8. РУХ В НЕІНЕРЦІАЛЬНИХ СИСТЕМАХ ВІДЛІКУ
1. СИЛА ІНЕРЦІЇ В НЕІНЕРЦІАЛЬНИХ СИСТЕМАХ ВІДЛІКУ, ЩО РУХАЮТЬСЯ ПРЯМОЛІНІЙНО.
Неінерціальною системою відліку (НІСВ) називають систему відліку (СВ), що рухається з прискоренням відносно інерціальної системи відліку (ІСВ).
Одержимо рівняння руху матеріальної точки відносно НІСВ. Рівняння руху – це співвідношення, якими визначаються прискорення матеріальних точок механічної системи в тій СВ, відносно якої розглядається рух.
ІСВ будемо називати нерухомою СВ, а рух відносно неї – абсолютним. Рух відносно НІСВ будемо називати відносним. НІСВ рухається відносно ІСВ з прискоренням; разом з системою рухаються і всі тіла, що в ній знаходяться; цей рух називають переносним.
Положення м.т. М в нерухомій СВ визначається радіусом-вектором (початок координат СВ – т. О); в рухомій СВ положення т. М визначається радіусом-вектором (початок координат СВ – т.). - це радіус-вектор рухомого початку відносно нерухомого О.
Як і раніше, час
і простір вважаємо абсолютними, оскільки мова іде про повільні рухи (v< Вектори в будь-який
момент часу пов^язані співвідношенням: (8.1) Диференціюємо
(8.1) двічі по t: (8.2) (8.3) Обмежимося
спочатку розглядом лише поступального руху системи . В цьому випадку і характеризують швидкість і
прискорення не лише початку , а й будь-якої точки системи відносно О, тобто - це переносні
швидкість і прискорення. при поступальному русі дають
відносну швидкість і відносне прискорення. завжди дають абсолютну швидкість
і абсолютне прискорення т. М: , (8.4) , (8.5) причому . В ІСВ S рівнянням руху м. т. М є рівняння
2-го закону Ньютона: (8.6) Підставимо (8.5)
в (8.6): ; перенесемо член, що містить
переносне прискорення, в праву частину: (8.7) Ми одержали
рівняння відносного руху м.т. М. Праву частину (8.7) можна формально вважати
якоюсь „силою”, що діє на м. т. М в рухомій СВ. В цьому випадку
рівняння руху м.
т. в НІСВ за
формою співпадає з ІІ законом Ньютона. Права частина (8.7) складається з двох
складових. є рівнодійна звичайних сил
(в ньютонівському розумінні сила – це результат взаємодії тіл). Друга складова
– ()
виникає тому, що рухається з прискоренням . Її називають
поступальною силою інерції: (8.8) Якщо не змінюється
при переході від однієї СВ до іншої, то не інваріантна відносно такого
переходу. Крім того, сила інерції не підлягає дії закону рівності дії і
протидії. Якщо на яке-небудь тіло діє сила інерції, то не існує протидіючої
сили, що прикладена до другого тіла. Сили інерції,
подібно силам тяжіння, пропорційні масі тіла. Тому в однорідному полі сил
інерції, як і в полі сил тяжіння, всі тіла рухаються з одним і тим же
прискоренням, незалежно від їх маси. Знаходячись в кабіні космічного корабля,
який рухається поступально з прискоренням , модуль якого дорівнює g, ми виявимо, що всі тіла ведуть себе
так, ніби на них діє сила . Ті ж явища ми спостерігали б,
якби корабель нерухомо стояв на Землі. Не „виглядаючи” з кабіни, ми не змогли б
встановити, чим зумовлена сила – прискореним рухом кабіни чи
дією гравітаційного поля Землі (чи й обома причинами разом). Ейнштейн висловив
припущення, яке дістало назву принципу еквівалентності сил тяжіння і сил
інерції: Всі фізичні явища
в однорідному полі тяжіння відбуваються так само, як і у відповідному
однорідному полі сил інерції. Принцип
еквівалентності лежить в основі загальної теорії відносності Ейнштейна. Отже, в СВ, що
рухається поступально з прискоренням , на всі тіла діє сила інерції , що дорівнює добутку маси тіла на
прискорення СВ, взяте з протилежним знаком. Рівняння руху
м.т. в такій НІСВ має вид: (8.9) 2.
НІСВ, ЩО РІВНОМІРНО ОБЕРТАЄТЬСЯ. Розглянемо тепер
НІСВ , яка рівномірно обертається
навколо вісі, що проходить через т. О′ з кутовою швидкістю . Для спрощення вважатимемо , звідки . Рівняння (8.2) і
(8.3) матимуть вид: , . Обчислимо похідні
. Якщо x′, y′, z′ координати т. М в , то: (8.10) . Перший доданок - це відносна швидкість м. т. М: (8.11) Другий доданок
перетворимо, використавши відоме
співвідношення , або : , , Таким чином: (8.12) Отже: , (8.13) де . Диференціюємо (8.13)
по t: ; оскільки , то . При знаходженні скористаємося тими ж міркуваннями, що і при знаходженні : (використано вираз (8.12)). Нарешті: (8.14) В (14) останній
доданок (8.15) є переносним
прискоренням; таке прискорення зазнає
нерухома точка в CВ, що обертається. Доданок (8.16) залежить як від
відносного так і від переносного руху точки. Це прискорення
дістало назву коріолісового прискорення. Отже: (8.17) Абсолютне
прискорення є векторною сумою відносного, коріолісового та переносного
прискорень. Це твердження називають
теоремою Коріоліса. Обчислимо
переносне прискорення. Розкладемо вектор на дві складові: і - перпендикулярну і паралельну
вісі обертання. тому За властивістю
подвійного векторного добутку: , (8.18) оскільки Очевидно в даному
випадку (і
) є
доцентровим прискоренням. Підставимо тепер
в (8.6) (8.17) і врахуємо (8.16) і (8.18): ; ; (8.19) До „справжніх”
сил додалися дві сили інерції: коріолісова сила
: (8.20) і відцентрова сила
: (8.21) Коріолісова сила
інерції виникає тільки тоді, коли CВ обертається, а м.т. М рухається
відносно цієї системи. При і . , тому під час відносного руху вона роботи не
виконує; змінює тільки за напрямком . Якщо система
відліку , крім обертового руху, здійснює ще й
поступальний, то
і В цьому випадку переносна
швидкість і переносне прискорення визначаться співвідношеннями : , а рівняння
відносного руху м.т. в НІСВ має вид: (8.22)