Метод Симпсона на компьютере

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КУРСОВАЯ РАБОТА

«Программа приближенного вычисления определенного интеграла с помощью ф – лы Симпсона на компьютере»

Выполнил: студент ф – та ЭОУС – 1 – 12

Валюгин А. С.

Принял:

Зоткин С. П.

Москва 2001

1. Введение

Определенный интеграл от функции, имеющей неэлементарную первообразную, можно вычислить с помощью той или иной приближенной формулы. Для решения этой задачи на компьютере, среди прочих, можно воспользоваться формулами прямоугольников, трапеций или формулой Симпсона. В данной работе рассматривается именно последняя.

Рассмотрим функцию y = f(x). Будем считать, что на отрезке [a, b] она положительна и непрерывна. Найдем площадь криволинейной трапеции aABb (рис.
1).

[pic] рис. 1

Для этого разделим отрезок [a, b] точкой c = (a + b) / 2 пополам и в точке
C(c, f(c)) проведем касательную к линии y = f(x). После этого разделим [a, b] точками p и q на 3 равные части и проведем через них прямые x = p и x
= q. Пусть P и Q – точки пересечения этих прямых с касательной. Соединив A с P и B с Q, получим 3 прямолинейные трапеции aAPp, pPQq, qQBb. Тогда площадь трапеции aABb можно приближенно посчитать по следующей формуле

I ( (aA + pP) / 2 * h + (pP + qQ) / 2 * h + (qQ + bB) / 2 * h, где h =

(b – a) / 3.

Откуда получаем

I ( (b – a) / 6 * (aA + 2 * (pP + qQ) + bB)

заметим, что aA = f(a), bB = f(b), а pP + qQ = 2 * f(c), в итоге получаем малую фор – лу Симпсона

Малая формула Симпсона дает интеграл с хорошей точностью, когда график подинтегральной функции мало изогнут, в случаях же, когда дана более сложная функция малая формула Симпсона непригодна. Тогда, чтобы посчитать интеграл заданной функции нужно разбить отрезок [a, b] на n частей и к каждому из отрезков применить формулу (1). После указанных выше действий получится “большая” формула Симпсона, которая имеет вид,

где Yкр = y1 + yn, Yнеч = y3 + y5 + … + yn – 1, Yчет = y2 + y4 + … + yn –
2, а h = (b – a) / n.

Задача. Пусть нужно проинтегрировать функцию f(x) = xі(x - 5)І на отрезке [0, 6] (рис. 2). На этом отрезке функция непрерывна и принимает только неотрицательные значения, т. е. знакопостоянна.

[pic] рис. 2

Для выполнения поставленной задачи составлена нижеописанная программа, приближенно вычисляющая определенный интеграл с помощью формулы Симпсона.
Программа состоит из трех функций main, f и integral. Функция main вызывает функцию integral для вычисления интеграла и распечатывает на экране результат. Функция f принимает аргумент x типа float и возвращает значение интегрируемой функции в этой точке. Integral – основная функция программы: она выполняет все вычисления, связанные с нахождением определенного интеграла. Integral принимает четыре параметра: пределы интегрирования типа float, допустимую относительную ошибку типа float и указатель на интегрируемую функцию. Вычисления выполняются до тех пор, пока относительная ошибка, вычисляемая по формуле

| (In/2 – In) / In | ,

где In интеграл при числе разбиений n, не будет меньше требуемой. Например, допустимая относительная ошибка e = 0.02 это значит, что максимальная погрешность в вычислениях будет не больше, чем In * e = 0.02 * In. Функция реализована с экономией вычислений, т. е. учитывается, что Yкр постоянная, а Yнеч = Yнеч + Yчет, поэтому эти значения вычисляются единожды. Высокая точность и скорость вычисления делают использование программы на основе формулы Симпсона более желательным при приближенном вычислении интегралов, чем использование программ на основе формулы трапеции или метода прямоугольников.

Ниже предлагается блок – схема, спецификации, листинг и ручной счет программы на примере поставленной выше задачи. Блок – схема позволяет отследить и понять особенности алгоритма программы, спецификации дают представление о назначении каждой переменной в основной функции integral, листинг - исходный код работающей программы с комментариями, а ручной счет предоставляет возможность проанализировать результаты выполнения программы.

