Курсова робота з математики
«Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння»
Введення
У зв"язку із широким розвитком чисельних методів і зростанням ролі чисельного експерименту у великому ступені підвищився інтерес до спеціальних функцій. Це пов"язане із двома обставинами. По-перше, при розробці математичної моделі фізичного явища для з"ясування відносної ролі окремих ефектів вихідну задачу часто доводиться спрощувати для того, щоб можна було одержати рішення в легко аналізованій аналітичній формі. По-друге, при рішенні складних задач на ЕОМ зручно використовувати спрощені задачі для вибору надійних і економічних обчислювальних алгоритмів. Дуже рідко при цьому можна обмежитися задачами, що приводять до елементарних функцій. Крім того, знання спеціальних функцій необхідно для розуміння багатьох важливих питань теоретичної й практичної фізики.
Найбільше часто вживаними функціями є так звані спеціальні функції математичної фізики: класичні ортогональні поліноми (поліноми Якоби, Лагерра, Ермита), циліндричні, сферичні й гіпергеометричні. Теорії цих функцій і їхніх додатків присвячений цілий ряд досліджень.
1. Гіпергеометричне рівняння
1.1 Визначення гіпергеометричного ряду
Гіпергеометричним рядом називається статечної ряд виду
де z – комплексна змінна, , , - параметри, які можуть приймати будь-які речовинні або комплексні значення ( 0,-1,-2,…),і символ позначає величину
= =1
Якщо й – нуль або ціле негативне число, ряд обривається на кінцевому числі членів, і сума його являє собою поліном відносно z. За винятком цього випадку, радіус збіжності гіпергеометричного ряду рівняється одиниці, у чому легко переконатися за допомогою ознаки збіжності Даламбера: думаючи
zk
маємо
= ,
коли k , тому гіпергеометричний ряд сходиться при <1 і розходиться при >1.
Сума ряду
F( , , ,z) = , <1 (1.1)
називається гіпергеометричною функцією.
Дане визначення гіпергеометричної функції придатне лише для значень z, що належать колу збіжності, однак надалі буде показано, що існує функція комплексного змінного z, регулярна в площині з розрізом (1, ) яка при <1 збігається з F( , , ,z). Ця функція є аналітичним продовженням F( , , ,z) у розрізану площину й позначається тим же символом.
Щоб виконати аналітичне продовження припустимо спочатку що R( )>R( )>0 і скористаємося інтегральним поданням
(1.2)
k=0,1,2,..
Підставляючи (1.2) в (1.1) знаходимо
F( , , ,z) = = =
причому законність зміни порядку інтегрування й підсумовування випливає з абсолютної збіжності.
Дійсно, при R( )>R( ) >0 і <1
=
= F( , R( ),R( ), )
На підставі відомого біноминального розкладання
=(1-tz)-a(1.3)
0 t 1, <1
тому для F( , , ,z) виходить подання
F( , , ,z)= (1.4)
R( )>R( ) >0 і <1
Покажемо, що інтеграл у правій частині останньої рівності зберігає зміст і представляє регулярну функцію комплексного змінного z у площині з розрізом (1, ).
Для z приналежні області , (R – довільно велике, і довільно малі позитивні числа), і 0 < t < 1 підінтегральне вираження є регулярна функція z і безперервна функція t ; тому досить показати що інтеграл сходиться рівномірно в розглянутій області. Доказ треба з оцінки
(М – верхня границя модуля функції (1-tz)-a, безперервної в замкнутій області
, , 0 t 1)
що показує, збіжність інтеграла буде при R( )>R( ) >0 інтеграл
сходиться
Таким чином, умова <1 в (1.4) може бути відкинуто, і шукане аналітичне продовження гіпергеометричної функції в розрізану площину дається формулою
F( , , ,z)= (1.5)
R( )>R( ) >0;
У загальному випадку, коли параметри мають довільні значення, аналітичне продовження F( , , ,z) площина з розміром (1, ) може бути отримане у формі контурного інтеграла, до якого приводить підсумовування ряду (1.1) за допомогою теорії відрахувань.
