Преобразование Фурье

Kalmiik-forever

Глава I

Преобразование Фурье.

§1. Класс Шварца.
Преобразование Фурье отображает класс Шварца на себя.

Определение. Следующее множество комплекснозначных функций действительного переменного называется классом Шварца.

[pic].
Класс Шварца иногда называют классом быстро убывающих функций.

Операции обычного сложения и умножения функции на число превращают класс Шварца в линейное векторное пространство:
((,((S(R), a, b(К выполнено a(+b((S(R).

Отметим несколько простых свойств функций из класса Шварца.

1) Если ((x)(S(R),то [pic]

2) Если ((x)(S(R),то ((x) ограничена на R.

3) Если ((x)(S(R),то ((x)=x((x)(S.

4) Если ((x)(S(R) и P(x) – многочлен, то P(x)((x)(S.

5) Если ((x)(S(R),то [pic].

Доказательство. Первые два свойства сразу следуют из неравенств

[pic].

Докажем свойство 3). Во первых, (=x((C?(R). Далее,

[pic].
Свойство 4) получается из 3) последовательным применением. В самом деле, если P(x)=a0+a1x+…+anxn, то по свойству 3) имеем xi((S(R), потому функция
P(x)((x)=a0(+a1(x()+a2(x2()+…+an(xn() принадлежит классу Шварца ввиду его линейности.

Свойство 5) доказывается аналогично свойству 3).

§2. Одномерное преобразование Фурье.

Определение. Функция

[pic] (1) называется преобразованием Фурье функции ((x) и обозначается F[(]. Ясно, что не для всякой функции ((x) интеграл (1) сходится, и потому не для всякой функции определено преобразование Фурье.

Если [pic] (интеграл Лебега), то будем говорить, что ( принадлежит пространству L1(R).

Предложение 1. Преобразование Фурье функции ((x) из L1(R) определено и ограничено по модулю на действительной оси.

Доказательство следует из равенства [pic] и (1):

[pic]

Следствие. Преобразование Фурье определено для функций ((S(R).

Доказательство. Достаточно доказать, что S(R)(L1(R). Заметим, что если ((S(R), то по свойству 4) функция (1+x2)((S(R) и, следовательно, ограничена, а (1+x2)-1(L1(R). Поэтому функция (1+x2)((1+x2)-1(L1(R).

§3. Свойства преобразований Фурье функций из S(R).

1) [pic]

Доказательство получается дифференцированием в (1) под знаком интеграла. Это законно, так как интеграл, полученный после дифференцирования, мажорируется интегралом

[pic] сходимость которого вытекает из свойства 3): x((x)(S(R)(L1(R).

2) Если ((S(R), то F[(](C((R).

Так как -ix((S, то доказательство немедленно вытекает из 1).

3) [pic]

Доказательство. Очевидно

[pic] теперь можно интегрировать по частям

[pic]
Это и доказывает свойство 3).

Предложение 2. Преобразование Фурье функции из класса Шварца есть снова функция из класса Шварца.

Доказательство. Многократно применяя свойства 1) и 3), устанавливаем

[pic]
По свойствам 4) и 5) класса Шварца функция

[pic] лежит в классе Шварца S(L1 , и тогда, по предложению пункта 2, функция
[pic] ограничена некоторой постоянной, которую мы обозначим Cn,m.
Предложение доказано.

§4. Обратное преобразование Фурье.

Определение. Функция

[pic] называется обратным преобразованием Фурье функции ((y) и обозначается F-
1[(].

Нетрудно проверить, что обратное преобразование Фурье функций из S(R) обладает свойствами, аналогичными прямому:

1) [pic]

2) [pic]

3) [pic]

Докажем, что F-1[F[(]]=( для любой функции ((S. Для этого потребуется

Лемма. Пусть непрерывная функция h(y)(L1(R) имеет почти всюду ограниченную производную. Пусть

[pic] такой набор точек, что на интервалах (yi,yi+1) функция h класса C2, i=1,2,…,n. Тогда для всех x, отличных от yi, i=1,2,…,n+1, справедливо соотношение

[pic]

Доказательство. Так как h(y)(L1 , то для всякого (>0 найдется такое
А, что

[pic] при всех t>0. Заметим, что

[pic] (3)
Тогда

[pic]
Второе слагаемое в (4) заменой z= t(x - y) приводится к виду

[pic] и, следовательно, стремится к нулю при [pic] в силу сходимости интеграла
(3). Для доказательства леммы осталось показать, что первое слагаемое в (4) также стремится [pic].
Введем обозначение

[pic]
Если h класса C2 в окрестности точки x, то из равенства

[pic] следует дифференцируемость функции g(y) в точке y = x. Итак, g(y) – кусочно- диференцируемая функция. Интегрируя по частям, устанавливаем

[pic] при [pic] Лемма доказана.

Предложение 3. F-1[F[(]]=( для любого ((S(R).

Доказательство.

[pic]
Внутренний интеграл сходится равномерно по y([-n, n], поэтому возможна замена порядка интегрирования.

[pic]
Теперь утверждение следует из леммы.

