Пределы

Предел.
Число А наз-ся пределом последоват-ти Xn если для любого числа Е>0, сколь угодно малого, ( N0, такое что при всех n>N0 будет выполн-ся нер-во |Xn-
A|N2 |Xn-и|N0. |a-b|=|a-
Xn+Xn-b|(|a-Xn|+|Xn-b| |a-b|=0 => a=b.
2.теорема о сжатой переменной. n>N1 Xn(Zn(Yn ( limXn = lim Yn = a (n(() =>
( lim Zn=a (n(()
Док-во: 1. из того, что ( lim Xn=a (n(() => n>N2 |Xn-a|a-E => lim Zn=a (n(()
Функция y=f(x) наз-ся ограниченной в данной обл-ти изменения аргумента Х, если сущ-ет положит число М такое, что для всех значений Х, принадлежащих рассматриваемой обл-ти, будет выполн-ся нер-во |f(x)|(M. Если же такого числа М не сущ-ет, то f(x) наз-ся неограниченной в данной обл-ти.

Бесконечно малая величина.
Величина Xn наз-ся бесконечно малой при n((, если lim Xn = 0 (n((). (E>0,
N0, n>N0, |Xn| ( E/2 (N1, n>N1 |Xn|( E/2 (N2, n>N2 |Yn|N0,
|Xn(Yn|(|Xn|+|Yn| lim(Xn(Yn)=0 (n((). Теорема справедлива для любого конечного числа б.м. слагаемых.
2.Произведение ограниченной величины на б.м. величину есть величина б.м.
Док-во:Xn – огр. величина => ( K, |Xn| ( K,
Yn – б.м. => ( E/K (N0 n>N0 |Yn| (E (N0 n>N0 |Xn-a| Xn=a+Yn. Справедливо и обратное: если переменную величину можно представить в виде суммы Xn=a+Yn (Yn – б.м.), то lim Xn=a (n(().

Бесконечно большая величина

Xn – бесконечно большая n((, если (M>0 (N0, n>N0, |Xn|>M => MN1 |Xn|>M из Yn – б.б. => (M ( N2, n>N2 |Yn|>M
N0=max(N1, N2) => |Xn*Yn|=|Xn||Yn|>MM=M2>M
Lim XnYn=( (n(().
2.Обратная величина б.м. есть б.б. Обратная величина б.б. есть б.м. lim
Xn=( (n(() – б.б. Yn=1/Xn – б.м. Из lim Xn=( => M=1/E (N0, n>N0 |Xn|>M
=>n>N0.
|Yn|=1/|Xn|Yn – б.м. => lim Yn=0 (n(().
3.Сумма б.б величины и ограниченной есть б.б. величина.

Основные теоремы о пределах:

1. lim Xn=a, lim Yn=b => lim (Xn(Yn)=a(b (n(()
Док-во: lim Xn=a => Xn=a+(n; lim Yn=b => Yn=b+(n;
Xn ( Yn = (a + (n) ( (b + (n) = (a ( b) + (( n( bn) => lim(Xn(Yn)=a(b
(n(().

2. limXnYn = lim Xn * lim Yn (n(().

3. lim Xn=a, lim Yn=b (n(() => lim Xn/Yn =

(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.
Док-во: Xn/Yn – a/b = (a+(n)/(b+(n) – a/b = (ab+(nb–ab–a(n)/b(b+(n) =(b(n- a(n)/b(b+(n)=(n => Xn/Yn=a/b+(n => ( lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn)
(n(().

Пределы ф-ии непрерывного аргумента.
Число А наз-ся пределом ф-ии y=f(x) при х(x0, если для любого Е>0 сколь угодно малого сущ-ет такое число (>0, что при (x будет выпол |x-x0|