Більше елементарний метод продовження, що не дає, однак, можливість одержати в явній формі загальне аналітичне вираження гіпергеометричної функції, полягає у використанні рекурентного співвідношення (1.6)
F( , , ,z) = +
справедливість якого може бути встановлена підстановкою в нього ряду (1.1). Після підстановки й приведення подібних членів коефіцієнт при zk у правій частині (1.6) буде
+ - = = { - - }= = (
Шляхом повторного застосування цієї тотожності можна представити функцію F( , , ,z) з довільними параметрами ( 0,-1,-2,…)у вигляді суми
F( , , ,z)= F( +s, +p, +2p, z) (1.7)
де р – ціле позитивне число ( , , ,z) – поліном відносно z. Якщо вибрати число р досить більшим, так, щоб R( )>-p і R( - )>-p, то аналітичне продовження кожної з функцій F( +s, +p, +2p, z) може бути виконане по формулі (1.5). Підставляючи отримані вираження в (1.7) одержимо функцію, регулярну в площині з розрізом (1, ), що при <1 збігається із сумою гіпергеометричного ряду (1.1) і, отже, є шуканим аналітичним продовженням.
Гіпергеометрична функція F( , , ,z) відіграє важливу роль в аналізі і його додатках. Введення цієї функції дає можливість одержати рішення багатьох цікавих проблем теоретичного й прикладного характеру, до яких, зокрема, ставиться задача конформного відображення трикутника, обмеженого пересічними прямими або дугами окружностей, різні задачі квантової механіки й так далі.
Велика кількість спеціальних функцій може бути виражене через функцію F( , , ,z), що дозволяє розглядати теорію цих функцій як відповідні спеціальні випадки загальної теорії, даної в справжньому пункті.
1.2 Елементарні властивості гіпергеометричної функції
У справжньому розділі ми розглянемо деякі властивості гіпергеометричної функції, які безпосередньо випливають із її визначення за допомогою ряду (1.1).
1. Беручи до уваги, що члени ряду не змінюються при перестановці параметрів і маємо співвідношення симетрії
F( , , ,z)= F( , , ,z), (2.1)
2. Диференціюючи розглянутий ряд по членне, знаходимо
F( , , ,z)= = =
= = F( +1, +1, +1,z)
Таким чином, F( , , ,z)= F( +1, +1, +1,z) (2.2)
3. Повторне застосування цієї формули приводить до рівностей
F( , , ,z)= F( +m, +m, +m,z) (2.3)
m=1,2,...
Покладемо надалі для скорочення запису
F( , , ,z)= F,
F( 1, , ,z)= F( 1),
F( , 1, ,z)= F( 1),
F( , , 1,z)= F( 1).
Функції F( 1), F( 1), F( 1) називаються суміжними з F.
4. Ми покажемо, що F і будь-які дві суміжні функції зв"язані між собою рекурентним співвідношенням з коефіцієнтами, що є лінійними функціями змінного z. Як основні співвідношення цього типу можуть бути обрані рівності (2.4), (2.5), (2.6) відповідно.
( - - )F+ (1-z)F( +1)-( - )F( -1)=0,
( - -1)F+ F( +1)-( - 1)F( -1)=0,
(1-z)F- F( -1)+( - )F( +1)=0.
Підставляючи ряд (1.1) в (2.4) маємо (2.4)
( - - )F+ (1-z)F( +1)-( - )F( -1)=
=( - - ) + (1-z) -( -
) =
= {( - - ) + -( - ) -
}zk=
= {( - - )( +k-1)+( +k)( +k-1)-( - )( -1)
( -k-1)k} zk=0,
тому що
z
= =
= ( +1)...( +k-1)
=( +1)...( +k-1)( +k)
=( -1) ( +1)...( +k-2)
= ( +1)…(+k-2)
=( +1)…(+k-2)(+k-1)
=(-1)(+1).......( +k-3)
Формули (2.5) і (2.6) доводяться аналогічним способом:
( - - )F+ F ( +1)-( - 1)F( -1)=
= { ( - -1) + -( - 1) =
= { - -1 + + k-( +k-1)}zk=0,
(1-z)F- F ( -1)+( - )zF( +1)=
= { - - +( - ) }zk
= { ( + k -1)( + k-1)- ( + k -1)k- ( -1)( + k-1)
+( - ) k}zk=0,
З (2.4)-(2.6) і властивості симетрії (2.1) треба три інших рівності:
( - - )F+ (1-z)F( +1)-( - )F( -1)=0, (2.7)
( - -1)F+ F ( -1)-( - 1)F( -1)=0, (2.8)
(1-z)F- F ( -1)+( - )zF( +1)=0. (2.9)
( - - )F+ (1-z)F( +1)-( - )F( -1)=
= {( - - ) + - -( -
) } zk =
= {( - - )( +k-1)+ ( + k -1)( +k)- ( +k-1)k -( - )( -
1)}zk=0,
( - -1)F+ F ( -1)-( - 1)F( -1)=
= {( - -1) + -( - 1) } zk =
= { - -1+ ( + k )- ( +k-1)}zk=0,
(1-z)F- F ( -1)+( - )zF( +1)=
= { - - +( - ) } zk
= { ( +k-1)( +k-1)- k( +k-1)- ( +k-1)( -1)+k
( - )}zk=0.
