Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализу

Определение: Элемент наилучшего приближения – L – линейное многообразие, плотное в E. (( (x(E (u: |x-u|1-(
Определение: Полное нормированное пространство- любая фундаментальная последовательность сходиться.
Теорема: О пополнении нормированного пространства. Любое нормированное пространство можно считать линейным многообразием, плотным в некотором полном нормированном пространстве.
Определение: Гильбертово пространство – нормированное пространство, полное в норме, порожденной скалярным произведением.
Теорема: Для любого элемента гильбертова пространства существует единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном подпространстве гильбертова пространства.
Определение: L плотное в E, если (x(E (u(L: |x-u|0 ( конечная (-сеть
Теорема: Арцела. M(C[a,b] компактно ( все элементы множества равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.
Определение: Компактный (вполне непрерывный) оператор – замкнутый шар пространства X переводит в замкнутый шар пространства Y.
Определение: ((X,Y) – подпространство компактных операторов
Теорема: Шаудера. A(((X,Y) ( A*(((X*,Y*)
Линейные нормированные пространства
Пространства векторов
[pic] [pic] сферическая норма
[pic] [pic] кубическая норма
[pic] [pic] ромбическая норма
[pic] [pic] p>1
Пространства последовательностей [pic]
[pic] [pic] [pic] p>1
[pic] или [pic] пространство ограниченных последовательностей
[pic]
[pic] пространство последовательностей, сходящихся к нулю
[pic]
[pic] пространство сходящихся последовательностей
[pic]
Пространства функций
[pic] пространство непрерывных на [pic] функций

[pic]
[pic] пространство k раз непрерывно дифференцируемых на [pic] функций

[pic]
Јp[a,b] пространство функций, интегрируемых в степени p (не
Гильбертово)
[pic] - пополнение Јp[a,b] (Гильбертово)

[pic] [pic]
Неравенство Гёльдера [pic][pic] p,q>0
Неравенство Минковского [pic]