Математика. Интегралы

1.

*1. Говорят, что функция f(x) не убывает (не возрастает) на (a,b), если для любых точек x10, f((()0(f имеет в точке x0 локальный минимум. 2) f((( x0)0, (x((a,b)(график f(x) имеет на (a,b) выпуклость, направленную вниз; 2) ) f(((x)0 [pic]
[pic]
[pic] – рекуррентная формула.
Интегрирование рациональных функций: R(x)=P(x)/Q(x), R(x)-рациональная функция, P(x) и Q(x)-многочлены. Дробь P(x)/Q(x) можно разложить в сумму простейших дробей, где Ai, Bi, Ci – постоянные, а именно: каждому множителю
(x-a)k в представлении знаменателя Q(x) соответствует в разложении дроби
P(x)/Q(x) на слагаемые сумма k простейших дробей типа [pic] а каждому множителю (x2+px+q)t соответствует сумма t простейших дробей типа [pic].
Таким образом при разложении знаменателя Q(x) на множители имеет место разложение дроби P(x)/Q(x) на слагаемые.
[pic]
Правила интегрирования рациональных дробей:

1. Если рац. дробь неправильная, то её представляют в виде суммы многочлена и неправильной дроби.

2. Разлагают знаменатель правильной дроби на множетели.
Правую рац. дробь разлагают на сумму простейших дробей. Этим самым интегрирование правильной рац. дроби сводят к интегрированию простейших дробей.

8.
Интегрирование тригонометрических функций:
I. 1 Интеграл вида: [pic]

2. R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно sinx, то cosx=t.

3. R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно cosx, то sinx=t.

4. R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно sinx и cosx, то tgx=t.

[pic]
II. 1 [pic]

2. Оба показателя степени m и n – четные положительные числа: sinxcosx=1/2 sin2x; sin2x=1/2(1-cos2x); cos2x=1/2(1+cos2x).
III. (tgmxdx и (ctgmxdx, где m-целое положительное число. tg2x=sec2x-1 или ctg2x=cosec2x –1.
IV. (tgmxsecnxdx и (ctgmxcosecnxdx, где n – четное положительное число. sec2x=1+tg2x или cosec2x=1+ctg2x.
V. (sinmx*cosnxdx, (cosmx*cosnxdx, (sinmx*sinnxdx; sinacosb=1/2(sin(a+b)+sin(a-b)); cosacosb=1/2(cos(a+b)+cos(a-b)); sinasinb=1/2(cos(a-b)-cos(a+b));

9.

Интегрирование иррациональных функций:
I. 1 (R(x, [pic], [pic],…)dx, k-общий знаменатель дробей m/n, r/s…. x=tk, dx=ktk–1dt

2. (R(x,[pic], [pic]…)dx, [pic], x=[pic], dx=[pic]
II. 1 [pic] Вынести 1/(a или 1/(-a. И выделим полные квадраты.

2. [pic]

3. [pic] Разбить на два интеграла.

4. [pic] [pic]
III. 1 [pic]

2. [pic]

3. [pic]
[pic] 1)p-целое число x=tS, где s- наименьшее общее кратное знаменателей у дробей m и n. 2) (m+1)/n –целое число: a+bxn=tS; 3) p+(m+1)/n-целое число: a-n+b=tS и где s- знаменатель дроби p.

10.
Определенный интеграл:

1) интервал [a,b], в котором задана функция f(x), разбивается на n частичных интервалов при помощи точек a=x0