериях с доверительной вероятностью можно признать
незначимым. Далее
необходимо проверить равнорассеянность результатов измерений в сериях. Для
этого определяем значение: И,
задавшись доверительной вероятностью , определяем из соответствующих
таблиц значение аргумента интегральной функции распределения вероятности Фишера
. Условие выполняется.
Серии с доверительной вероятностью считаем рассеянными. Выше
было показано, что серии равнорассеяны и с незначимым различием средних
арифметических. Исходя из этого все результаты измерений объединяются в единый
массив и затем для него выполняется обработка по алгоритму, согласно которому
необходимо определить оценку результата измерения и среднеквадратического
отклонения . Задавшись
доверительной вероятностью , определяем из таблиц
распределения Стьюдента значение для числа степеней свободы Затем
определяем доверительный интервал : Используя правила
округления, получим: Результат
измерений запишется в виде: . Задание
4. Функциональные преобразования результатов измерений (косвенные измерения) Условие
задания При
многократных измерениях независимых величин и получено по 12 (n) результатов измерений. Эти
результаты после внесения поправок представлены в таблице 2. Определить
результат вычисления , (вид функции и характер величин представлены в
таблице 3). Вид
функциональной зависимости . Характер
и единицы величин: - ЭДС, мВ; -
сопротивление, Ом; - сила тока,
А. Обработка
результатов измерений величин и проведена в задании 3 первой
расчетно-графической работы. Средние
значения и среднеквадратические отклонения для величин и имеют вид Гипотеза
о нормальности распределения величин и подтверждается. Определим
оценку среднего значения функции: Определим
поправку Определим
оценку стандартного отклонения функции Определяем
доверительный интервал для функции Законы
распределения вероятности результатов измерения и признаны нормальными, можно
определить для принятой доверительной вероятности из таблиц для распределения
Стьюдента. При этом число степеней свободы определяется из выражения Используя правила
округления, получим: Результат
запишется в виде: Задание 5. Обработка
экспериментальных данных при изучении зависимостей Условие
задания При
многократных совместных измерениях величин и получено по 20 (n) пар результатов измерений. Эти результаты после внесения
поправок представлены в таблице 4. Определить уравнение регрессии по : . В
качестве прямой регрессии будем использовать прямую вида . Параметры
прямой определим по методу наименьших квадратов. Далее
проверяем правильность выбора вида уравнения регрессии. Для этого следует
применить критерии серий и инверсий. Рассчитываем
отклонения экспериментальных значений от соответствующих расчетных значений,
рассчитанных для того же аргумента: последовательность
∆Yi записана по мере возрастания Х Критерий
серий: Рассчитываем
число серий в полученной последовательности: N=6 Задавшись
доверительной вероятностью , для n=20 определяем по таблице допустимые границы и : Критерий
инверсий: Рассчитываем
число инверсий А в полученной последовательности : А=106. Задавшись
доверительной вероятностью для n=20 определяем по таблице допустимые границы и : Оба
неравенства выполняются и . Поэтому можно считать, что
рассчитанное уравнение регрессии достоверно описывает экспериментально
исследуемую зависимость.
1
2
3
4
5
6
7
8
1,41
0,41
2,41
1,59
1,59
0,41
0,41
1,59
9
10
11
12
13
14
15
16
1,41
1,41
1,41
0,41
2,59
3,59
2,59
0,41
17
18
19
20
21
22
1,41
1,41
0,41
0,59
0,59
1,41
1
2
3
4
5
6
485
484
486
482
483
484
7
8
9
10
11
12
484
481
485
485
485
492
1
2
3
4
5
6
484
481
480
481
484
485
7
8
9
10
11
12
485
484
483
483
485
492
1
2
3
4
5
6
485
484
486
482
483
484
7
8
9
10
11
484
481
485
485
485
1
2
3
4
5
6
1
0
2
2
1
0
7
8
9
10
11
0
3
1
1
1
1
2
3
4
5
6
484
481
480
481
484
485
7
8
9
10
11
12
485
484
483
483
485
492
1
2
3
4
5
6
484
481
480
481
484
485
7
8
9
10
11
485
484
483
483
485
1
2
3
4
5
6
0,82
2,18
3,18
2,18
0,82
1,82
7
8
9
10
11
1,82
0,82
0,18
0,18
1,82
1
2
3
4
5
6
7
61;602
62;613
63;620
64;631
65;639
66;648
67;656
8
9
10
11
12
13
14
68;662
69;667
70;682
9;87
19;188
29;286
39;386
15
16
17
18
19
20
49;485
59;575
69;667
79;770
89;868
99;966
1
2
3
4
5
6
7
-4,67
-0,67
0,33
3,33
5,33
-1,67
5,93
8
9
10
11
12
13
14
7,23
4,53
5,83
4,13
3,43
1,73
-1,97
15
16
17
18
19
20
-6,67
-6,67
-1,37
-0,67
0,33
1,33