2. Блок – схема программы

ДА

НЕТ

3. Спецификации

|Имя переменной|Тип |Назначение |
|n |int |Число разбиений отрезка [a, b] |
|i |int |Счетчик циклов |
|a |float |Нижний предел интегрирования |
|b |float |Верхний предел интегрирования |
|h |float |Шаг разбиения отрезка |
|e |float |Допустимая относительная ошибка |
|f |float |Указатель на интегрируемую фун - цию |
| |(*) | |
|s_ab |float |Сумма значений фун – ции в точках a и|
| | |b |
|s_even |float |Сумма значений фун – ции в нечетных |
| | |точках |
|s_odd |float |Сумма значений фун – ции в четных |
| | |точках |
|s_res |float |Текущий результат интегрирования |
|s_pres |float |Предыдущий результат интегрирования |

4. Листинг программы

#include

#include

/* Прототип фун – ции, вычисляющей интеграл */ float integral(float, float, float, float (*)(float));

/* Прототип фун – ции, задающей интегрируемую фун – цию */ float f(float);

main()

{ float result;

result = integral(0, 6, .1, f); printf("%f", result);

return 0;

}

/* Реализация фун – ции, задающей интегрируемую фун – цию

*/ float f(float x)

{

/* Функция f(x) = xі(x - 5)І */ return pow(x, 3) * pow(x - 5, 2);

}

/* Реализация фун – ции, вычисляющей интеграл */ float integral(float a, float b, float e, float

(*f)(float))

{ int n = 4, i; /* Начальное число разбиений 4 */ float s_ab = f(a) + f(b); /* Сумма значений фун – ции в a и b */ float h = (b – a) / n; /* Вычисляем шаг */ float s_even = 0, s_odd; float s_res = 0, s_pres;

/* Сумма значений фун – ции в нечетных точках */ for (i = 2; i < n; i += 2) { s_even += f(a + i * h);

} do { s_odd = 0; s_pres = s_res;

/* Сумма значений фун – ции в четных точках */ for (i = 1; i < n; i += 2) { s_odd += f(a + i * h);

}

/* Подсчет результата */ s_res = h / 3 * (s_ab + 2 * s_even + 4 * s_odd);

/* Избегаем деления на ноль */ if (s_res == 0) s_res = e; s_even += s_odd; n *= 2; h /= 2;

} while (fabs((s_pres - s_res) / s_res) > e);/*

Выполнять до тех пор, пока результат не будет удовлетворять допустимой ошибке */

return fabs(s_res); /* Возвращаем результат */

}

5. Ручной счет

Таблица константных значений для n = 8
|Имя переменной|Значение|
|a |0 |
|b |6 |
|e |.1 |
|s_ab |216 |
|h |.75 |

Подсчет s_even
|i |a + i * |f(a + i *|s_even |
| |h |h) | |
|2 |1.5 |41.34375 |41.34375 |
|4 |3 |108 |149.34375|
|6 |4.5 |22.78125 |172.125 |

Подсчет s_odd
|i|a + i *|f(a + i |s_odd |
| |h |* h) | |
|1|.75 |7.62012 |7.6201|
| | | |2 |
|3|2.25 |86.14158|93.761|
| | | |7 |
|5|3.75 |82.3973 |176.15|
| | | |9 |
|7|5.25 |9.044 |185.20|
| | | |3 |

Подсчет s_res
|( f(x)|s_res = h / 3 * (s_ab + 2 * s_even +|Абсолютная ошибка |
|dx |4 * s_odd) | |
|324 |325.266 |1.266 |

-----------------------
Ввод a, b, e, f(x)

n = 4, h = (b – a) / n s_ab = f(a) + f(b) s_even = 0, s_res = 0

s_even = s_even + f(a??????????????????????????????????????????????????????"???"??????????????
??????????????????????????????????????????????????????††??? + i * h)

i = 2, n – 1, 2

s_odd = 0, s_pres = s_res

i = 1, n – 1, 2

s_odd = s_odd + f(a + i * h)

s_res = h / 3 * (s_ab + 2 * s_even + 4 * s_odd) s_even = s_even + s_odd, n = n / 2, h = h / 2

| (s_pres – s_res) / s_res | > e

I ( (b – a) / 6 * (f(a) + 4 * f(c) + f(b)) (1)

Вывод s_res

I ( h / 3 * (Yкр + 2 * Yнеч + 4 * Yчет) (2)