Из доказанного предложения вытекает, что преобразование Фурье взаимно- однозначно отображает класс Шварца в себя. Покажем что это отображение
“на”. Определим оператор J переводящий функцию ((x) в функцию ((-x). Тогда очевидно равенство F=2(JF-1, откуда, умножая справа на FJ/2( и используясь равенством JJ=1, будем иметь [pic], где 1 справа надо понимать как тождественное отображение в S(R). Последнее равенство означает, что любая функция из S(R) есть преобразование Фурье некоторой функции.

§5. Класс Шварца в многомерном случае.

Мультииндексом (=((1,…,(n) будем называть набор из неотрицательных целых чисел. Порядком мультииндекса будем называть число [pic]

Глава II

Задача Коши для уравнения теплопроводности.

§1. Постановка задачи коши для уравнения теплопроводности.

Требуется найти функцию u(x,t), непрерывную при t[pic]0 и x[pic]R и класса C2 при t>0, удовлетворяющую уравнению

[pic] (1) при t>0, x[pic]R и начальному условию u(x,0)=((x). (2)
Задача (1),(2) имеет, вообще говоря, много решений. Поэтому обычно накладывают дополнительное условие, которому должно удовлетворять решение.

Теорема (Тихонова). Пусть u(x,t) – решение задачи (1),(2) с функцией
((x)(0. Пусть ((>0 существует постоянная C>0 такая, что

[pic] при всех x(R и t(0. Тогда u(0.

Из этой теоремы следует, что при среди функций, растущих, грубо говоря, медленнее чем [pic] при любом (>0, не может найтись более одного решения задачи (1),(2).

Эту теорему мы приводим без доказательства, но ниже докажем теорему единственности при более сильных ограничениях.

§2. Формальный поиск решения.

Применим преобразование Фурье

[pic][pic] (3)
Выкладки этого пункта будем проделывать, не заботясь об обосновании.
Дифференцируя (3) по t, устанавливаем:

[pic]
Кроме того, по свойству 3) преобразования Фурье

[pic]
Учитывая (1), имеем

[pic] (4)
Решая это обыкновенное дифференциальное уравнение с параметром y, находим

[pic][pic]
Где g(y) – произвольная функция. Используя (2), определяем g(y):

[pic]

§3. Решение задачи Коши с начальной функцией из класса Шварца.

Теорема 2. Если ((S(R), то формула

[pic] (5) дает решение задачи (1), (2), бесконечно дифференцируемое при t(0.

Доказательство. Так как [pic], то [pic] при любом t(0 и обратное преобразование Фурье в формуле (5) определено. Дифференцируя (5) по t, имеем

[pic] (6) так как [pic], то интеграл (6) сходится равномерно при t(0, и дифференцирование законно. Совершенно так же доказывается бесконечная дифференцируемость функции u(x,t) по t и x.

Дифференцируя (5) дважды по x, устанавливаем:

[pic] (7)
Из формул (6),(7) вытекает, что функция u(x,t) удовлетворяет уравнению (1).
Справедливость условия (2) очевидна. Теорема доказана.

§4. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности.

Преобразуем формулу (5) к более удобному ”явному” виду. Для этого запишем ее в интегралах

[pic] меняем порядок интегрирования

[pic] (8)
В формуле (8) внутренний интеграл есть преобразование Фурье от функции
[pic] при значении аргумента –(x-z), поэтому из (9.2) имеем

[pic]
Подставляя это в (8), получим

[pic] (9)
Функцию

[pic] называют фундаментальным решением уравнения теплопроводности. Легко проверяются следующие свойства этой функции:

[pic]

§5. Решение задачи с непрерывной ограниченной начальной функцией.

Теорема 3. Пусть ((z) ограничена и непрерывна на вещественной оси.
Тогда формула (9) дает решение задачи (1),(2).

Доказательство. Продифференцируем (9) под знаком интеграла

[pic] (10)
Чтобы обосновать законность такого дифференцирования, достаточно показать равномерную сходимость по x интеграла (10), для чего произведем замену

[pic]

[pic]

Из ограниченности функции ( следует равномерная сходимость интеграла как по x(R, так и по t>(.

Совершенно так же доказывается бесконечная дифференцируемость функции u(x, t) по x и t при t>0. Из свойства 3) фундаментального решения следует, что u есть решение уравнения (1).

Для доказательства (2) снова сделаем замену переменной интегрирования в (9):

[pic]
Так как последний интеграл сходится равномерно по x и t, то возможен предельный переход под знаком интеграла

[pic]
Теорема доказана.

§6. Единственность решения в классе ограниченных функций.

Теорема 4. Пусть ограниченная функция u(x, t) является решением задачи (1), (2) с начальной функцией ((0. Тогда u(x, t)(0.

Доказательство. Рассмотрим функцию

((x, t)=((x2+3a2t)+(u(x, t), где (>0, ( - любого знака. Легко проверить, что

[pic] (11)
Так как функция u ограничена, то функция v(x, y) в области t>0 достигает минимума в некоторой точке (x0, t0). Покажем, что v(x0, t0)(0. Пусть, напротив v(x0, t0)0, так как v(x, 0)(0. Как необходимые условия минимума имеем соотношения

[pic] которые противоречат (11).

Итак, v(x, t)(0 при всех x и t(0. При фиксированных x и t,переходя к пределу при ((0 в неравенстве

((x2+3a2t)+(u(x, t)(0, получаем (u(x, y)(0. Ввиду произвольности знака ( отсюда следует u=0.Теорема доказана