Інші рекурентні співвідношення виходять із (2.4) - (2.9) шляхом виключення з відповідної пари формул загальної суміжної функції. Наприклад, комбінуючи (2.5) і (2.8) або (2.6) і (2.9) одержуємо
( - )F- F ( +1)+ F( +1)=0 (2.10)
( - )(1-z)F+( - )F ( -1)-( - )F( -1)=0 (2.11)
і так далі
( - )F- F ( +1)+ F( +1)=
= {( - ) + + } zk=
= { - - ( +k)+ ( +k)} zk =0.
( - )(1-z)F+( - )F ( -1)-( - )F( -1)=
= {( - ) -( - ) +( - ) -( -
) } zk=
= {( - )( +k-1)( +k-1)-( - )( +k-1)k+( - )( -1)( +k-1)-
( - )( +k-1)( -1)}zk=0.
Крім розповсюджених рекурентних співвідношень існують аналогічні співвідношення, що зв"язують гіпергеометричну функцію виду F( , , ,z) з який – або парою родинних функцій виду F( +1, +m, +n,z), де l,m,n – довільні цілі числа.
Найпростішими рекурентними співвідношеннями цього типу є
F( , , ,z)-F( , , -1,z)= F( +1, +1, +1,z) (2.12)
F( , +1, ,z)- F( , , ,z)= F( +1, +1, +1,z) (2.13)
F( , +1, +1,z)- F( , , ,z)= F( +1, +1, +2,z)(2.14)
F( -1, +1, ,z)- F( , , ,z)= F( , +1, +1,z) (2.15)
До даного класу ставляться також рівність (1.6)
Формули (2.12) і (2.15) доводяться підстановкою в них ряду (1.1) або виводяться на основі вже відомих рекурентних співвідношень для суміжних функцій.
1.3 Гіпергеометричне рівняння
Помітимо, що гіпергеометрична функція u= F( , , ,z) є інтегралом лінійного диференціального рівняння
z(1-z) +[ -( + +1)] - u=0 (2.16)
регулярним в околиці крапки z=0.
Рівняння (2.16) називається гіпергеометричним і включає, як окремі випадки, багато диференціальних рівнянь, що зустрічаються в додатках.
Якщо привести це рівняння до стандартної форми, розділивши його на коефіцієнт при другій похідній, то коефіцієнти отриманого рівняння будуть регулярними функціями змінного z в області 0< <1 <1, наявними при z=0 полюс першого порядку або звичайну крапку, залежно від значень параметрів , , .
