Алгебра. Геометрия. Тригонометрия (шпаргалка)

Формулы сокращенного умножения

(а ( в)2 = а2 ( 2ав + в2
(а ( в)3 = а3 ( 3а2в + 3ав2 ( в3 а2 ( в2 = (а + в) (а ( в) а3 + в3 = (а + в) (а2 ( ав + в2) а3 ( в3 = (а ( в) (а2 + ав + в2)
(а + в + с)2 = а2 + в2 + с2 +2ав +2ас +2вс
Степени. ам ан = ам + н ам ( ан = ам ( н
(ав)м = ам вм
(ам)н = амн
(а ( в)м = ам ( вм а( м = 1 ( ам ам ( н = н( ам
Корни. н(ав =н(а н(в н(а м(в = н м(ам вн н(а ( в = н(а ( н(в
(н(ам)х = н(ам х н(ам = ам/н м(н(а = мн(а
(н(а)м = н(ам
Арифметическая прогрессия. а1, а2, а3, …, а n-1, аn

а n-1 - аn = d d – разность прогрессии а2 = а1+ d

а3 = а2 + d = а1 + 2d

аn = а1 + d(n-1)

Sn = (а1 + аn) n = (2а1 + ( n-1) d) n

2 2
Sn – сумма членов арифметической прогрессии. d – разность прогрессии. d > 0 – прогрессия возрастающая d < 0 – прогрессия убывающая.

Геометрическая прогрессия. а1, а2, а3, …, а n-1, аn

а n+1 / аn = q

а2 = а1 q q - знаменатель прогрессии. а3 = а2 q = а1 q2 аn = а1 q n-1
Сумма членов для возрастающей прогрессии (q > 1)
Sn = аn q - а1 = а1 (qn -1 ( q – 1) q – 1
Сумма членов для убывающей прогрессии (q < 1)
Sn = а1 (1 - qn)

1 - q

Сумма членов бесконечно убывающей
Прогрессии
Sn = а1

1 - q

Вектора. а = М1М2 =(х2 – х1, у2 – у1, z2 –z1(

Длина вектора

(а (=((х2 - х1)2 +(у2 - у1)2 + (z2 - z1)2

Умножение вектора на число

( а = d

Скалярное произведение векторов

а в = (а ((в (cos ( cos ( = х1х2 + у1у2 + z1z2

(х12 + у12 +z12 (х22 +у22 + z22 а2 = (а (2 а в = х1х2 + у1у2 + z1z2

Параллельность векторов

а ((в, то х1 = у1 = z1 х2 у2 z2
Перпендикулярность векторов а ( в, то х1х2 + у1у2 + z1z2
Производная.
(c u)( = с u( u ( = u( v – u v( v v2
(c)( = 0
(xn )( = n xn-1
(ax)( = ax ln a
(ех )( = ех
(sin x)( = cos x
(cos x)( = - sin x
(tg x)( = 1 cos2 x
(ctg x)( = - 1 sin2 x
(ln x)( = 1 х
(1 / х)( = - 1 х2
((х)( = 1

2 (х
(х)( = 1
Логарифмы. logав = с logа 1 = 0 logа а = 1 logа (m n) = logа m + logа n logа m = logа m - logа n n logа m n = n logа m logа n (m = 1 logа m n logав = logсв logс а

Основные тригонометрические тождества sin2x + cos2x = 1 tg x = sin x cos x ctg x = cos x sin x
1 + ctg2 x = 1 sin2 x
1 + tg2 x = 1 cos2 x tg x ctg x = 1

Формулы сложения и вычитания

sin (( ( () = sin( cos( ( cos( sin( cos (( ( () = cos( cos( ( sin( sin( tg (( ( () = (tg( ( tg()

(1 + tg( tg() ctg (( ( () = ctg( ctg( ( 1 ctg( ( ctg(

sin( + sin( = 2 sin (( + () cos (( ( ()

2. 2 sin( ( sin( = 2 cos (( + () sin (( ( ()

2. 2 cos( + cos( = 2 cos (( + () cos (( ( ()

2. 2 cos( ( cos( = ( 2 sin (( + () sin (( ( ()

2. 2 tg( ( tg( = sin (( ( () cos( cos( ctg( ( ctg( = sin (( ( () sin( sin( sin2( ( sin2( = cos2( ( cos2( = sin (( + () sin (( ( () cos2( ( sin2( = cos2( ( sin2( = cos (( + () cos (( ( ()
Связь между тригонометрическими функциями sin( = ( (1 ( cos2( sin( = tg(

( (1 + tg2( sin( = 1

( (1 + ctg2(

cos( = ( (1 ( sin2( cos( = 1

( (1 + tg2( cos( = ctg(

( (1 + ctg2(

tg( = sin(

( (1 ( sin2( tg( = ( (1 ( cos2( cos( tg( = 1 ctg(

ctg( = ( (1 ( sin2( sin( ctg( = cos(

( (1 ( cos2( ctg( = 1 tg(
Формулы преобразования произведения sin( sin( = cos (( ( () ( cos (( + ()