Із загальної теорії лінійних диференціальних рівнянь треба, що в такому випадку розглянуте рівняння повинне мати приватне рішення виду
u=zs zk
(2.17)
де s – належне обране число, 0, статечної ряд сходиться при <1
u= zk+s
= (k+s)zk+s-1
= (k+s)(k+s-1)zk+s-2
Підставляючи (2.17) у рівняння (2.16) знаходимо
z(1-z) ( zk+s +[ -( + +1)z] ( zk+s - zk+s=0,
z(1-z) ( zk+s-1(k+s)(k+s-1))+[ -( + +1)z] ( zk+s-1(k+s))-
zk+s=
= ( zk+s-1(k+s)(k+s-1))- ( zk+s(k+s)(k+s-1))+ ( zk+s-1 (k+s))-
- zk+s( + +1)(k+s))- zk+s =
= zk+s-1(k+s)(k+s-1+ )- zk+s(s+k+ )(s+k+ )=0,
звідки для визначення показника s і виходить система рівнянь
s(s-1-)=0,
(s+k)(s+k-1+ ) - (s+k-1+ )(s+k-1+ )=0,
k=1,2,...,
перше з яких дає s=0 або s=1-
Припустимо, що 0,-1,-2,…і виберемо s=0
Тоді для обчислення коефіцієнтів одержимо рекурентне співвідношення
= k=1,2,…,
звідки, якщо прийняти =1, треба
= k=0,1,2,…,
де для скорочення запису уведене позначення
= ( +1)…(+k-1),
=1,k=1,2,…,
У такий спосіб перше приватне рішення рівняння (2.16) при 0,-1,-2,…буде
u= = F( , , ,z)= zk, <1 (2.18)
Аналогічно, вибираючи s=1- одержуємо в припущенні, що 2,3,4,…
= k=1,2,…,
звідки, якщо взяти =1 знаходимо
=
k=0,1,2,...,
Таким чином, при 2,3,4,…рівняння (2.16) має друге приватне рішення
u= = = F(1- + ,1- + ,2- ,z), (2.19)
<1,
Якщо не є цілим числом ( 0, 1, 2,…),те обоє рішення (2.18-2.19) існують одночасно й лінійно незалежні між собою, так, що загальне рішення рівняння (2.17) може бути представлене у формі
u=A F( , , ,z)+B F(1- + ,1- + ,2- ,z), (2.20)
де А и В довільні постійні <1,
2. Подання різних функцій через гіпергеометричну
Гіпергеометрична функція F( , , ,z) приводиться до полінома, коли =0,-1,-2,…або =0,-1,-2. Наприклад,
F( , 0, ,z)= zk= =1,
тому що
=0(0+1)(0+2)…....(0+k-1)=0.
F( , -2, ,z)= zk= z0+ z+ z2 =
=1-2 z+ z2,
тому що
=1, =-2,
=(-2)(-1)=2, =(-2)(-1)0=0, =(-2)(-1)01=0
і так далі.
Перетворення
F( , , ,z)=(1-z F( - , - , ,z)
- =0 =
показує, що гіпергеометрична функція при - =0,-1,-2,…або - =0,-1,-2,…виражається через алгебраїчні функції. Зокрема,
F( , , ,z)= (1-z , (3.1)
Надаючи параметрам , спеціальні значення, знаходимо
(1-z)v= F(-v, 1, 1,z)
(1-z = F( , 1, 1,z (3.2)
(1-z)n= F(-n, , ,z)
n=0,1,2,...
Щоб одержати подання логарифмічної функції, скористаємося розкладанням
ln(1-z)= - =-z <1
звідки треба
ln(1-z)=-zF(1,1,2,z) (3.3)
Аналогічним образом виводяться формули для зворотних кругових функцій:
arctg z=zF( ,1, ,-z2) (3.4)
arcsin z=zF( , , ,z2)
arctg z= (-1)k =z =z =
=z =z =z =zF( ,1, ,-z2),
тому що =1*2*…*k=k!
arcsinz=z+ =z[1+ ]=
=z[1+ ]=z[1+ ]=z[1+ ]=
=z[1+ ]=z[1+ =zF( , , ,z2)...
3. Вироджена гіпергеометрична функція
Поряд з гіпергеометричною функцією F( , , ,z), важливу роль у теорії спеціальних функцій грає так звана Вироджена гіпергеометрична функція F( , ,z).
Щоб визначити цю функцію, помітимо, що статечної ряд
де z – комплексне змінне, і - параметри, які можуть приймати будь-які речовинні або комплексні значення, крім =0,-1,-2,…і символ позначає величину
= =1
сходиться при будь-яких кінцевих z.
Тому що, якщо позначити через загальний член ряду, те
= 0, коли k .
Вироджена гіпергеометрична функція F( , ,z) визначається як сума розглянутого ряду
F( , ,z)= , 0,-1,-2,…,< (4.1)
З даного визначення випливає, що F( , ,z) функція комплексного змінного z.
Якщо покласти
f( , ,z)= F( , ,z)= , (4.2)