2 cos( cos( = cos (( ( () + cos (( + ()

2 sin( cos( = sin (( + () + sin (( ( ()

2 tg( tg( = tg( + tg( ctg( + ctg( ctg( tg( = ctg( + tg( tg( + ctg( ctg( ctg( = ctg( + ctg( tg( + tg(

Формулы двойных углов

sin2( = 2 sin( cos( sin( = 2 sin (() cos (() cos2( = cos2( ( sin2( =

= 1 ( 2sin2( =

= 2cos2( ( 1 tg2( = 2 tg(

1 ( tg2(

= 2 ctg( ( tg( tg( = 2 tg ((/2)

1 ( tg2 ((/2) ctg2( = ctg2( ( 1

2 ctg(

= ctg( ( tg(

2 ctg( = ctg2 ((/2) ( 1

2 ctg ((/2) sin x = a x = (-1)n arksin a + (n

cos x = a x = ( arkcos a + 2(n

tg x = a x = arktg a + (n

ctg x = a x = arkctg a + (n

Формулы приведения

sin (( /2 ( () = + cos( sin (( /2 + () = + cos( sin (( ( () = + sin( sin (( + () = ( sin( sin (3(/2 ( () = ( cos( sin (3( /2 + () = ( cos( sin (2( ( () = ( sin( sin (2( + () = + sin(

---------------- cos ((/2 ( () = + sin( cos ((/2 + () = ( sin( cos (( ( () = ( cos( cos (( + () = ( cos( cos (3(/2 ( () = ( sin( cos (3(/2 + () = + sin( cos (2( ( () = + cos( cos (2( + () = + cos(

----------------- tg ((/2 ( () = + ctg( tg ((/2 + () = ( ctg( tg (( ( () = ( tg( tg (( + () = + tg( tg (3(/2 ( () = + ctg( tg (3(/2 + () = ( ctg( tg (2( ( () = ( tg( tg (2( + () = + tg(

------------- ctg ((/2 ( () = + tg( ctg ((/2 + () = ( tg( ctg (( ( () = ( ctg( ctg (( + () = + ctg( ctg (3(/2 ( () = + tg( ctg ((/2 + () = ( tg( ctg (2( ( () = ( ctg( ctg (2( + () = + ctg( sin (( () = ( sin( cos (( () = cos( tg (( () = ( tg(

В прямоугольном треугольнике

a2 + b2 = c2 a = c sin( a = b tg( b = c cos( теорема синусов: a = b = c sin( sin( sin( теорема косинусов: a2 = b2 + c2 ( 2 bc cos(
S = Ѕ ab

Площади фигур

Прямоугольник

S = a b = Ѕ d1 d2 sin(, d1 и d2 - диагонали
( - угол пересечения диагоналей

Параллелограмм

S = a h = a b sin(
S = Ѕ d1 d2 sin(

Трапеция

S = a + b h = Ѕ d1 d2 sin(

2
Круг
S = l r = ( r2

2
ТРЕУГОЛЬНИК
S = Ѕ ah = Ѕ ab sin(
Формула Герона:
S = ( p (p ( a) (p ( b) (p ( c) p = a +b + c

2
Площадь треугольника описанного окружностью:
S = a b c

4r
Площадь треугольника с вписанной окружностью:
S = Ѕ r P где Р – периметр радиус описанной окружности:
R = a b c

4S радиус вписанной окружности: r = 2S a + b + c длина окружности: l = 2(r
Квадрат
S = a2 = d2/2
Ромб
S = a2 sin( = ah = Ѕ dD где d - малая диагональ

D - большая диагональ
Объемы тел:

Параллелепипед

V = Sосн h

Куб

V = abc = a3
Призма
V = Sосн h = S(сеч l l - грань призмы

Пирамида

V = 1/3 Sосн h

Цилиндр

V = Sосн h = ( r2 h = 1/4( d2 h r - радиус основания d - диаметр основания

Конус

V = 1/3 Sосн h = 1/3 ( r2 h
Шар
V = 4/3 ( r3

Площади поверхностей

Призма
Sп = Sбок + 2Sосн
Sбок = ph = S(сеч l p = a + b +c
Куб
Sп = 6a2
Пирамида четырехугольная
Sп = Sбок + Sосн
Sбок = Ѕ Pосн h h – высота боковой грани
Пирамида треугольная
Sп = Sбок + Sосн
Sбок = Sосн cos(
( - угол наклона грани

Цилиндр

Sп = Sбок + Sосн
Sбок = 2( rh
Sосн = 2(r (h + r)
Конус
Sп = Sбок + Sосн
Sбок = (rl
Sосн = (r (l + r)

Параллелепипед

Sп = Sбок + 2Sосн
Sбок = Pосн l

Шар

S = 4 (r2

Значения углов

( 0 (/6 (/4 (/3 (/2 ( sin 0 Ѕ (2/2 (3/2 1 0 cos 1 (3/2 (2/2 Ѕ 0 -1 tg 0 1/(3 1 (3 - 0 ctg - (3 1 1/(3 0 -

[pic]